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2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第十二讲 函数与方程


第十二讲 函数与方程
一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号 内.) 1.方程 x-

1 =0 的实数解所在的区间是() x

A.(-∞,-1)B.(-2,2) C.(0,1)D.(1,+∞) 解析:令 f(x)=x答案:B 2.下列函数图象与 x 轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是()

1 ,则 f(1)=0,f(-1)=0,只有 B 合适. x

解析:首先排除 D,因为 f(x)图象不连续,再次排除 A?B,因为 A?B 不符合 f(a)·f(b)<0. 答案:C 3.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点 2,则方程 bx -ax=0 的根是() A.0,2B.0,? C.0, -?D.2,- ? 解析:由 ax+b=0 的根为 2,得 2a+b=0,∴b=-2a,则方程 bx -ax=0 变为 2ax +ax=0.∵a≠0,∴2x +x=0,∴x1=0,x2=-?.
2 2 2 2

答案:C 4.(2010·合肥模拟)方程 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围是()
2

? 23 ? A. ? ? , ?? ? ? 5 ? ? 23 ? C. ? ? ,1? ? 5 ?
2

B. ?1, ?? ? 23 ? ? D. ? ??, ? ? 5? ?
2

解析:设 f(x)=x +ax-2,∵f(0)=-2<0,∴由 x +ax-2=0 在区间[1,5]上有解,只需 f(1)≤0

且 f(5)≥0 即可,解得答案:C

23 ≤a≤1. 5

5.已知函数 y=f(x)的图象是连续不断的,有如下的对应值表: x y 1 -5 2 2 3 8 4 12 5 -5 6 -10

则函数 y=f(x)在 x∈[1,6]上的零点至少有() A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 解析:满足条件的零点应在(1,2)和(4,5)之间,因此至少有两个零点. 答案:D 6.(2010·浙江)已知 x0 是函数 f(x)=2 + 则() A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 解析:由于函数 g(x)=
x

1 的一个零点.若 x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞), 1? x

1 1 x ?? 在(1,+∞)上单调递增,函数 h(x)=2 在(1,+∞)上 1? x x ?1

单调递增,故函数 f(x)=h(x)+g(x)在(1,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)在(1,+∞)上只有惟 一的零点 x0,且在(1,x0)上 f(x)<0,在(x0,+∞)上 f(x)>0,故选 B. 答案:B 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.若函数 f(x)=x +ax+b 的两个零点是-2 和 3,则不等式 a·f(-2x)>0 的解集是________. 解析:由于 f(x)=x +ax+b 的两个零点是-2 和 3,即方程 x +ax+b=0 的两个根是-2 和 3,因 此?
2 2 2

??2 ? 3 ? ?a ?a ? ?1 2 2 ,因此 f(x)=x -x-6,所以不等式 a·f(-2x)>0 即-(4x +2x-6)>0, ?? ? 2 3 ? b b ? ? 6 ? ?
2

即 2x +x-3<0,解集为{x|-?<x<1}. 答案:{x|-?<x<1}

8.(应用题,易)在 26 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量不 同),现在只有一台天平,请问:你最多称________次就可以发现这枚假币? 答案:4 9.方程 xlg(x+2)=1 有________个不同的实数根. 解析:由题意知 x≠0,∵xlg(x+2)=1,∴lg(x+2)=

1 1 ,画出 y=lg(x+2),y= 的图象(图略), x x

两个函数图象的交点个数即为方程根的个数,由图象知在第一象限和第三象限各有一个交点, 故方程有 2 个不等实数根. 答案:2 10.已知函数 f(x)=|x|+|2-x|,若函数 g(x)=f(x)-a 的零点个数不为 0,则 a 的最小值为 ________.

? 2 ? 2 x, ? 解析:由于 f(x)=|x|+|2-x|= ? 2, ? 2 x ? 2, ?

x≤0, 0 ? x ? 2, x≥2.

所以 f(x)的最小值等于 2,要使 f(x)-a=0 有解,应使 a≥2,即 a 的最小值为 2. 答案:2 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.已知二次函数 f(x)=ax +bx+c. (1)若 a>b>c 且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点; (2)若对 x1、x2∈R 且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)=? [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根, 证明必有一实根属于(x1,x2). 证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0. 又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0. 又∵Δ =b -4ac≥-4ac>0, ∴方程 ax +bx+c=0 有两个不等实根, 所以函数 f(x)有两个零点. (2)令 g(x)=f(x)-? [f(x1)+f(x2)], 则 g(x1)=f(x1)- ? [f(x1)+f(x2)]
2 2 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 2 = f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? g ? x1 ? g ? x 2 ? ? o 2 2 2 1 ?? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? . ? ? 4 g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? y ? ? f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? ??
∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)?g(x2)<0. ∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根. 评析:可将方程根的问题转化成函数零点的问题,借助函数的图象和性质进行解答. 12.若函数 f(x)=2 +2 a+a+1 有零点,求实数 a 的取值范围. 解:依题意,方程 2 +2 a+a+1=0 有实数根. 令 2 =t(t>0),则 t +at+a+1=0,
x 2 2x x 2x x

t2 ?1 t 2 ? 1 (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? 2 ,由于 ? t ?1 t ?1 t ?1 2 2 ? (t ? 1) ? ? 2, (t ? 1) ? ≥2 2, t ?1 t ?1 t2 ?1 t2 ?1 ? ≥2 2 ? 2, ? ≤2 ? 2 2, t ?1 t ?1 ?a ? ? 故a的取值范围是a≤2 ? 2 2 .
13.(1)m 为何值时,f(x)=x +2mx+3m+4. ①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)①f(x)=x +2mx+3m+4 有且仅有一个零点?方程 f(x)=0 有两个相等实根?Δ =0,
2 2 2

