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2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题


第七编 不等式
§7.4 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题

柯桥中学高三数学组

何利民

1.二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中,不等式 Ax + By + C > 0 表示在直线:Ax+By+C = 0的某一侧的平面区域
y


o

Ax + By + C = 0



x

(1)结论:二元一次不等式Ax+By+C>0 在平面直角坐 标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平 面区域。

(2)判断方法:由于对直线同一侧的所有点 (x,y),把它 代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,所以只需在 此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ,从Ax0+By0+C 的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
一般在C≠0时,取原点作为特殊点。

应该注意的几个问题:
1、若不等式中不含0,则边界应画成虚线,否则 应画成实线。 ? 2、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。
?

2.简单的线性规划
有关概念
由x,y 的不等式(或方程)组成的不等 式组称为x,y 的约束条件。关于x,y 的一次不等式或 方程组成的不等式组称为x,y 的线性约束条件。欲达 到最大值或最小值所涉及的变量x,y 的解析式称为目 标函数。关于x,y 的一次目标函数称为线性目标函数。 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值 问题称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(x, y)称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。

练习:线性规划中的基本概念
名称 约束条件 线性约束条件 意义 由变量x,y组成的 不等式(组) 由x,y的 一次 不等式(或方程)组成 的不等式(组) 关于x,y的函数 解析式 ,如z=2x +3y等

目标函数

线性目标函数 关于x,y的 一次 解析式

名称 可行解 可行域 最优解 线性规 划问题

意义 满足线性约束条件的解 (x,y) 所有可行解组成的 集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的

可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的

最大值 或 最小值 问题

[究 疑 点]
1.可行解与最优解有何关系?最优解是否唯一? 提示:最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优 解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个. 2.点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)位于直线Ax+By+C=0的两 侧的充要条件是什么? 提示:(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)<0.

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线;

(3)求:通过解方程组求出最优解;
(4)答:作出答案。

基础自测 1.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域的 是 (C)

A.(0,0)
C.(-1,3)

B.(-1,1)
D.(2,-3)

2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧,则m
的取值范围是 (C )

A.m<-5或m>10
C.-5<m<10

B.m=-5或m=10
D.-5≤m≤10

3.设A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的三边长}, 则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 (A )

? x ? 0, ? 4.(2009·安徽文,3)不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表 ?3 x ? y ? 4 ?

示的平面区域的面积等于 A.
3 2

(C ) D.
3 3 4

B. 2
3

C. 4

解析

不等式组表示的平面区域如图所示,

5.完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成.请木 工需付工资每人50元,请瓦工需付工资每人40元, 现有工人工资预算2 000元,设木工x人,瓦工y人,
?50 x ? 40 y ? 2 000 ? . ?x ? N? ?y ? N ? ? 请工人的约束条件是___________________.

题型分类 深度剖析
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域

?x ? y ? 5 ? 0 【例1】画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区 ? ?x ? 3 ? 域,并回答下列问题:

(1)指出x,y的取值范围;

(2)平面区域内有多少个整点?

y

x=3 (3,8)

x-y+5=0

?x ? y ? 5 ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?x ? 3 ?

5
5 5 (? , ) 2 2

-5

O

3 (3,-3)

x
5 (1) x ? [? ,3], y ? [?3,8]. 2

x+y=0

(2)平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42个.

知能迁移1 如图△ABC中,A(0,1), B(-2,2),C(2,6),写出△ABC区域
所表示的二元一次不等式组.

