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2011年全国高中数学联赛不等式 ---王峰


2011 年全国高中数学联赛不等式 ---王峰 年全国高中数学联赛不等式 王峰
1.已知 n ∈ N + , x, y 是正实数,且满足 x n + y n = 1 ,证明:
(∑ 1 + x2k n 1 + y 2k 1 )(∑ )< 。 4k 4k (1 ? x)(1 ? y ) k =1 1 + x k =1 1 + y
n

2.设 x, y, z ∈ R + ,满足 xyz ≥ 1 ,证明:
27 ≤ (1 + x + y ) 2 + (1 + y + z ) 2 + (1 + z + x) 2 ≤ 3( x + y + z ) 2 ,当且仅当

“ x = y = z = 1 ”成立。 3.设实数 a, b, c > 0 且满足 a + b + c = 3 ,证明
a 2 + 3b 2 b 2 + 3c 2 c 2 + 3a 2 + 2 + 2 ≥ 4。 ab 2 (4 ? ab) bc (4 ? bc) ca (4 ? ca)

4.设 x1 ≥ x2 ≥ L ≥ xn ≥ 0 ,且满足 ∑
i =1

n

n xi = 1 ,证明: ∑ xi2 ≤ 1 。 i i =1

5.已知实数 x1 , x2 ,L , x2010 ,满足 x1 = 999 ,对于所有的满足
2 ≤ n ≤ 2010 的整数 n , xn = xn ?1 + 1 ,求 x1 + x2 + L x2010 的最小值。

6.设 a, b, c 是正实数,且满足 a + b + c = 1 ,证明:
a ? bc b ? ca c ? ab 3 + + ≤ 。 a + bc b + ca c + ab 2

7.证明:对非负实数 x1 , x2 ,L , xn ,有
x1 (2 x1 ? x2 ? x3 ) x2 (2 x2 ? x3 ? x4 ) x (2 x ? x ? 1) xn (2 xn ? x1 ? x2 ) + + L n ?1 n ?1 n + ≥ 0。 x2 + x3 x3 + x4 xn + 1 x1 + x2

8.求所有的实数 x, y, z , w ,使得 x + y + z = ,
4x ?1 + 4 y ?1 + 4z ?1 ≥ 2 + 3
w? 2

3 2


王峰

1 山东宁阳第一中学

2011 年全国高中数学联赛不等式 ---王峰 年全国高中数学联赛不等式 王峰
9.函数 f : R+ ∪ {0} → R ,满足,对任意的 x, y ≥ 0 ,有 f ( xy) ≤ xf ( y) , 证明:对于任意的 x, y ≥ 0 ,有 f ( xy) = xf ( y) 。 10.证明:对于所有的正实数 a, b, c ,都有
a 2 + b 2 ? 2ab + b 2 + c 2 ? 2bc ≥ a 2 + c 2



11.求最小的常数 c ,使得对所有的实数 x, y ,有
1 + ( x + y ) 2 ≤ c(1 + x 2 )(1 + y 2 ) 。

12.设 x1 , x2 ,L , xn 均为正实数,且满足 ∑ xi = 1 ,证明:
i =1

n

xi 2 1 ∑ x + x ≥ 2 ( xn+1 = x1 ) 。 i =1 i i +1
n

13.证明:对任意的正整数 m, n ,有 n

1 1 + m > 1。 m n

14.设正实数 a, b, c 满足 a 2 + b 2 + c 2 < 2(a + b + c) , 证明 3abc < 4(a + b + c) 。 15.设对任意的非负实数 x, y, z ,有
x3 + y 3 + z 3 + c( xy 2 + yz 2 + zx 2 ) ≥ (c + 1)( x 2 y + y 2 z + z 2 x) ,求实数 c 的最大

值。 16.令 0 < α , β < ,证明
2

π

5 5 + 2 ≥ 27 cos α + 36 sin α 2 cos α sin α sin 2 β cos 2 β



2 山东宁阳第一中学

王峰


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