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高中数学竞赛教材讲义 解三角形讲义

第七章 解三角形(4 课时) 一、基础知识 在本章中约定用 A, B, C 分别表示△ ABC 的三个内角, a, b, c 分别表示它们所对的各边长, p? a?b?c 为半周长。 2 a b c ? ? 1.正弦定理: =2R(R 为△ ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1:△ ABC 的面积为 S△ ABC= ab sin C ? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2 推论 2:在△ ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ ABC 中,A+B= ? ,解 a 满足 a b ? ,则 a=A. sin a sin(? ? a) 1 ab sin C ;再证推论 2,因为 B+C= ? -A,所 2 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论 1,由正 弦函数定义,BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ ABC= 以 sin(B+C)=sinA,即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证推论 3, 由正弦定理 a b sin a sin(? ? a) ? ? ,所以 ,即 sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA,等价于 sin A sin B sin A sin(? ? A) 1 1 ? [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= ? [cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)],等价于 cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A), 2 2 因为 0< ? -A+a, ? -a+A< ? . 所以只有 ? -A+a= ? -a+A,所以 a=A,得证。 b2 ? c2 ? a2 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ? cos A ? ,下面用余弦定理证明几个常用 2bc 的结论。 ( 1 ) 斯 特 瓦 特 定 理 : 在 △ ABC 中 , D 是 BC 边 上 任 意 一 点 , BD=p , DC=q , 则 AD2= b2 p ? c2q ? pq. p?q (1) 【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ? ADB , 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ?ADB . ① 同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos ?ADC , ② 因为 ? ADB+ ? ADC= ? , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得 b2 p ? c2q qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD = ? pq. p?q 2 2 2 2 注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD ? ( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为 S ?ABC ? 2 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ? b c sin A= b c (1-cos A)= 4 4 1 2 2 bc 4 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 2 2 2 ?1 ? ? ? [(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 2 2 16 4 b c ? ? a?b?c . 这里 p ? 2 所以 S△ ABC= p( p ? a)( p ? b)( p ? c). 二、方法与例题 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 ?POQ ? ? , ?QOR ? ? ,另外 OP,OQ,OR 的长分别为 u, w, v,这里 α,β,α+β∈(0, ? ), 则 P,Q,R 的共线的充要条件是 sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? . u v w 【证明】P,Q,R 共线 ? S ΔPQR ? 0 ? S ?OPR ? S ?OPQ ? S ?ORQ ? 1 1 1 uv sin (α+β)= uwsinα+ vwsinβ 2 2 2 sin(? ? ? ) sin ? sin ? ? ? ? ,得证。 w u v 2.正弦定理的应用。 例 2 如图所示,△ ABC 内有一点 P,使得 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点 P 作 PD ? BC,PE ? AC,PF ? AB,垂足分别为 D,E,F,则 P,D,C,E; P, E, A, F; P, D, B, F 三组四点共圆, 所以 ? EDF= ? PDE+ ? PDF= ? PCA+ ? PBA= ? BPC- ? BAC。 由题设及 ? BPC+ ? CPA+ ? APB=3600 可得 ? BAC+ ? CBA+ ? ACB=1800。 所以 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB=600。 所以 ? EDF=600,同理 ? DEF=600,所以△ DEF 是正三角形。 所以 DE=EF=DF, 由正弦定理, CDsin ? ACB=APsin ? BAC=BPsin ? ABC, 两边同时乘以△ ABC 的外接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例 3 如图所示,△ ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求证: PA ? BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M, GM O1 A AF ? ? . MD AO2 AE AP AF PA AE ? , ? 由正弦定理 , sin(? ? ?1) sin ? sin(? ? ?2) sin ? AE sin ?1 sin ? ? ? . 所以 AF sin ?2 sin ? GM PM MD PM ? , ? 另一方面,

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