即 4m -4(3m+4)=0,即 m -3m-4=0, ∴m=4 或 m=-1. ②解法一:设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2. 则 x1+x2=-2m,x1?x2=3m+4. 由题意,知

2

2

?4m 2 ? 4 ? 3m ? 4 ? ? 0 ? ? ? ?? x1 ? 1? ? ? x 2 ? 1? ? 0 ? ?? x1 ? 1?? x 2 ? 1? ? 0 ?m 2 ? 3m ? 4 ? 0 ? ? ? ?2 m ? 2 ? 0 ?3m ? 4 ? 2m ? 1 ? 0 ? ?m ? 4或m ? ?1, ? ? ?m ? 1, ?m ? ?5, ?
∴-5<m<-1. 故 m 的取值范围为(-5,-1). 解法二:由题意,知

?? ? 0, ? ?? m ? ?1, ? f (?1) ? 0, ? ?m2 ? 3m ? 4 ? 0, ? 即 ?m ? 1, ?1 ? 2m ? 3m ? 4 ? 0. ?
∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 f(x)=0,得|4x-x |+a=0,即|4x-x |=-a. 令 g(x)=|4x-x |,h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象.
2 2 2

由图象可知,当 0<-a<4,即-4<a<0 时,g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点,即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0).

第一讲

集合与集合的运算 考号________ 日期

班级________ 姓名________ ________
内.)

得分________

一?选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号

1.(2010·天津)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 的取值范围是( ) B.{a|a≤2,或 a≥4}[来源:学.科.网] D.{a|2≤a≤4}

则实数 a

A.{a|0≤a≤6} C.{a|a≤0,或 a≥6}

解析 :由于不等式|x-a|<1 的解是 a-1<x<a+1,当 A∩B= ? 时,只要 a+1≤1 或 a-1≥5 即 可,即 a≤0 或 a≥6,选 C. 答案:C

? 1? A ? ? x | log 1 x≥ ? , 则?R A ? 2.(2010·安徽)若集合 2? ? 2

?

? A.(??, 0] ? ? ? ? ? C.(??, 0] ? ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

? B. ? ? ? ? D. ? ?

? 2 , ?? ? ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? 2 ?

?x ? 0 ? 1 1 解析 : 不等式log 1 x≥ ? ? 2 ? 1 1 ? ? 2 ?log x≥log 1 ? ? 2 2 ? 2 ?2? ?x ? 0 ? 2 ? 2 ? ? 0 ? x ≤ , 所以 ? A ? ( ?? , 0] ? , ?? ? ? ? R 2 ? 2 ?. 2 ? ? ? x≤ ? 2
答案:A 3.已知 M={x|x=a +2a+4,a∈Z},N={y|y=b -4b+6,b∈Z},则 M?N 之间的关系是( A.M?N B.N?M
2 2

)

C.M=N D.M 与 N 之间没有包含关系 解析:取 a=0,则 4∈M,但 4 ? N,若不然,有 b -4b+6=4,b ? Z.又取 b=0,6∈N,但 6 ? M.
2

答案:D 4.设全集为 U,若命题 p:2010∈A∩B,则命题 A.2010∈A∪B

? p 是(

)

B.2010 ? A 且 2010 ? B

?U
解析:命题 答案:D

?U

?U

? UB)

?p 是

? U(A∩B),即 2010∈( ? U

? UB).

评析:本题考查集合的运算及非命题的概念,要求对于集合中的运算性质

? U(A∩B)=( ? U
2

? UB)与

? U(A∪B)=(
2

? UA)∩( ? UB)能够加强联想与发散.
2 2

5.已知集合 P={y=x +1},Q={y|y=x +1},S={x|y=x +1},M={(x,y)|y=x +1},N={x|x≥1}, 则( ) A.P=M C.S=M B.Q=S D.Q=N

解析:集合 P 是用列举法表示,只含有一个元素,集合 Q,S,N 中的元素全是数,即这三个集 合都是数集,集合 Q 是函数 y=x +1 中 y 的取值范围{y|y≥1},集合 S 是函数 y=x +1 中 x 的取 值范围 R;集合 N 是不等式的解集{x|x≥1},而集合 M 的元素是平面上的点,此集合是函数 y=x +1 图象上所有的点组成的集合.选 D. 答案:D 评析:解集合问题时,对集合元素的准确性识别十分重要,不要被 x,y 等字母所迷惑,要 学会透过现象看本质. 6.定义集合 M 与 N 的新运算如下:M*N={x|x∈M 或 x∈N,但 x M={0,2,4,6,8,10,12},N={0,3, 6,9,12,15},则(M*N)*M 等于( A.M C.N B.{2,3,4,8,9,10,15} D.{0,6,12} ) 若
2 2 2

