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惠州市2018届高三模拟考试数学(文科)试题及答案


惠州市 2018 届高三模拟考试

文科数学

2018.04

全卷满分 150 分,时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答 题卡上。 2.作答选择题时,选出每个小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,写在本试卷上无效。 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定的位置上,写在本 试卷上无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。
2 1.已知集合 A ? x | x ? x ? 0 , B ? x | y ? lg ? 2 x ? 1? ,则集合 A

?

?

?

?

B?(



(A)

? 1? 0, ? ? ? 2?

(B) 0,1

? ?


?1 ? (C) ? ,1 ?2 ? ?

?1 ? (D) ? , ?? ? 2 ? ?

2.已知复数 z ?

(1 ? i ) 2 ,则 z ? ( 1? i
(B)

(A) 1

2

(C)

3

(D)

5

3.甲乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种,则他们选择相同 颜色运动服的概率为( (A)
1 3

) (B)
1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

4.如图 1, 《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题: 今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈(1 丈=10 尺), 现被风 折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断 处离地面的高为( (A) 5.45 )尺. (B) 4.55 (C) 4.2 (D) 5.8 图1

数学试题(文科)

第 1 页,共 18 页

5.执行图 2 所示的程序框图,若输入的 x ? 2018 , 则输出的 i ? ( (A) 2 ) (B) 3 (C) 4 (D) 5

6.将函数 y ? sin ? x ? 来的

? ?

??

? 的图象上各点的横坐标变为原 6?

1 (纵坐标不变) ,再往上平移 1 个单位,所得图 2

是 否

象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( (A) ? ?

? ? ?? , ? ? 3 3?

(B) ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

(C) ? ?

? ? ?? , ? ? 3 6?

(D) ? ?

? ? 2? ? , ? ? 6 3 ?

图2

?2? x ? 1, x ? 0 ? 7.设函数 f ? x ? ? ? 1 ,若 f ? x0 ? ? 1 ,则 x0 的取值范围是( 2 ? x , x ? 0 ?
(A) (?1,1) (B) (?1, ??) (C) (??, ?2)



(0, ??)

(D) (??, ?1)

(1, ??)

8.已知 F 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点,其关于双曲线 C 的一条 a 2 b2


渐近线的对称点在另一条渐近线上,则双曲线 C 的离心率为( (A)

2

(B)

3

(C) 2

(D)

5

9.某四面体的三视图如图 3 所示,正视图、俯视图都是 腰长为 2 的等腰直角三角形,侧视图是边长为 2 的 正方形,则此四面体的体积是( ) (C) 4 (D) 8 图3

4 (A) 3

8 (B) 3

10.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 1 ,则

S6 ?( a6



(A)

63 32

(B)

31 16

(C)

123 64

(D)

127 128

数学试题(文科)

第 2 页,共 18 页

11.在 ?ABC 中, AB ? 2 AC ? 2, ?BAC ? 120? ,点 D 为 BC 边上一点,且 BD ? 2DC , 则 AB ? AD ? ( (A) 3 ) (B) 2 (C)

7 3

(D)

2 3

12.已知 F 是抛物线 x 2 = 4 y 的焦点, P 为抛物线上的动点,且点 A 的坐标为 (0 , ?1) ,则

PF PA
(A)

的最小值是(



1 4

(B)

1 2

(C)

2 2

(D)

3 2

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.曲线 C : f ? x ? ? sinx ? e x ? 2 在 x ? 0 处的切线方程为_______.

?x ? y ? 4 ? 14.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则点 (3 , 4) 到点 ( x , y ) 的最小距离为 ?x ? 0 , y ? 0 ?
15.已知数列 ?an ? 对任意的 m, n ? N 有 am ? an ? am?n ,若 a1 ? 2 ,则 a2018 ?
?

.

.

16.已知函数 f ? x ? 对任意的 x ? R ,都有 f ? 当? 为

?1 ? ?1 ? ? x ? ? f ? ? x ? ,函数 f ? x ? 1? 是奇函数, ?2 ? ?2 ?

1 1 1 ? x ? 时, f ? x ? ? 2x ,则方程 f ? x ? ? ? 在区间 ? ?3,5? 内的所有零点之和 2 2 2


三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60 分。
数学试题(文科) 第 3 页,共 18 页

17. (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为△ ABC 三个内角 A , B , C 的对边,且 (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? c ? 5 ,且△ ABC 的面积为 3 ,求 a 的值.

