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高中数学(人教A版)必修2随堂优化训练:2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质(含答案)


2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质

1.平面 α⊥平面 β,直线 a∥α,则( ) A.a⊥β B.a∥β C.a 与 β 相交 D.以上都有可能 2.若两个平面互相垂直,在第一个平面内的一条直线 a 垂直于第二个平面内的一条直 线 b,那么( ) A.直线 a 垂直于第二个平面 B.直线 b 垂直于第二个平面 C.直线 a 不一定垂直于第二个平面 D.过 a 的平面必垂直于过 b 的平面 3.已知平面 α⊥平面 β,则下列命题正确的个数是( ) ①α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线; ②在 β 内垂直于 α 与 β 的交线的直线垂直于 α 内的任意一条直线; ③α 内的任何一条直线必垂直于 β; ④过 β 内的任意一点作 α 与 β 交线的垂线,则这条直线必垂直于 α. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 4.在空间,下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 5.如图 K236,ABCD A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是( )

图 K236 A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 角为 60° 6.已知 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,并且 PA=6,AB=3,AD=4,则点 P 到 BD 的距离是( ) 6 29 A. B.6 29 5 C.3 5 D.2 13 7.已知△ABC 所在平面外面一点 V,VB⊥平面 ABC,平面 VAB⊥平面 VAC 平面. 求证:AC⊥BA.

8.如图 K237,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂足为点 H.则 以下命题中:

图 K237 ①点 H 是△A1BD 的垂心; ②AH 垂直平面 CB1D1; ③AH 的延长线经过点 C1; ④直线 AH 和 BB1 所成角为 45° ; 其中正确的命题的序号是____________. 9.在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中,A 到平面 B1C 的距离为________,A 到平 面 BB1D1D 的距离为________,AA1 到平面 BB1D1D 的距离为________. 10.如图 K238,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,求证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA.

图 K238

2.3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1.D 2.C 3.B 解析:画正方体验证 α 内可以有直线不与 β 垂直,或平行或相交,③错误. 4.D 5.D 6.A 7.证明:如图 D58,过点 B 作 BD⊥VA 于 D. ∵平面 VAB⊥平面 VAC, ∴BD⊥平面 VAC.∴BD⊥AC. 又∵VB⊥平面 ABC,∴VB⊥AC. 又∵BD∩VB=B,∴AC⊥平面 VBA. ∴AC⊥BA.

图 D58

2 2 a a 2 2 10.证明:(1)如图 D59,取 EC 中点 F ,连接 DF. ∵EC⊥平面 ABC,BD∥CE, ∴DB⊥平面 ABC. 8.①②③ 9.a

图 D59 ∴DB⊥AB,EC⊥BC. 1 ∵BD∥CE,BD= CE=FC, 2 ∴四边形 FCBD 是矩形,DF⊥EC. 又 BA=BC=DF, ∴Rt△DEF≌Rt△ABD,故 DE=DA. (2)取 AC 中点 N,连接 MN,NB, 1 1 ∵M 是 EA 的中点,∴MN 綊 EC.由 BD 綊 EC, 2 2 且 BD⊥平面 ABC,可得四边形 MNBD 是矩形. 于是 DM⊥MN. ∵DE=DA,M 是 EA 的中点,∴DM⊥EA. 又 EA∩MN=M,∴DM⊥平面 ECA. 而 DM?平面 BDM, 则平面 BDM⊥平面 ECA. (3)∵DM⊥平面 ECA,DM?平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA.


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