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天津市学高一数学讲义13-必修4第三章三角函数恒等变换2练习

第三章 三角函数恒等变换 2 课型 A 一、 三角的恒等变换 3? π ? 例 1.已知 tan 2? ? ? ? ? ? π ? ,则 4? 2 ? 2cos2 ? 2 ? sin ? ? 1 π? ? 2 cos ? ? ? ? 4? ? 的值为_____________. ? 1 2 例 2. 已知 sinα cosα = ,且 <α < ? 3 2 1 8 ? 4 ? ,则 cosα -sinα 的值为 2 ? 例 3.计算 ? ?2sin 50 ? sin10 (1 ? 3 tan10 ) ? 1 ? cos 20 ? 6 例 4.已知 sin(2? ? ? ) ? 5sin ? , 求证: 2 tan(? ? ? ) ? 3tan ? 证明:由 展开得 即 所以 ?? ? ? ? ? ? ? sin 2 ? ?? ? 5 s i?n sin ? ?? ? ? 5sin ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ,得 ? 6 c o?s ? ? ?? s i? n? 2 t a? n ? ? ?? ? 3 t a ?n 2 sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? 5 ? ?sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? ? 4? s ? in ? ? ? c ?o s 例 5.已知 tan ? ? sin ? ? a , tan ? ? sin ? ? b ,求证: ? a 2 ? b 2 ? ? 16ab . 证明:由已知可解得 tan ? ? 2 2 a ?b a?b sin ? a ? b ? , sin ? ? ,所以 cos ? ? . 2 2 tan ? a ? b 2 2 ? a ?b ? ? a ?b ? 又 sin ? ? cos ? ? 1 ,于是有 ? ? ?? ? ? 1, ? a?b? ? 2 ? 化简得 ? a 2 ? b 2 ? ? 16ab . 2 二、三角函数综合 课型 B ) D. ) D.2 1 4 ? ? 1.函数 f ( x) ? sin( ? x) sin( ? x) 的最大值为( 4 4 A.1 B. 1 2 C. 2 2 2. 3 tan11°+ 3 tan19°+tan11°· tan19°的值是( A. 3 B. 3 3 C.1 3.设 a ? sin140 ? cos140 , b ? sin160 ? cos160 , c ? A a?b?c 6 ,则 a, b, c 大小关系 2 B b?a?c C c ? b? a D a ? c? b 4.函数 f ( x) ? sin 2x ? 3(cos2 x ? sin 2 x) 的图象为 C ,如下结论中正确的是 ①图象 C 关于直线 x ? 11 π 对称; 12 ? 2π ? ②图象 C 关于点 ? , 0 ? 对称; ? 3 ? ? π 5π ? ③函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ? π ④由 y ? 2 sin 2 x 的图角向右平移 个单位长度可以得到图象 C 3 A ①②③ B ②③④ C ①③④ D ①②③④ 例 5. 已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R,? > 0) 的最小正周期是 ? . 2 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集合. (Ⅰ)解: f ( x) ? 2 1 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 1 2 ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? ?? ?? ? ? ? 2 ? sin 2? x cos ? cos 2? x sin ? ? 2 ? 2 sin ? 2? x ? ? ? 2 . 4 4? 4? ? ? 由题设,函数 f ( x) 的最小正周期是 ? 2? ? ? ,所以 ? ? 2 . ,可得 2 2? 2 ?? ? (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) ? 2 sin ? 4 x ? ? ? 2 . 4? ? 当 4x ? ? ? ? k? ?? ? ? ? 2k ? ,即 x ? ? (k ? Z) 时, sin ? 4 x ? ? 取得最大值 1,所以 4 2 16 2 4? ? ? k? ? ? 函数 f ( x) 的最大值是 2 ? 2 ,此时 x 的集合为 ? x x ? ? ,k ? Z ? . 16 2 ? ? 例 6.已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1( x ? R) ? ?? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值; ? 2? 6 ?? ? ? (Ⅱ)若 f ( x0 ) ? , x0 ? ? , ? ,求 cos 2 x0 的值。 5 ?4 2? (1)解:由 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ?1 ,得 f ( x) ? 3(2sin x cos x) ? (2 cos 2 x ? 1) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6 ? 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ?? ? ? ?? ?? ? ? 因为 f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上为增函数,在区间 ? , ? 上为减函数, 6? ? ? 6? ?6 2? 又 ?? ? f (0) ? 1, f ? ? ? 2, ?6? ?? ? ? ?? f ? ? ? ?1 ,函数 f ( x) 在区间 ?0, ? 上的最大值为 2,最小值 ?2? ? 2? -1 6 ?

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