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平面两点间距离公式探究及应用


平面两点间距离公式探究及应用
让学生在知识的发生发展过程中去体会、领悟知识,通过数学思维活动的参与,更能有利于学生对知 识的掌握,教给学生探究问题的方法比教给学生知识更重要,新课程的观点就是让学生在活动中进行研究 性学习,让课堂富有生命力 首先我们要寻找知识的生长点与学生的最近发展区——两点间距离公式应是较好的切入点,通过设置 系列问题展开探究. 例 1、已知 M (2, 5 ), N (?1,?2) ,在 x 轴上求一点 P ,使 PM ? PN ,并求点 P 到点 M 的距离. 分析:设 P(x,0) ,利用两点间距离公式,由 PM ? PN 列方程解决. 解:设 P(x,0) ,则 PM ?

( x ? 2) 2 ? (0 ? 5 ) 2 ?
x 2 ? 2x ? 5

x 2 ? 4x ? 9

PN ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ?

? PM ? PN
? x 2 ? 4x ? 9 ? x 2 ? 2x ? 5
两边平方,解得 x ?

2 3

2 61 ? P( ,0), d ( P, M ) ? 3 3

2 2 例 2、代数式 ( x ? 1) ? 1 ? ( x ? 3) ? 4 的最小值。 2 2 2 2 解:原代数式可变形为 ( x ? 1) ? (0 ? 1) ? ( x ? 3) ? (0 ? 2) 。

它的几何意义是:点 P( x,0) 到两个点 A(?1,1) , B(3, 2) 的距离之和,即在 x 轴上求一点 P ,使得

P 到 A 、 B 的距离之和最小。 A 关于 x 轴对称点 A1 (?1, ?1) 。
直线 A1 B 与 x 轴的交点即为 P 点,如图 直线 A1 B 方程为 3x ? 4 y ? 1 ? 0 。 令 y ? 0 得 P ( , 0) 而最小值即为 A1 B 的长。
y

1 3

A

B O P
x

A1

A1 B ?

?3 ? (?1)? ? ?2 ? (?1)?
2

2

? 5。

所以代数式的最小值为 5。 思维迁移:将代数式表示为两个点与点的距离,进而利用对称解决,这是典型代数题用几何方法解决. 例 3、已知点 A(?1,2), B(2, 7 ) ,在 x 轴上是否存在一点 P ,使得 PA ? PB ,如果存在,求出 P 的坐标,

并计算 PA 的值;如果不存在,请说明理由. 分析:本题是一个存在型的探究问题,我们可以假设这样的点存在,利用 PA ? PB 建立方程,若方程有 解,则点存在,否则,可判定这样的点不存在. 解:假设在 x 轴上存在一点 P ,设其坐标为 (x,0) ,则

PA ? ( x ? 1) 2 ? (0 ? 2) 2 ?
2

x 2 ? 2 x ? 5 , PB ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 7 ) 2 ?
2

x 2 ? 4 x ? 11

由于 PA ? PB ,所以 x ? 2 x ? 5 ? x ? 4 x ? 11 即 6 x ? 6,? x ? 1. 故存在一点 P ,其坐标为 (1,0) ,使得 PA ? PB .此时 PA ? 2 2 .

学生思维在所学知识的综合应用中自由遨游,相互交流研究成果,共享问题解决后的喜悦,使学生在有 所收获的同时激起继续学习新区和欲望。


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