解析:因为 M∩N={0,6,12},所以 M*N={2,3,4,8 ,9 ,10,15},所以 (M*N)*M={0,3,6,9,12,15}=N,故选 C. 答案:C 评析:本题给出了新运算“*”的定义,并要求求(M*N)*M 的解,解决这类信息迁移题的

基本方法是以旧代新法,把新定义的运算“*”纳入到已有的集合交?并?补的运算体系之中, 并用已有的解题方法来分析?解决新的问题.另外此题还可以用 Venn 图来分析求解.[来 源:Z#xx#k.Com] 二?填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.)[来 源:Zxxk.Com] 7.(2010·重庆)设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若
2

? UA={1,2},则实数

m=________.[来源:学,科,网][来源:学§科§网 Z§X§X§K] 解析:依题意得 A={0,3},因此有 0+3=-m,m=-3. 答案:-3 8.已知 A={x|x>3 或 x<-1},B={x|a≤x≤b}.若 A∪B=R,A ∩B={x|3<x≤4},则 a,b 的值分 别为________. 解析:画出数轴可知 a=-1,b=4. 答案:-1,4[来源:学科网 ZXXK] 9.已知 U={实数对(x ,y)},A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3},B={(x,y)|3x-y-2=0},则 瘙 綂

[

KG-1mm]UA∩B=________.

解析:容易错解为:由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2,故 A=B,则

? UA∩B= ? .

上 述解答的错因是将条件进行了非等价变形而扩大了变量的取值范围.实际上,由 lg(y-4)-lg(x-2)=lg3,得 y=3x-2(x>2),[来源:学科网] ∴A={(x,y)|lg(y-4)-lg(x-2)=lg3}={(x,y)|y=3x-2(x>2)},

? UA ={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}.
答案

? UA∩B={(x,y)|y=3x-2(x≤2)}

10.已知集合 A?B 与集合 A⊙B 的对应关系如下表: A B {1,2,3,4,5} {2,4,6,8} {-1,0,1} {-2,-1,0,1}[来 源:Zxxk.Com] A⊙B {1,3,6,5,8} {-2} {-2,0,2,8} {-4,8} {-4,-2,0,2}

若 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011},试根据图表中的规律写出 A⊙B=__________. 解析:通过对表中集合关系的分析可以发现:集合 A⊙B 中的元素是 A∪B 中的元素再去掉 A∩B 中的元素组成,故当 A={-2009,0,2010},B={-2009,0,2011}时,A⊙B={2010,2011}. 答案:{2010,2011} 三?解答题:(本大题共 3 小题,11?12 题 13 分 ,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.规定 与 是两个运算符号,其运算法则如下:对任意实数 a,b 有
2

+b +1)且-2<a<b<2,a,b∈Z.用列举法表示集合

2

a ?b? ? A ? ? x | x ? 2(a ? b) ? ?. b ? ?
解:根据 运算法则有[来源:学科网]

x ? 2(a ? b) ?

a?b b
2

? 2ab ? a 2 ? b 2 ? 1 ? ? a ? b ? ? 1. 当a ? ?1时, b ? 0或b ? 1.因为在 a?b 中, b b为分母, 故b ? 0不符合题意, 舍去.

当 a=0 时,b=1. 把 a=-1,b=1 或 a=0,b=1 代入 x=(a+b) +1 得 x=1 或 x=2.故 A={1,2}. 12.已知集合 A={2,x,x ,xy},集合 B={2,1,y,x},是否存在实数 x,y 使 A=B?若存在,试求
2 2

x,y 的值;若不存在,说明理由. 解:假设存在实数 x,y 使 A=B,若 x=1,则集合 A,B 中出现 2 个 1,这与集合中元素的互异 性矛盾,所以必有

? x2 ? y, ? x2 ? 1, 或? ? ? xy ? 1, ? xy ? y.
(1)由 x =y 且 xy=1,解得 x=y=1,与集合中元素的互异性矛盾.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] (2)由 x =1 且 xy=y,解得 x=1,y∈R(舍去)或 x=-1,y=0.经检验 x=-1,y=0 适合题意. 13.已知两集合 A={x|x=t +(a+1)t+b},B={x|x=-t -(a-1)t-b},求常数 a、b,使 A∩B={x|-1≤x≤2}.
2 2 2 2

? ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 4b ? (a ? 1) 2 ? 解 : A ? ? x | x≥ , B ? x | x ≤ ? ? ?, 4 4(?1) ? ? ? ? A ? B ? ?x | ?1≤x≤2? , ? 4b ? (a ? 1)2 ? ?1 ? ? 4 ?? , 2 ? 4b ? (a ? 1) ? 2 ? ? ?4
解得 a=-1,b=-1.


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