3a cosA ? 1 . ? c sinC

18. (本小题满分 12 分) 如图, 直角 ?ABC 中,?ACB ? 90 ,BC ? 2 AC ? 4 ,D,E 分别是 AB, BC 边的中点, 沿 DE 将 ?BDE 折起至 ?FDE ,且 ?CEF ? 60 . (1)求四棱锥 F ? ACED 的体积; (2)求证:平面 ADF ⊥平面 ACF .

19. (本小题满分 12 分)

为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4月份的30天中 随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡 后的发芽数,得到如下表格: 日期 温差x/℃ 发芽数y/颗 4月1日 4月7日 4月15日 10 23 11 25 13 30 4月21日 12 26 4月30日 8 16

(1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为 m, n ,求事件“ m, n 均不小于25”的概 率;
数学试题(文科) 第 4 页,共 18 页

(2) 若由线性回归方程得到的估计数据与 4 月份所选 5 天的检验数据的误差均不超过 2 颗, 则认为得到的线性回归方程是可靠的. 请根据 4 月 7 日,4 月 15 日与 4 月 21 日这三

? ?a ? ,并判定所得的线性回归方程是 天的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y ? bx
否可靠?

?? 参考公式: b

? (xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (x
i ?1

n

=

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

i

? x)2
3

?x
i ?1

? ? ? y ? bx ,a

2 i

参考数据: ?xi yi ? 977, ?xi2 ? 434
i ?1 i ?1

3

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点为 F ,点 P p, 2 p 满足 PF ? 3 .
2

?

?

(1)求抛物线的方程; (2)过点 ? ?1,0 ? 的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,当 FA ? 3 FB 时,求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 4lnx ? mx ? 1? m ? R ? .
2

(1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (2)若对任意 x ? 1, e ,都有 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

? ?

数学试题(文科)

第 5 页,共 18 页

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? acosβ ( β 为参数, 且 a> 0 ) , y ? a sin β ?

以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为

? cos ? ? ?

? ?

??

3 ?? . 3? 2

(1)若曲线 C 与 l 只有一个公共点,求 a 的值; (2) A , B 为曲线 C 上的两点,且 ?AOB ?

?
3

,求△ OAB 的面积最大值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 . (1)求不等式 f ? x ? ? 2x ? 1 ?1 的解集 M ; (2)设 a, b ? M ,证明: f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b ? .

数学试题(文科)

第 6 页,共 18 页

惠州市 2018 届高三模拟考试 数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 6 C 7 D 8 C 9 A 10 A 11 D 12 C

1.【解析】因为 A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? ? x|x ? 2.【解析】 z ?

? ?

1 1? ? ,所以 A B ? {x | ? x ? 1} ,∴选 C. 2 2?

(1 ? i ) 2 2i ? , 1? i 1? i

z ?|

2i |2i| 2 |? = = 2 ,∴选 B. 1 ? i |1 ? i| 2

3.【解析】甲,乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种有 9 种 不同的结果,分别为(红,红) , (红,白) , (红,蓝) , (白,红) , (白,白) , (白,蓝) , (蓝, 红) , (蓝,白) , (蓝,蓝) .他们选择相同颜色运动服有 3 种不同的结果,即(红,红) , (白, 白) , (蓝,蓝) ,故他们选择相同颜色运动服的概率为

3 1 ? ,∴选 A. 9 3
2 2 2

4.【解析】如图,已知 AC+AB=10(尺) ,BC=3(尺) , AB ? AC ? BC ? 9 , 所以 ( AB ? AC )( AB ? AC ) ? 9 ,解得 AB ? AC ? 0.9 ,

因此 ?

? AB ? AC ? 10 ? AB ? 5.45 ,解得 ? , ? AB ? AC ? 0.9 ? AC ? 4.55

故折断后的竹干高为 4.55 尺,∴选 B.

5.【解析】第一次执行循环体后: b ? ?

1 1 , i ? 2, a ? ? ;第二次执行循环体后: 2017 2017

b?

2017 2017 , i ? 3, a ? ;第三次执行循环体后: b ? 2018, 输出 i ? 3 ? 选 B. 2018 2018

6. 【解析】 将函数 y ? sin ? x ?

