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人教版高中数学必修二2.3.3


2.3.3直线与平面垂直的性质习题课 2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1.已知 b⊥平面α,a?α, 则 a 与 b 的位置关系是( A.a∥b C.a 与 b 垂直相交 2.下列命题中,真命题的个数是( B.a⊥b D.a 与 b 垂直且异面 C ) B ) ①和一条直线成等角的两平面平行;②和两条异面直线都 平行的两平面平行;③和两相交直线都平行的两平面平行. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:①假,②、③真. 3.下面四个命题,其中真命题的个数为( ①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这 条直线和这个平面垂直;②过空间一点有且只有一条直线和已 B ) 知平面垂直;③一条直线和一个平面不垂直,这条直线和平面 内的所有直线都不垂直;④垂直于同一平面的两条直线平行. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:②、④是真命题. 4.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则 相交、平行、在平面内 这条直线和另一个平面的位置关系是______________________ . 重点 线面、面面垂直的性质定理 1.线面垂直性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行 (线面垂直→线线平行). 2.面面垂直性质定理①:两个平面垂直,则一个平面内垂 直于交线的直线与另一个平面垂直.用符号语言表示为:若α⊥ β,α∩β=l,a?α,a⊥l,则a⊥β(面面垂直→线面垂直). 3.面面垂直性质定理②:如果两个平面互相垂直, 那么 经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个 平面内. 直线与平面垂直的性质定理的简单应用 例 1:如图 1,在四面体 P-ABC 中,若 PA ⊥BC,PB⊥AC, 求证:PC⊥AB. 图1 思维突破:要证线线垂直,可先证线面垂直,进而由线面 垂直的定义得出线线垂直. 证明:过 P 作 PH⊥平面 ABC,垂足为 H,连接 AH、BH 和 CH. ∵PA ⊥BC, PH⊥BC,PA ∩PH=P, ∴BC⊥平面 PAH. 又 AH?平面 PAH ,∴BC⊥AH. 同理 AC⊥BH,即 H 为△ABC 的垂心, ∴AB⊥CH. ∵PH⊥AB,CH∩PH=H,∴AB⊥平面 PCH. ∵PC?平面 PCH,∴PC⊥AB. 点评:从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在 解(证)题中的作用. 1-1.已知 a、b 是两条不同的直线,α、β为两个不同的平面, a⊥α,b⊥β,则下列命题中不正确的是( A.若 a 与 b 相交,则α与β相交 B.若α与β相交,则 a 与 b 相交 B ) C.若 a∥b,则α∥β D.若α⊥β,则 a⊥b 解析:α与β相交,a 与 b 可能是异面直线. 1-2.α、β是两个不同的平面,m、n 是α、β之外的两条不同 的直线,给出以下四个论断: ①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个作为结论,写出你认 ①③④→② 为正确的一个命题___________. 解析:答案不唯一,如:②③④→①也正确. 平面与平面垂直的性质定理的简单应用 例 2:如图 2,在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC.求证:AB⊥BC. 证明:作 AH⊥SB 于 H. ∵平面 SAB⊥平面 SBC, ∴AH⊥平面 SBC. ∴AH⊥BC. 又 SA⊥平面 ABC,∴SA⊥BC. 又∵AH∩SA=A, ∴BC⊥平面 SAB.∴BC⊥AB. 图2

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