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安徽省滁州市定远县育才学校2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题(实验班)理

育才学校 2018-2019 学年度第二学期期末试卷 高二实验班理科数学

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

1.下列说法正确的是(

)

A. 若命题 均为真命题,则命题 为真命题

B. “若 ,则

”的否命题是“若



C. 在

,“ ”是“

”的充要条件

D. 命题 “

”的否定为 “



2.若函数

,设



, ,则 , , 的大小关系

A.

B.

C.

D.

3.已知为虚数单位,复数

,则 (



A.

B.

C.

D.

4.已知集合

A.

B.





C.

D.

5.已知函数

,且

,则不等式

的解集为

A.

B.

C.

D.

6.执行如图所示的程序框图,若输入的 值为 ,则输出的 值为(



1

A.

B.

C.

7.已知函数

.若不等式

,则 的取值范围是( )

A.

B.

C.

8.设函数

是定义 在上的偶函数,且

D. 的解集中整数的个数为

D. ,若

,则

A.

B.

C.

D.

9.在 ?ABC 中, D 为 BC 边上一点,且 AD ? BC ,向量 AB ? AC 与向量 AD 共线,若 AB
AC ? 10 , BC ? 2 , GA ? GB ? GC ? 0 ,则 ? ( ) CG

A. 3

B. 5

C. 2

10.已知定义在 R 上的奇函数 满足

()

A. 1 B.

C. 2 D.

11.函数

的图象大致是( )

D. 10 2
,则

A.

B.

C.

D.

2

12.关于函数 f (x) ? sin | x | ? | sin x |有下述四个结论:

①f(x)是偶函数

②f(x)在区间( ? ,? )单调递增 2

③f(x)在[?? ,? ]有 4 个零点 ④f(x)的最大值为 2

其中所有正确结论的编号是

A. ①②④

B. ②④

C. ①④

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

D. ①③

13.设函数

的图象与

的图象关于直线

对称,且

,则实

数 _____. 14.已知 是夹角为的两个单位向量,

,则

=_______.

15.已知函数

,若函数

有三个不同的零点,则实数的取值

范围是__________.

16.命题“存在实数 ,使

”是假命题,则实数 的取值范围为

________.

三、解答题(共 6 小题,第 17 小题 10 分,其它每小题 12 分,共 70 分)

17.已知函数 f (x) ? ?(x ? 2m)(x ? m ? 3) (其中 m ? ?1), g(x) ? 2x ? 2 .

(1)若命题“ log2 g(x) ? 1”是真命题,求 x 的取值范围; (2)设命题 p : ?x ?(1, ??), f (x) ? 0 或 g(x) ? 0 ;命题 q : ?x ?(?1, 0), f (x )g (x )? 0, 若 p ? q 是真命题,求 m 的取值范围. 18.已知集合 A ? {x | 3 ? 3x ? 27} , B ? {x | log2 x ? 1}. (1)分别求 A B , (CU B) A ; (2)已知集合 C ? {x |1 ? x ? a},若 C ? A ,求实数 a 的取值集合.

19.已知| a |? 4 ,| b |? 3 , (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61.

3

(1)求 a 与 b 的夹角? ;

(2)若 OA

?

a

,OB

?

b

,OC

?

1 2

OA ,OD

?

2 3

OB

,且

AD与

BC 交于点

P

,求 |

OP

|.

20.已知函数 y ? f ? x? 的定义域为 R ,且对任意实数 x 恒有 2 f ? x? ? f ??x? ? ax ? 0

( a ? 0 且 a ?1)成立.

(1)求函数 f ? x? 的解析式;

(2)讨论 f ? x? 在 R 上的单调性,并用定义加以证明. 21.已知函数 f ? x? ? ax2 ? 1 ,其中 a 为实数.
x
(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ? x? 的奇偶性,并说明理由;

(2)若 a ??1,3? ,判断函数 f ? x? 在?1, 2?上的单调性,并说明理由.

? ? 22.已知函数 f ? x? ? log4 4x ?1 ? kx?k ? R? 是偶函数.

(1)求 k 的值;

(2)若函数 y ? f ? x? 的图像与直线 y ? 1 x ? a 没有交点,求 a 的取值范围;
2

(3)若函数

h?

x?