? ?

1 π? π? ? 可得 y ? sin ? 2 x ? ? ? 的图象上各点的横坐标变为原来的 2 , 6? 6? ?

的图象,再往上平移 1 个单位,得函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? ? 1 的图象,其单调区间与函数 6?

π π π π? ? y ? sin ? 2 x ? ? 相同,令 ? ? 2kπ ? 2 x ? ? ? 2kπ, k ? Z ,解得: 2 6 2 6? ?
数学试题(文科) 第 7 页,共 18 页

?

π π ? π π? ? kπ ? x ? ? kπ, k ? Z ,当 k ? 0 时,为 ? ? , ? , 3 6 ? 3 6?

∴选 C

另:用五点画出 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ,可直接观察出单调区间。 ? 的函数图象(如下) 6?

7.【解析】令 x ? 0 不符合题意,排除 A,B; x ? 1 时, f ( x) ? 1 ,不符合题意,排除 C,∴选

?2? x ? 1, x ? 0 ? D. (另:画出 f ? x ? ? ? 1 的大致图象如下,也可观察出答案为 D.) 2 ? x , x ? 0 ?

8.【解析】 如右图所示,由题意可知△ OPQ ≌△ OPF , ∴∠ POQ =∠ POF =∠ QOM ? 60 ,∴ e ? ∴选 C. 9. 【解析】由三视图知该几何体为棱锥 S ? ABD ,其中 SC ? 平面 ABCD,此三棱锥的 体积 V ?

1 ?2 cos 60

1 1 4 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ,∴选 A. 3 2 3

10. 【解析】 a1 ? 2a1 ? 1, a1 ? 1, 由 an ? Sn ? Sn?1 得 Sn ? 2n ? 1 ,
数学试题(文科) 第 8 页,共 18 页

?

S6 S6 63 ,∴选 A. ? ? a6 S6 ? S5 32
1 1 1 1 2 CB ? AC ? AB ? AC ? AC ? AB ? AC ,∴ 3 3 3 3 3 2 1 2 4 2 2 AB ? AD ? AB ? AB ? AC ? ? ? ,∴选 D.(另:本小题也可以建立坐标系去计 3 3 3 3 3
2

11. 【解析】因为 AD ? CD ? AC ?

算) 12. 【解析】由题意可得,抛物线 x =4y 的焦点 F(0,1) ,准线方程为 y=﹣1.

过点 P 作 PM 垂直于准线,M 为垂足,则由抛物线的定义可得|PF|=|PM|, 则 = =sin∠PAM,∠PAM 为锐角.故当∠PAM 最小时, 最小. 设切点 P (2 最小,

故当 PA 和抛物线相切时, 则 PA 的斜率为 ?2 ∴sin∠PAM= = = =

, a) , 由 y= x2 的导数为 y′= x, ,

, 求得 a=1, 可得 P (2, 1) , ∴|PM|=2, |PA|=2

.故选:C.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. y ? 2 x ? 3

14.

3 2 2

15. 4036

16.

4

x x 13.【解析】由 f ? x ? ? sinx ? e ? 2 ,得 f ? ? x ? ? cosx ? e , f ? 0? ? 3 ,切线的斜率

为 k ? f ? ? 0? ? 2 ,故切线方程为 y ? 2 x ? 3 .

14.【解析】 :由约束条件

作出可行域如图,

点(3,4)到点(x,y)的最小距离为 P(3,4)到直线 x+y﹣4=0 的距离. 为 .

.15. 【解析】 令 m=1,则可知 a1 ? an ? an?1 , an?1 ? an ? 2 ∴ ?an ? 为等差数列, 首项和公差均为 2。
数学试题(文科) 第 9 页,共 18 页

∴ an ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n ,∴ a2018 ? 4036 16.【解析】因为函数 f ? x ? 1? 是奇函数,所以函数 f ? x ? 1? 的图象关于点 ? 0, 0 ? 对称,把函数 即函数 f ? x ? 的图象关于点 ?1,0 ? ) f ? x ? 1? 的图象向右平移 1 个单位可得函数 f ? x ? 的图象, 对称,则 f ? 2 ? x? ? ? f ? x? ,又因为 f ? 而 f ? 2 ? x ? ? ? f ?1 ? x ? , 再 用

?1 ? ?1 ? ? x ? ? f ? ? x ? ,所以 f ?1 ? x? ? f ? x? ,从 ?2 ? ?2 ?

x 替 换 1? x 可 得 f ? x ? 1? ? ??f

?