?x ? 2y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 4 ? 0 . ?5 x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

题型二 求目标函数的最值问题 【例2】解下列线性规划问题:求 z = 2x + y的最大 值和最小值,使式中的x、y 满足约束条件:

? x ? 4 y ? ?3 ? ? 3 x ? 5 y ? 25 ? x?1 ?
【点评】正确作出不等式组所表示的平面区域 (可行域),再由线性目标函数作出一组平行线考 察最值,是解线性规划问题的基本步骤

y l0:2x+y=0

C

A: (5, 2) B: (1, 1) C: (1, 4.4)
x-4y+3=0
A

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3 x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

B
O

x 3x+5y-25=0

x=1
当x=1,y=1时,z取最小值,zmin=3

当x=5,y=2时,z取最大值,zmax=12

y

C

x-4y+3=0
A B
O

x=1

x 3x+5y-25=0 y?2 变式3.求z ? 的取值范围 . x?3

变式1:求z=2x-y(x,y均为整数) 的最大值与最小值
变式2:求z=(x+1)2+(y-3)2 的最大值与最小值

知能迁移2

(2009·浙江理,13)若实数x,y满足不

等式组

? x ? y ? 2, ? 4 ?2 x ? y ? 4, 则z=2x+3y的最小值是_____. ? x ? y ? 0, ?

知能迁移3

在如图所示的坐标平面的可行域内

(阴影部分且包括边界),若目标函数z=x+ay取

y 得最小值的最优解有无数个,则 x?a
的最大值是
A. 2 3 B. 2 5 C. 1 6
1 D. 4

(

B

)

[06广东高考]

? x ? 0, ? y ? 0, 在约束条件 ? 下,当 3≤s≤5 时, ? ?y? x ? s ? y ? 2x ? 4 ?

目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是 D y (A) [6,15] (B) [7,15] 4 (C) [6,8] (D) [7,8]
C(0,s) B(4-s,2s-4)

y+x=s O
A(2,0)

x

y + 2x = 4

[06重庆高考]

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 已知变量x,y满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ? y ?1 ? 0 ?

若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,0)处取 1 得最大值,则a的取值范围为 a ? 2 。

题型三 线性规划的简单应用 【例3】某公司仓库A存有货物12吨,仓库B存有货物 8吨,现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、 丙三个商店.从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨

货物的运费分别为8元、6元、9元;从仓库B运货到
商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、 5元.问应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库 运货物到三个商店的总运费最少? 思维启迪 由于题目中量比较多,所以最好通过列

出表格以便清晰地展现题目中的条件.
设出仓库A运给甲、乙商店的货物吨数可得运到丙商 店的货物吨数,列出可行域,即可求解.



将已知数据列成下表:


商店


仓库

运 费







B 3 4 5 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨,y吨,
则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)吨,从而仓库 B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)吨、(8-y) 吨、[5-(12-x-y)]=(x+y-7)吨,于是总运费为 z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)

A

8

6

9

=x-2y+126.

?12 ? x ? y ? 0 ? x ? y ? 12 ?7 ? x ? 0 ?0 ? x ? 7 ? ∴线性约束条件为 ?8 ? y ? 0 ,即? . 0? y ?8 ?x ? y ? 7 ? 0 ? ?x ? y ? 7 ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数为z=x-2y+126.

作出上述不等式组表示的平面区域,其可行域如图中
阴影部分所示.

作出直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,显然当直线l移 动到过点(0,8)时,在可行域内,z=x-2y+126取得最小 值zmin=0-2×8+126=110,即x=0,y=8时总运费最少. 安排的调运方案如下:仓库A运给甲、乙、丙商店的货 物分别为0吨、8吨、4吨,仓库B运给甲、乙、丙商店 的货物分别为7吨、0吨、1吨,此时可使得从两个仓

库运货物到三个商店的总运费最少. 探究提高 解线性规划应用问题的一般步骤是:(1)分
析题意,设出未知量;(2)列出线性约束条件和目标函 数:(3)作出可行域并利用数形结合求解;(4)作答.

知能迁移3

(2009·四川,10)某企业生产甲、乙

两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原
料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可 获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原 料不超过13吨、B原料不超过18吨,那么该企业可获

得的最大利润是
A.12万元 C.25万元 B.20万元 D.27万元





解析

设生产甲产品x吨、乙产品y吨,

则获得的利润为z=5x+3y.
? x ? 0, ? y ? 0, ? 由题意得 ? ?3 x ? y ? 13, ? 2 x ? 3 y ? 18, ?