?

4

f

?x??1 x
2

?

m?2x

?1,

x

??0,

log2 3?

,是否存在实数

m

使得

h?

x?

最小值为

0,若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

4

参考答案 1. D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.D 8.D 9.B 10.B 11.C 12.C

13.

14.

15.

16.

17.(1) (1, 2) ;(2) ?4 ? m ? ?2. 解:(1)∵命题“ log2 g(x) ? 1”是真命题,即 log2 (2x ? 2) ? 1 , ∴ 0 ? 2x ? 2 ? 2 ,解得1? x ? 2 ,∴ x 的取值范围是 (1, 2) ; (2)∵ p ? q 是真命题,∴ p 与 q 都是真命题, 当 x ?1时, g(x) ? 2x ? 2 ? 0 ,又 p 是真命题,则 f (x) ? 0

∵ m ? ?1,∴ 2m ? ?m ? 3,∴ f (x) ? 0 ? x ? 2m 或 x ? ?m ? 3

∴ ?m ? 3 ?1,解得 A ? {m | m ? ?4} 当 ?1? x ? 0 时, g(x) ? 2x ? 2 ? 0 ∵ q 是真命题,则 ?x ?(?1, 0) ,使得 f (x) ? 0 ,而 f (x) ? 0 ? 2m ? x ? ?m ? 3

∵ m ? ?1,∴ 2m ? ?1,∴ ?m ? 3 ? ?1,解得 A ? {m | m ? ?2}

求集合 A, B 的交集可得 ?4 ? m ? ?2.

18.(1) A B ? {x | 2 ? x ? 3}, (CRB) A ? {x | x ? 3};(2){a | a ? 3} . 解:(1) A B ? {x | 2 ? x ? 3}, (CRB) A ? {x | x ? 3} (2){a | a ? 3}

19.(1)? ? 2? ;(2)| OP |? 7 .

3

2

解:(1)∵ (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61,∴ 4 | a |2 ?4a ? b ? 3 | b |2 ? 61.

又| a |? 4 ,| b |? 3 ,∴ 64 ? 4a ? b ? 27 ? 61,∴ a ? b ? ?6 .

∴ cos? ? a ? b ? ? 6 ? ? 1 . | a || b | 4? 3 2

5

又 0 ? ? ? ? ,∴? ? 2? .
3

(2) OP ? xOA ? (1? x)OD ? xa ? 2(1? x) b , 3

OP ? yOB ? (1? y)OC ? yb ? 1? y a , 2

∴ x ? 1? y , y ? 1 ,∴ x ? 1 , y ? 2 (1? x) ,∴ OP ? 1 a ? 1 b ,

2

2

43

42

∴| OP |2 ?

1

2
a

?

1

a

?

b

?

1

2
b

?

7 ,∴| OP |?

7.

16 4

44

2

20.(1) f ? x? ? a?x ? 2ax ? x ? R? (2)当 a ?1时, f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上为单调减

3

3

函数;当 0 ? a ?1时, f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上为单调增函数.
3
解:(1)∵ y ? f ? x? 对任意实数 x 恒有: 2 f ? x? ? f ??x? ? ax ? 0 ①,

用 ?x 替换①式中的 x 有: 2 f ??x? ? f ? x? ? a?x ? 0 ②,

①×②—②得: f ? x? ? a?x ? 2ax ? x ? R? ,
3
(2)当 a ?1时,函数 g ? x? ? a?x 为单调减函数,函数 h? x? ? ?2ax 也为单调减函数,

∴ f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上为单调减函数.
3
当 0 ? a ?1时,函数 g ? x? ? a?x 为单调增函数,函数 h? x? ? ?2ax 也为单调增函数,

∴ f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上为单调增函数.
3

? ? ? ? ? ? ? ? 证明:设任意 x1、x2 ? R 且 x1 ? x2 ,则 f

x1 ? f

x2

?

a?x1 ? a?x2

? 2 ax2 ? ax1 3

? ?? ? ax2 ? ax1
?