, 所 以 x

f ? x ? 2? ? ? f ? x ?1? ? f ? x ? ,即函数 f ? x ? 的周期为 2,且图象关于直线 x ?
图所示, f ? x ? ? ?

1 对称,如 2

1 1 区间 ? ?3,5? 内有 8 个零点,所有零点之和为 ? 2 ? 4 ? 4 . 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由正弦定理得:

3sinA cosA ? 1 ? sinC sinC

…………2 分

由于 sinC ? 0 ,∴ 3sinA ? cosA ? 1 ,∴ 3sinA ? cosA ? 1 即 sin ? A ? 30? ? ?

1 2

…………4 分

∵ 0? ? A ? 180? ,∴ ?30? ? A ? 30? ? 150? ∴ A ? 30? ? 30? ∴ A ? 60? 分 (Ⅱ)由:S?ABC ? 3 可得 S ?

…………6 ∴ bc ? 4
2

1 bcsinA ? 3 2

…………8 分 ………… 10

2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bccosA ? ? b ? c ? ? 3bc ? 13


数学试题(文科) 第 10 页,共 18 页

∴ a ? 13 分 18. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)∵ D, E 分别是 AB, BC 边的中点, ∴ DE 平行且等于 AC 的一半, DE ? BC , DE ? 1 分 依题意, DE ? EF , BE ? EF ? 2 于是有

…………12

…………1

DE ? BC

? ? DE ? EF ? ? ? DE ? 平面CEF EF EC ? E ? EF , EC ? 平面CEF ? ?
分 ∵ DE ? 平面CEF , ∴ 平面ACED ? 平面CEF 分 过 F 点作 FM ? EC 于 M ,则

…………3

…………4

平面ACED ? 平面CEF , 且交线为CE ? ? FM ? EC ? ? FM ? 平面ACED , ? FM ? 平面CEF ?
分 ∵ ?CEF ? 60 ,∴ FM ? 3

………… 5

1 1 ( AC ? ED) ? EC ? ? (1 ? 2) ? 2 ? 3 2 2 1 1 四棱锥 F ? ACED 的体积 V ? Sh ? ? 3 ? 3 ? 3 3 3
∴梯形 ACED 的面积 S ? 分 (Ⅱ) (法一)如图.设线段 AF , CF 的中点分别为 N , Q ,连
数学试题(文科) 第 11 页,共 18 页

…………6

接 DN , NQ, EQ ,则 NQ //

1 AC ,于是 2

DE //

1 ? AC ? ? 2 ? ? DE // NQ ? DEQN 是平行四边形 ? DN / / EQ 1 NQ // AC ? ? 2 ?



? ? ? ?CEF 是等边三角形,∴EQ⊥FC, ?CEF ? 60 ?
分 由(1)知 DE ? 平面CEF , EQ ? 平面CEF ,∴ DE ? EQ ,∴ AC ? EQ , 于是

EC ? EF

………8

? ? FC ? EQ ? ? ? EQ ? 平面ACF AC FC ? C ? AC , FC ? 平面ACF ? ?
分 ∴ DN ? 平面ACF , 又 DN ? 平面ADF , ∴平面 ADF ⊥平面 ACF

AC ? EQ

………10

………12 分

(法二)连接 BF ,∵ EC ? EF , ?CEF ? 60 ,∴△ CEF 是边长为 2 等边三角形… ∵ BE ? EF , ∴ ?EBF ? 分 又 DE ? 平面BCF , DE ∥ AC , ∴ AC ? 平面BCF , ∵ BF ? 平面BCF ,∴ AC ? BF 又∵ FC ………10 分

1 ?CEF ? 30 ,∴ ?BFC ? 90 , BF ? FC 2

………8

AC ? C ,
第 12 页,共 18 页

数学试题(文科)

∴ BF ? 平面ACF ,又∵ BF ? 平面ADF , ∴∴平面 ADF ⊥平面 ACF 分 ………12

19. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)所有的基本事件为(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26), (25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共 10 个. 分 设“m,n 均不小于 25”为事件 A,则事件 A 包含的基本事件为(25,30),(25,26),(30,26), 共 3 个, 故由古典概型概率公式得 P(A)= 5分 (Ⅱ) 由题意得 x ?
3

