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(word版)广东省揭阳第一中学2012届高三上学期摸底考试题数学文


2011—2012学年度高三两校联合摸底考试 数 学(文科)
本试卷共21小题,满分150分.考试用时120分钟.

第I卷 (选择题)(50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={x|x<3,N={x|},则M∩N=( ) A. B.{x|0<x<3 C.{x|1<x<3 D.{x|2<x<3 2.复数等于( ). A. B. C. D. 3.“a=”是函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为“π”的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充 分条件也不必要条件 4.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(3)的值为( ) A.-1 B. -2 C.1 D. 2 5.一个算法的程序框图如下图所示,若该程序输出的结果为 ,则判断框中应填入的条件是( )

A. B. C. D.

6.如果一空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形,俯视图是半 径为3的圆及其圆心,则这个几 何体的体积为( ) A. B. C. D. 7.已知向量的夹角为,且则向量与的夹角为( ) A. B. C. D. 8.设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐 标原点)的 面积为4,则抛物线方程为 ( ). A. B. C. D. 9.已知命题p:.若命题p且q是真命题,则实数 a的取值范围为 ( ) A. B.a≤-2或1≤a≤2 C.a≥1 D.-2≤a≤1 10.已知O为直角坐标系原点,P,Q坐标均满足不等式组,则使取最 小 值时的的大小为( ) A. B. C. D.

第II卷(非选择题)(100分)
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20 分. (一)必做题(11-13题) 11.设是等差数列的前项和,若,,则数列的通项为 12.若直线(,)被圆截得的弦长为4,则 的最小值为 13.某企业三月中旬生产,A、B、C三种产品共3000件,根据分层抽样 的结果;企业统计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量 A B 1300 C

(件) 样本容量 (件) 130

由于不小心,表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚,统 计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信 息,可得C的产品数量是 件。 (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图所示,AC和AB分别是圆O的切 线,B、C 为切点, 且OC = 3,AB = 4,延长AO到D点,则△ABD的面积是___________. 15.(坐标系与参数方程选做题)设P(x,y) 是曲线C:( 为参数) 上任意一点,则 的取值范围是 . 三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本题满分12分)在锐角中,已知内角A、B、C所对的边分别为a、 b、c,且满足 2sinB(2cos2-1)=-cos2B。 (1)求B的大小; (2)如果,求的面积的最大值.

17.(本题满分12分)为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况,随 机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于13秒与18秒之间,将成 绩按如下方式分成五组:第一组[13,14);第二组[14,15);……; 第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已 知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19,且第二组的频数 为8. (1)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内 的人数; (2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩; (3)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对 值 大于1秒的概率.

18.(本题满分14分)已知如图:平行四边形ABCD中,,正方形ADEF 所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别是DF,BE的中点.

(1)求证:GH∥平面CDE; (2)若,求四棱锥F-ABCD的体积.

19.(本题满分14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个 端点到右焦点的距离为3. O P A B 图7 (1)求椭圆C的方程; (2)过椭圆C上的动点P引圆O:的两条切线PA、PB, A、B分别为切点,试探究椭圆C上是否存在点P,由点P向圆O所 引的两条切线互相垂直?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请 说明理由.

20.(本题满分14分)已知函数 (1)求的值; (2)已知数列,求证数列 是等差数列; (3)已知,求数列的前n项和.

21.(本题满分14分)已知. (1)当时,求上的值域; (2) 求函数在上的最小值; (3) 证明: 对一切,都有成立

揭阳一中2011—2012学年度高三摸底考试试题 数 学(文科)参考答案及评分意见
1. 选择题 DCCBD DDBAD 二. 填空题 11. 2n+1 12. 13.800 14. 15. [-,]

16. (1)解: 2sinB(2cos2-1)=-cos2B2sinBcosB=-cos2B tan2B= - ……4分 ∵0<2B<π,∴2B=,∴B= ……6分 (2)由tan2B=- B= ∵b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac(当且仅当a=c= 2时等号成立) ……9分 ∵△ABC的面积S△ABC= acsinB=ac≤ ∴△ABC的面积最大值为 ……12分

17. 解:(1)百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32. 0.321000=320 ∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人。 ……2分 (2)设图中从左到右前3个组的频率分别为3x,8x ,19x 依题意,得

3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ,∴x=0.02

……4分  ∴n=50

设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩,则

∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩. b,c

……6分

(3)百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3,记他们的成绩为a, 百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4,记他们的成绩为m,n,p,q 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有 {a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n}, {c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q},共21个 ……9分 其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n}, {a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},共12个, ……10分 所以P= ……12分 18.(1)证法1:∵, ∴且 ∴四边形EFBC是平行四边形 ∴H为FC的中点-------------2分 又∵G是FD的中点

∴---------------------------------------4分 ∵平面CDE,平面CDE ∴GH∥平面CDE -------------------------------------7分 证法2:连结EA,∵ADEF是正方形  ∴G是AE的中点 --------------1分 ∴在⊿EAB中, ----------------------------------3分 又∵AB∥CD,∴GH∥CD,----------------------------------4分 ∵平面CDE,平面CDE ∴GH∥平面CDE --------------------------------------------7分 (2)∵平面ADEF⊥平面ABCD,交线为AD 且FA⊥AD,  ∴FA⊥平面ABCD.--------------------------------------------------9分 ∵, ∴ 又∵ , ∴BD⊥CD ---------------------------------------------------------------------------------------11分 ∴ = ∴ =-----------------------------------------14分

19. 解:(1)设椭圆的半焦距为,依题意-----------------------------,------------------------------4分 所求椭圆方程为------------------------------5分 (2)如图,设P点坐标为,--------------------------6分 若,则有.-----------------------7分 即-----------------------------8分 有 两边平方得……①------------------------------9分 又因为在椭圆上,所以……②------------------------------10分 ①,②联立解得------------------------------11分 所以满足条件的有以下四组解 ,,,------------------------------13分

3分

所以,椭圆C上存在四个点,,,,分别由这四个点向圆O所引的两条切 线均互相垂直. ------------------------------14分 20. 解:(1)因为 ------------------------------2分 所以设S=…………(1) . (1)+(2)得: =, 所以S=. ------------------------------5分 (2)由 两边同减去1,得 ------------------------------7分 所以 , 所以 , 是以2为公差以 为首项的等差数列. ----------------10分 (3)因为 S= ………(2)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

.

.

. 因为,所以 ------------------------------12分 = (3) = (4) 由(3)-(4)得 == 所以= -----------------------------14分 21.解(1)∵=, x∈[0,3] ………….. 1分 当时,;当时, 故值域为 ………………. 3分 (2),当,,单调递减,当,,单调递增. …………………………. 5分 ① ,t无解; …………… 6分 ② ,即时,; ………………. 7分 ③ ,即时,在上单调递增,;…………8分 所以. ………………. 9分 (3),所以问题等价于证明,由(2)可知的最小值是,当且仅当时取 到 ; …………….. 11分 设,则,易得,当且仅当时取到,从而对一切,都有成立. ……………….. 14分


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