可行域如图阴影所示. 由图可知当x、y在A点取值时,z取得最大值, 此时x=3,y=4,z=5×3+3×4=27(万元). 答案 D

题型四

线性规划的综合应用

?x ? y ? 1 ? 0 ? . 【例4】(12分)实数x,y满足 ? x ? 0 ?y ? 2 ? y (1)若 z ? ,求z的最大值和最小值,并求z的取值 x
范围; 范围.

(2)若z=x2+y2,求z的最大值与最小值,并求z的取值

y (1) z ? 表示的是区域内的点与原点 思维启迪 x 连线的斜率.故 z ? y 的最值问题即为直线的斜率的 x
最大值与最小值.(2)z=x2+y2的最值表示的是区域

内的点与原点的两点距离的平方的最大值、最小值.

解题示范 ?x ? y ? 1 ? 0 ? 解 作出可行域如 由? x ? 0 ?y ? 2 ? 图阴影部分所示.

y (1) z ? 表示可行域内任一点与 x
坐标原点连线的斜率, 因此

4分

(OA斜率不存在).

y x

的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率

2 ?x ? y ? 1 ? 0 而由? , 得B(1,2),? kOB ? ? 2. 1 ?y ? 2 ∴zmax不存在,zmin=2,
∴z的取值范围是[2,+∞). 7分

(2)z=x2+y2表示可行域内的任意一点与坐标原点的两
点间距离的平方. |OB|2. ? x ? y ? 1 ? 0 得A(0,1), 由? , ?x ? 0 ∴|OA|2=02+12=1,|OB|2=12+22=5. ∴zmax=5,z无最小值. 故z的取值范围是(1,5]. 12分 9分 因此x2+y2的范围最小为|OA|2(取不到),最大为

探究提高

本例与常规线性规划不同,主要是目标函

数不是直线形式,此类问题常考虑目标函数的几何意 义,常见代数式的几何意义主要有以下几点:

(1) x 2 ? y 2 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 表示点(x,y)与(a,b)的距离. y (2) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; x y ?b 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率. x?a
理解这些代数式的几何意义,往往是解决问题的关键.

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.平面区域的画法:二元一次不等式的标准化与半平
面的对应性.对于A>0的直线l:Ax+By+C=0,Ax+By+ C>0对应直线l右侧的平面;Ax+By+C<0对应直线l左

侧的平面.
由一组直线围成的区域形状常见的有:三角形、四 边形、多边形以及扇形域和带状域等.

2.转化:求二元一次函数z=ax+by (ab≠0)的最值,将

函数z=ax+by转化为直线的斜截式: ? ? a x ? z , y b b z 通过求直线的截距 的最值间接求出z的最值. b 3.实数最优解一定在顶点或边界取得;经过区域内整
数最优解的直线距实数最优解最近. 4.线性规划应用题建模的思路:一般以“资源——产 品——收益”为主线;设元时将产品数量设为x、y, 将收益多少设为z,资源数量为常数a、b、c等.这样

z与x、y之间的关系就是目标函数;而x、y与a、b、c
等之间的关系就是约束条件.

失误与防范
1.二元一次不等式与半平面的对应关系,比如: 二元一次不等式Ax+By+C>0,当A>0时表示直线l:Ax+

By+C=0右侧的平面;当A<0时表示直线l:Ax+By+C=0
左侧的平面.避免失误的重要方法就是首先使二元一 次不等式标准化. 2.在通过求直线的截距
z 的最值间接求出z的最值式 b z 时,要注意:当b>0时,截距 取最大值时,z也取 b z 最大值;截距 取最小值时,z也取最小值;当b<0 b z z 时,截距 取最大值时,z取最小值;截距 取最 b b

小值时,z取最大值.