………2

3 . 10

………

2 11+13+12 25+30+26 ? 12, y ? ? 27, 3x y ? 972,3x ? 432, 3 3
3



? xi yi ? 977, ? xi 2 ? 434
i ?1 i ?1

所以

x y ? nx y 977 ? 972 5 ?? ? b = = , ? x ? nx 434 ? 432 2
n i ?1 i i n 2 i ?1 i 2

5 ? ? 27 ? ?12 ? ?3 , a 2
………9

所以 y 关于 x 的线性回归方程 y ? 分

5 x?3 2

且 当 x ? 10 时, y ? 22, | 22 ? 23 |? 2 ;

49 49 , | ? 25 |? 2 ; 2 2 59 59 , | ? 30 |? 2 ; 当 x ? 13 时, y ? 2 2
当 x ? 11 时, y ? 当 x ? 12 时, y ? 27, | 27 ? 26 |? 2 ; 当 x ? 8 时, y ? 17, |17 ? 16 |? 2 . 所以所得到的线性回归方程是可靠的. 20. (本小题满分 12 分)
数学试题(文科) 第 13 页,共 18 页

………12 分

【解析】 (Ⅰ)由条件易知 P p, 2 p 在抛物线 y 2 ? 2 px 上, 分

?

?

………1

PF ? x p ?

p 3p ? ? 3, 2 2

………3 分 ………4

故 p ? 2 ,即抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ; 分 (Ⅱ)易知直线 l 斜率必存在,设 l : y ? k ? x ? 1? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 分

………5

FA ? 3 FB ? x1 ?1 ? 3? x2 ?1? ①,
分 联立 ?
2 ? 2 ? y ? 4x 2 得 k ? x ? 1? ? 4 x 即 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , ? ? y ? k ? x ? 1?

………6

………8 分

由 ? ? 16 ? 16k 2 ? 0 得 k 2 ? 1 , 分 且 x1 ? x2 ? ? 分 由①②③得 k ?
2

………9

2k 2 ? 4 ②, x1x2 ? 1 ③, k2

………10

3 3 ? 1 ,即直线 l : y ? ? ? x ? 1? . 4 2

………12

分 21. (本小题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由题知: f ? ? x ? ? 分 当 m ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 在 x ? (0, ??) 时恒成立 ∴ f ? x ? 在 (0, ??) 上是增函数. ………2 分

4 4 ? 2mx 2 ? 2mx ? ( x ? 0) , x x

………1

数学试题(文科)

第 14 页,共 18 页

? 2 ?? 2? ?2m ? x ? ?? x ? ? m ?? m? 4 4 ? 2mx ? 当 m ? 0 时, f ? ? x ? ? ? 2mx ? ? ( x ? 0) , x x x
2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 0 ? x ? ∴ f ? x ? 在 ? 0,

2 2 ;令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? . m m
………5 分

? ? ?

2 m

? ? 2 ? ? ? 上为增函数,在 ? ? m , ?? ? ? 上为减函数. ? ? ?

(Ⅱ)法一:由题知: 4lnx ? mx 2 ? 1 ? 0 在 x ? 1, e 上恒成立, 即m ?

? ?

4lnx ? 1 在 x ??1, e? 上恒成立。 x2

………7 分

令 g ? x? ?

2 ?1 ? 4lnx ? 4lnx ? 1 , x ? ?1, e ? ,所以 g ? ? x ? ? , 2 x x3
1 1

………8 分

令 g? ? x ? ? 0 得 1 ? x ? e 4 ;令 g? ? x ? ? 0 得 e 4 ? x ? e .

………9 分 ………10 分

? 1 ? ? 1 ? 4 ∴ g ? x ? 在 ? 1, e ? 上单调递增,在 ? e 4 , e ? 上单调递减. ? ? ? ?
∴ g ? x ?max ? g ? e ? ?

? ?

1 4

? ?

4lne ? 1 ? ? ?e ? ? ?
1 4 2

1 4

?

2 e , e

………11 分

∴m?

