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人教A版高中数学必修一课件:1-3 第12课时 函数的奇偶性_图文

第 12 课时 函数的奇偶性 序 号 知识目标 学法建议 能力素养 理解函数的奇偶性及其几何 意义,掌握奇函数、偶函数的 1 定义,并会利用定义判断函数 的奇偶性 了解奇、偶函数图象的对称 性,能够根据函数的奇偶性和 2 一半函数的图象画出另一半 函数的图象 能够运用函数的奇偶性解答 3 函数解析式,进一步运用函数 的性质解答问题 能根据奇函数和偶函 观察函数图象,合作探究奇 数的定义判断简单函 函数和偶函数的定义 数的奇偶性 能用函数的奇偶性的 小组探究奇函数和偶函数 图象特征与性质研究 的图象特征与性质 函数问题 合作探究函数奇偶性的综 能用函数奇偶性解决 合应用 有关的问题 重点:函数奇偶性的定义以及图象特征. 难点:对函数奇偶性的综合应用. 预学 1:函数奇偶性的概念及奇、偶函数的图象特征 (1)偶函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫作偶函数. 奇函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么 f(x)就叫作奇函数. (2)偶函数的图象关于 y 轴对称,奇函数的图象关于原点对称. 议一议:如果一个函数的图象关于 y 轴对称,能不能说这个函数 是偶函数?(抢答) 【答案】能 预学 2:奇函数和偶函数定义域的特点 函数的奇偶性是函数的整体性质.由函数奇偶性的定义可知,函 数具有奇偶性的一个必备条件是对于定义域内的任意一个 x,则-x 也 一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 若函数 f(x)是奇函数且在 x=0 处有定义,则必有 f(0)=0,即函数 图象必过原点. 想一想:为什么奇函数和偶函数的定义域一定要关于原点对 称? 【解析】由函数奇偶性的定义知,若 x 是定义域中的一个数值, 则-x 也必然在定义域中,因此函数 y=f(x)是奇函数或偶函数的一个 必不可少的条件是定义域在 x 轴上所表示的区间关于原点对称. 预学 3:函数奇偶性与单调性的联系 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点 对称的区间上单调性相同. 议一议:已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函 数,证明:f(x)在(-∞,0)上也是增函数. 【解析】任取 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2<0,则-x1>-x2>0, 因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以 f(-x1)>f(-x2). 又 f(x)是奇函数,所以 f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2). 所以-f(x1)>-f(x2),即 f(x1)<f(x2). 所以 f(x)在(-∞,0)上也是增函数. 1.下列图象是函数图象且具备奇偶性的是( ). 【解析】先看图象是否是函数图象,再判断函数图象是否关于原 点或 y 轴对称,只有 B 中图象符合. 【答案】B 2.对于定义域是 R 的任意奇函数 f(x),都有( A.f(x)-f(-x)>0 B.f(x)-f(-x)≤0 C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0 ). 【解析】∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴ f(x)·f(-x)=-[f(x)]2. 又 f(0)=0,∴-[f(x)]2≤0,故选 C. 【答案】C 3.若函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数,则实数 a= 2 . 【解析】由题意知函数 f(x)=x -|x+a|为偶函数, 则 f(1)=f(-1),∴1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a=0. 【答案】0 2 4.若 f(x)和 g(x)都是奇函数,且 F(x)=af(x)+bg(x)+2 在(0,+∞)上有 最大值 8,求 F(-x)的最小值. 【解析】 ∵F(x)有最大值 8,∴af(x)+bg(x)+2≤8,即 af(x)+bg(x) ≤6. 又 f(x),g(x)都是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x). 于是 F(-x)=af(-x)+bg(-x)+2=-[af(x)+bg(x)]+2≥-6+2=-4, ∴F(-x)的最小值为-4. 探究 1:函数的奇偶性 【例 1】判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=2-|x|; (2)f(x)= 1- 2 + 2 -1; (3)f(x)= + x(x ≤ 0), (4)f(x)= - 2 + x(x > 0). -1 2 ; 【方法指导】 判断函数奇偶性时,先求定义域,如果定义域关于原 点对称,再根据定义进行判断,如果定义域不关于原点对称,直接得出 结论. 【解析】(1)∵函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称, 且 f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x), ∴f(x)为偶函数. 1- 2 ≥ 0, 2 (2)由 ?x =1?x=±1,∴f(x)=0, 2 -1 ≥ 0 ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)∵函数 f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (4)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-(-x) -x=-(x +x)=-f(x), 2 2 当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=(-x) -x=-(-x +x)=-f(x). 综上所述,对任意的 x∈(-∞,+∞),都有 f(-x)=-f(x),∴f(x)为 奇函数. 2 2 【变式设问】将本例中的(1)改为:f(x)=2-|x-1|,试判断此函数 的奇偶性. 提示:f(x)的定义域为 R,因为 f(-x)=2-|-x-1|=2-|x+1|≠f(x), 所以 f(x)是非奇非偶函数. 【针对训练 1】下列函数中,是偶函数的有 (1)f(x)=x3;(2)f(x)=|x|+1;(3)f(x)= 2 ; (4)f(x)=x+ ;(5)f(x)=x2,x∈[

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