定时检测
一、选择题
1.(2009·福建文,9)在平面直角坐标系中,若不等

? x ? y ? 1 ? 0, ? 式组 ? x ? 1 ? 0, (a为常数)所表示的平面区域的 ?ax ? y ? 1 ? 0 ?
面积等于2,则a的值为 A.-5 B.1 C.2 D.3 ( )

? y ? ax ? 1, 解析 由? 得A(1,a+1), x ?1 ? x ? 1, 由? ? x ? y ? 1 ? 0 得B(1,0), ? ? y ? ax ? 1, 得C(0,1). 由? ?x ? y ?1 ? 0
∵△ABC的面积为2,且a>-1,
∴S△ABC= 答案 D
1 |a+1|=2,∴a=3. 2

?x ? 0 2.(2009·安徽理,7)若不等式组 ? x ? 3 y ? 4, 所表示 ? ?3 x ? y ? 4 ?

4 的平面区域被直线 y ? kx ? 分为面积相等的两部 3 分,则k的值是 ( )

A.

7 3

B.

3 7

C.

4 3

D.

3 4

解析

不等式组表示的平面区域如图所示.

4 4 由于直线y=kx+ 过定点 (0, ). 3 3

因此只有直线过AB中点时,
4 直线y=kx+ 能平分平面区域. 3

因为A(1,1),B(0,4),

1 5 所以AB中点 M ( , ). 2 2 4 1 5 5 k 4 当y ? kx ? 过点( , )时, ? ? , 3 2 2 2 2 3 7 所以k ? . 3

答案

A

? x ? 2 y ? 5 ? 0, ?2 x ? y ? 4 ? 0, 3.若实数x,y满足条件 ? 目标函数z=2x-y, x ? 0, ? ? y ? 1, 则 ( C ) 5 A.zmax= B.zmax=-1 2 C.zmax=2 D.zmin=0 3 解析 如图所示,当z=2x-y过 A( ,1) 时, 2 3 zmax ? 2 ? ? 1 ? 2. 2

? x ? 1 ? 0, ? 4.已知点P(x,y)满足 ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0, 点Q(x,y)在 ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0, ?

圆(x+2)2+(y+2)2=1上,则|PQ|的最大值与最小值为 ( B ) A.6,3 B.6,2 C.5,3 D.5,2 解析 可行域如图阴影部分,

设|PQ|=d,则由图中圆心 C(-2,-2)到直线4x+3y-1=0的 距离最小,则到点A距离最大. ?2 x ? 3 y ? 5 ? 0, 得A(-2,3). 由? ?4 x ? 3 y ? 1 ? 0, | ?8 ? 6 ? 1 | d min ? ? 1 ? 2. ∴dmax=|CA|+1=5+1=6, 5

5.(2009·湖北理,8)在“家电下乡”活动中,某

厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货
车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用 400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用 300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则 该厂所花的最少运输费用为 ( )

A.2 000元

B.2 200元

C.2 400元

D.2 800元

解析

设需甲型货车x辆,乙型货车y辆,由题意知

? x ? 4, x ? ? ? ? ? y ? 8, y ? ? ? ?20 x ? 10 y ? 100 . ?
作出其可行域如图所示, 可知目标函数z=400x+300y在点A处取最小值, zmin=400×4+300×2=2 200(元).

答案

B

6.(2008·海南、宁夏文,10)点P(x,y)在直线4x+3y=0 上,且x,y满足-14≤x-y≤7,则点P到坐标原点的距离 的取值范围是 A.[0,5] C.[5,10] 解析 如图所示,可知直线 B.[0,10] D.[5,15] ( B)

4x+3y=0分别与直线x-y=-14,x-y=7
的交点为P1(-6,8),P2(3,-4), 易知|OP1|=10,|OP2|=5. 故|OP|的取值范围为[0,10].