2 e . e

………12 分

法二:要使 f ? x ? ? 0 恒成立,只需 f ? x ?max ? 0 ,
2

………6 分

(1)当 m ? 0 时, f ? x ? 在 ?1, e? 上单调递增,所以 f ? x ?max ? f ? e? ? 4 ? me ?1 ? 0 , 即m ?

5 ,这与 m ? 0 矛盾,此时不成立. e2

………7

分 (2)当 m ? 0 时, ① 若

2 2 ? e 即 0 ? m ? 2 时, f ? x ? 在 ?1, e? 上单调递增, e m
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数学试题(文科)

所以 f ? x ?max ? f ? e? ? 4 ? me ?1 ? 0 ,即 m ?
2

5 2 ,这与 0 ? m ? 2 矛盾,此时不成立. 2 e e
………8

分 ②若 1 ?

? 2 ? ? 2 2 2? , e ? 上单调递减 . ? e 即 2 ? m ? 2 时, f ? x ? 在 ?1, ? 上单调递增,在 ? e m m m ? ? ? ? ?

所以 f ? x ?max ? f ? ?

2 2? 2 ? e4 , ? 4ln ?1 ? 0 即 ? ? m m m ? ?
1

解得 分 ③

m?

2 2 e 2 e ,又因为 2 ? m ? 2 ,所以 ?m?2 , e e e

………10

2 ? 1 即 m ? 2 时, f ? x ? 在 ?1, e? 递减,则 f ? x ?max ? f ?1? ? ?m ?1 ? 0 , m
………11

∴ m ? 1 ,又因为 m ? 2 ,所以 m ? 2 ; 分 综合①②③得: m ? 分 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 【解析】 (Ⅰ)曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆;

2 e . e

………12

………1 分 ………2 分 ………3 分 ………4 分 ………5 分

直线 l 的直角坐标方程为 由直线 l 与圆 C 只有一个公共点,则可得 解得:a=﹣3(舍)或 a=1 所以:a=1. (Ⅱ)由题意,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2acosθ(a>0) 设 A 的极角为 θ,B 的极角为 则: =
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………6 分

=
………8 分

∵cos 所以当 时,

= 取得最大值 .
………9 分

∴△OAB 的面积最大值为

………10 分

解法二:因为曲线 C 是以(a,0)为圆心,以 a 为半径的圆,且 由正弦定理得: ,所以|AB=

由余弦定理得:|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB| 则: ≤ × = .

∴△OAB 的面积最大值为



(23) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【解析】解法一: (Ⅰ) (ⅰ) 当 x≤ ? 1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 此时原不等式的解是 x ? ?1 ; (ⅱ)当 ?1 ? x ? ? 此时原不等式无解; (ⅲ)当 x≥ ? ………………2 分

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? ?2 x ? 2 ,解得 x ? ?1 , 2
………………3 分

1 时,原不等式可化为 x ? 1 ? 2 x ,解得 x ? 1 , 2 此时原不等式的解是 x ? 1 ; ………………4 分
综上, M ? x x ? ?1或x ? 1 . (Ⅱ)因为 f ? ab ? ? ab ? 1 ? ? ab ? b ? ? ?1 ? b ?


?

?

………………5 分 ………………6 分 ………………7 分 ………………8 分 ………………9 分 ………………10 分

ab ? b ? 1 ? b

? b a ?1 ? 1? b .
因为 a, b ? M ,所以 b ? 1, a ? 1 ? 0 , 所以 f ? ab? ? a ?1 ? 1? b ,即 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? .
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解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)因为 f ? a ? ? f ? ?b ? ? a ? 1 ? ?b ? 1 ≤ a ? 1 ? ? ?b ? 1? ? a ? b , ………7 分 所以,要证 f ? ab? ? f ? a ? ? f ? ?b? ,只需证 ab ?1 ? a ? b , 即证 ab ? 1 ? a ? b , 即证 a b ? 2ab ? 1 ? a ? 2ab ? b ,
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 即证 a b ? a ? b ? 1 ? 0 ,即证 a ? 1 b ? 1 ? 0 .

2

2

………………8 分

?

?? ?

?

………………9 分

2 2 因为 a, b ? M ,所以 a 2 ? 1, b2 ? 1 ,所以 a ? 1 b ? 1 ? 0 成立,

??

?

所以原不等式成立.

………………10 分

数学试题(文科)

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