1? 2ax1?x2

,∵ x1、x2 ? R , x1 ? x2 ,

3a x1 ? x2

? ? ? ? ①当 a ?1时,则 ax2 ? ax1 ? 0, ax1?x2 ? 0,1? 2ax1?x2 ? 1 ? 0 ,∴ f x1 ? f x2

∴ f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上是减函数.
3

6

? ? ? ? ②当 0 ? a ?1时,则 ax2 ? ax1 0, ax1?x2 0,1? 2ax1?x2 1 0 ,∴ f x1 ? f x2

∴ f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上是增函数.
3

综上:当 a ?1时, f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上为单调减函数;
3

当 0 ? a ?1时, f ? x? ? a?x ? 2ax 在 R 上为单调增函数.
3
21.(1)当 a ? 0 时是奇函数,当 a ? 0 时是非奇非偶函数;(2)见解析.
解:
(1)当 a ? 0 时, f ? x? ? 1 ,显然是奇函数;
x
当 a ? 0 时, f ?1? ? a ?1, f ??1? ? a ?1, f ?1? ? f ??1? 且 f ?1? ? f ??1? ? 0 ,

所以此时 f ?x? 是非奇非偶函数.

(2)设 ?x2 ? x2 ??1, 2?,

则f

?x1 ? ? f

?x2 ?

?

a ?x1

? x2 ??x1

?

x2 ? ?

x2 ? x1 x1x 2

?

? x1

?

x2

?

? ?a

?

x1

?

?

x2 ? ?

1 x1x 2

? ? ?

? ? 因为 x1 ? x2 ? 1, 2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 , 2 ? x1 ? x2 ? 4 , 1 ? x1x2 ? 4 ,

所以 2 ? a ?x1 ? x2 ? ?12 ,

1 ? 1 ?1, 4 x1x2

所以 a ? x1

? x2??

1 x1x 2

?

0,

所以 f ?x1? ? f ?x2 ? ? 0 ,即 f ?x1? ? f ?x2 ?,故函数 f ?x? 在?1, 2?上单调递增. 22.(1) k ? ? 1 (2) ???,0? (3)存在 m ? ?1得 h? x? 最小值为 0.
2
? ? ? ? 解:(1)∵ f ??x? ? f ?x? ,即 log4 4?x ?1 ? kx ? log4 4x ?1 ? kx 对于任意 x ? R 恒

成立.

? ? ? ? ∴ 2kx ? log4

4?x ?1

? log4

4x ?1

?

log4

4?x ?1 4x ?1

∴ 2kx ? ?x

7

∴k ??1 2

? ? ? ? (2)由题意知方程 log4

4x ?1

?

1 2

x

?

1 2

x

?

a

即方程

a

?

log4

4x ?1

? x 无解.

? ? 令 g ? x? ? log4 4x ?1 ? x ,则函数 y ? g ? x? 的图象与直线 y ? a 无交点.

? ? ∵ g ? x? ? log4

4x ?1

?

x

?

log4

4x ?1 4x

?

log4

???1 ?

1 4x

? ??

任取 x1、x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 0 ? 4x1

?

4x2

,∴

1 4x1

?

1 4x2



g ? x1 ? ?

g

? x2 ?

?

log4

???1 ?

1 4 x1

? ??

?

log

4

???1 ?

1 4 x2

? ??

?

0,

∴ g ? x? 在 ???, ??? 上是单调减函数.

∵1?

1 4x

? 1,∴ g ? x? ? log4 ???1?

1 4x

? ??

?

0

∴ a 的取值范围是 ???,0?

(3)由题意 h? x? ? 4x ? m?2x ?1, x??0,log23?,令 t ? 2x ??1,3? ,

? ?t? ? t2 ? mt

t ??1,3? ∵开口向上,对称轴 t ? ? m ,
2

当 ? m ? 1,即 m ? ?2 , 2

? ?t ? min

? ? ?1? ?1? m ? 0,m ? ?1

当1 ? ? m ? 3,即 ?6 ? m ? ?2, 2

? ?t? min

?

?

? ??

?

m 2

? ??

?

?

m2 4

? 0, m ? 0 (舍去)

当 ? m ? 3 ,即 m ? ?6 , 2

? ?t ? min

? ? ?3? ? 9 ? 3m ? 0, m ? ?3(舍去)

∴存在 m ? ?1得 h? x? 最小值为 0.

8


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