二、填空题 7.(2009·陕西文,14)设x,y满足约束条件 ? x ? y ? 1, ? 11 ? x ? y ? ?1, 则z=x+2y的最小值是___,最大值是___. 1 ?2 x ? y ? 2, ? 解析 如图所示,由题意得A(3,4).由图可以看 出,直线x+2y=z过点(1,0)时,zmin=1,过点(3,4)

时,zmax=3+2×4=11.

8.(2009·山东文,16)某公司租赁甲、乙两种设备 生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5

件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件
和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元, 设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产 A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为 _______元.

解析

设需租赁甲种设备x台,乙种设备y台,

?5 x ? 6 y ? 50, ?10 x ? 20 y ? 140 , ? 则? ?x ? N? , ? y ? N? . ?
目标函数为z=200x+300y.

作出其可行域,易知当x=4,y=5时,z=200x+300y有最
小值2 300元. 答案 2 300

? x ? y ? 2 ? 0, ? 9.已知实数x,y满足不等式组 ? x ? y ? 4 ? 0, 目标函数 ? 2 x ? y ? 5 ? 0, ?

z=y-ax(a∈R).若取最大值时的唯一最优解是(1,3), (1,+∞) 则实数a的取值范围是_________. 解析 如图所示,依题意直

线x+y-4=0与x-y+2=0交于
A(1,3),此时取最大值,

故a>1.

三、解答题
?x ? 0 10.若a≥0,b≥0,且当 ? y ? 0 时,恒有ax+by≤1, ? ?x ? y ? 1 ? 求以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积.

?x ? 0 解 作出线性约束条件 ? y ? 0 ? ?x ? y ? 1 ? 对应的可行域如图所示,

在此条件下,要使ax+by≤1恒成立,只要ax+by的最大 值不超过1即可.
a z 令z=ax+by,则 y ? ? x ? , b b

因为a≥0,b≥0,

则 ?1 ? ?

a ? 0时, b ? 1 b

a 或 ? ? ?1时, a ? 1, b 此时对应的可行域如图,
所以以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的面积为1.

11.A、B两地分别生产同一规格产品12千吨、8千吨, 而D、E、F三地分别需要8千吨、6千吨、6千吨,每 千吨的运价如下表.怎样确定调运方案,使总的运费 为最小? 运价(万元/千吨) 从A 从B 解 到D 4 5 到E 5 2 到F 6 4

设从A到D运x千吨,则从B到D运(8-x)千吨;

从A到E运y千吨,则从B到E运(6-y)千吨; 从A到F运(12-x-y)千吨,从B到F运(x+y-6)千吨,

?0 ? x ? 8, ? 则线性约束条件为 ?0 ? y ? 6, ?6 ? x ? y ? 12, ? 线性目标函数为z=4x+5y+6(12-x-y)+5(8-x)+2(6-y)+
4(x+y-6)=-3x+y+100, 作出可行域,可观察出目标函数在(8,0)点取到最小 值,即从A到D运8千吨,从B到E运6千吨,从A到F运

4千吨,从B到F运2千吨,可使总的运费最少.

1 3 1 2 12.在R上可导的函数 f ( x) ? x ? ax ? 2bx ? c, 当 3 2 x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,
求点(a,b)对应的区域的面积以及 b ? 2的取值范围.
a ?1



函数f(x)的导数为f′(x)=x2+ax+2b,当x∈(0,1)

时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值, 则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内, 另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f′(x)=x2+ax+

2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可
以得到

? f ' (0) ? 0 ?b ? 0 ? ? f ' (1) ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0, ? ? f ' (2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ? 在aOb平面内作出满足约束条件的
点(a,b)对应的区域为△ABD(不包 括边界),如图阴影部分,其中点 A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),

△ABD的面积为 1 1 S ?ABD ? | BD | ?h ? (h为点A到a轴的距离). 2 2 b?2 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为 , a ?1 b?2 b?2 1 显然 ? (kCA , kCB ), 即 ? ( ,1). a ?1 a ?1 4

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17-18版 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 - 高考

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