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二次函数绝对值的问题练习及答案


二次函数绝对值的问题练习及答案
二次函数是最简单的非线性函数之一, 而且有着丰富的内容, 它对近代数仍至现代数学影响 深远,这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容,经久不衰,以它为核心内容 的高考试题,形式上也年年有变化,此类试题常常有绝对值,充分运用绝对值不等式及二次 函数、二次方程、二次不等式的联系,往往采用直接法,利用绝对值不等式的性质进行适当 放缩,常用数形结合,分类讨论等数学思想,以下举例说明
2 例 1 设 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? | x ? a | ?1 , x ? R

(1)讨论 f ( x ) 的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的最小值

f ? x? 解; (1) a ? 0 时, 为偶函数
a ? 0 时, f ? x ? 为非奇非偶函数
2 ? 2 1? 3 ? ? x ? x ? a ? 1 ? ? x ? ? ? ? a, x ? a 2? 4 ? ? f ( x ) ? x 2 ? | x ? a | ?1 ? ? 2 1? 3 ? 2 ? ? x ? x ? a ? 1 ? ? x ? 2 ? ? 4 ? a, x ? a ? ? ? (2)

1 3 a ? ? , f ? x ?min ? ? a 2 4 当 1 1 ? a ? , f ? x ?min ? a 2 ? 1 2 当 2 ? 1 3 a ? , f ? x ?min ? ? a 2 4 当
例 2 已知函数 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? a | x ? 1 | .
2

(1)若关于 x 的方程 | f ( x) |? g ( x) 只有一个实数解,求实数 a 的取值范围; (2)若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒函数成立,求实数 a 的取值范围; (3)求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间[-2,2]上的最大值 (直接写出结果, 不需给出演算步骤) .
2 | x? 1| 解: (1) 方程 | f ( x) |? g ( x) , 即 | x ?1| ? a

, 变形得 | x ? 1| (| x ? 1| ?a) ? 0 , 显然,x ? 1

已是该方程的根,从而欲原方程只有一解,即要求方程 | x ? 1|? a ,有且仅有一个等于 1 的

解或无解 ,结合图形得 a ? 0 .

2 (2)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立,

①当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ;

②当 x ? 1 时, (*)可变形为

a?

x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), x2 ? 1 ? ( x) ? ?? | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1). | x ? 1| ,令

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合①②,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? 2 ?? x ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). 2 (3)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x ? 1| ?a | x ? 1| = ?

a ? 1, 即a ? 2 当2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增,
且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a a 0 ≤ ≤1,即0 ≤ a ≤ 2 [? ,1] [ ? 2, ? 1] h ( x ) 2 当 时,结合图形可知 在 , 2 上递减,
a a2 a h( ? ) ? ? a ?1 [?1, ? ] [1, 2] 2 4 2 , 在 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 .

a a ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 [ ? ,1] 2 当 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , 2 上递减,
a a2 a h( ? ) ? ? a ?1 [?1, ? ] [1, 2] 2 4 2 , 在 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

3 a a a ? ≤ ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 [?2, ] [1, ? ] h ( x ) 2 , 2 上递减, 当 2 2 时,结合图形可知 在 a a [ ,1] [? ,2] 在 2 , 2 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3 ≥ 0 ,
经比较,知此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 .

a 3 ? ? , 即a ? ?3 2 当2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递增,在 [1, 2] 上递减,
故此时 h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述, 当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2, 2] 上的最大值为 0.

练习:1. 已知函数 f ( x) ? x ? | x ? a | ?2 .
2

(1)讨论函数 f ( x) 的奇偶性; (2)求函数 f ( x) 的最小值 2. 已知函数

f ? x ? ? x2 ? 2mx ? 1(m ? R)

x ? 0,3 D ? f ? x ?max ? f ? x ?min (1)若 m ? 2 , ,求 的值
(2)若

?

?

x ? ?0,2?

时,

f ? x? ? 8

恒成立,求 m 的取值范围

3. 已知函数

f ( x) ?

1 2 x ? | x ? 1 ? 2a | 2 ,其中 a 是实数.

(1)判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由;
1 2 a (2)当 x ? [?1 , 1] 时, f ( x) 的最小值为 2 ,求 a 的值 答案:

1.(1) a ? 0 函数为偶函数

a ? 0 非奇非偶函数

1 7 x ? a, f1 ? x ? ? x 2 ? x ? 2 ? a ? ( x ? ) 2 ? ? a, 2 4 (2)

1? 7 ? x ? a, f 2 ? x ? ? x ? x ? 2 ? a ? ? x ? ? ? ? a 2? 4 ?
2

2

1 ?7 ? 4 ? a, a ? ? 2 ? 1 1 ? f min ( x) ? ?a 2 ? 2, ? ? a ? 2 2 ? 7 1 ? ?a ? 4 , a ? 2 ?
2.(1)4 (2)分类讨论二次函数对称轴与区间的关系,寻找最大值的位置

3 f ? 2? ? 8? ? ? m ? 0 f x 0, 2 ? ? ? ? 上递增 , 4 当 m ? 0, 在

? 3 ? f ? m ? ? ?8 ?? ? m ? 3 ? 4 f ? x ? ? 0, m? ? m, 2? 上递增 ? ? f ? 2? ? 8 当 0 ? m ? 2, 在 上递减,
当 m ? 2,

f ? x?
?



? 0, 2? 上递减

f ? 2 ? ? ?8 ? 2 ? m ?

13 4

3 13 ?m? 4 综上所述: 4
1 1 f ( x) ? x 2 ? | x | 2 2 时, ,有 f (- x) ? f ( x) ,所以 f ( x) 为偶函数;

3.(1)①当 1 a? 2 时, f (0) ?| 1 ? 2a |? 0 ,所以 f ( x) 不是奇函数; ②当 又因为
f (2a - 1) ?

a?

1 1 (2a ? 1) 2 f (1 - 2a) ? (2a ? 1) 2 ? 2 | 1 ? 2a | 2 2 ,而 ,

即 f (1 - 2a) ? f (2a ? 1) ,所以 f ( x) 不是偶函数;
a? 1 2 时, f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.

综上,当

3 ?1 (x ? 1) 2 ? ? 2a, x ? 2a ? 1 ? ?2 2 f (x) ? ? ? 1 (x ? 1) 2 ? 1 ? 2a, x ? 2a ? 1 ? ?2 2 (2)
①若 2a ? 1 ? ?1 ,即 a ? 0 ,
x ? [?1, 1]



时,

f ( x) ?

1 2 1 1 x ? x ? 1 ? 2a ? ( x ? 1) 2 ? ? 2a 2 2 2 ,

故 f ( x) 在 [ ?1, 1] 上递增,

所以

f ( x) min ? f (?1) ?

1 1 ? 2a ? a 2 2 2 ,得 a ? ?2 ? 5 .

②若 2a ? 1 ? 1 ,即 a ? 1 , 当 x ? [?1, 1] 时,
f ( x) ? 1 2 1 3 x ? x ? 1 ? 2a ? ( x ? 1) 2 ? ? 2a 2 2 2 ,

故 f ( x) 在 [ ?1, 1] 上递减,
f ( x) min ? f (1) ? ? 3 1 ? 2a ? a 2 2 2 ,得 a ? 1 或 a ? 3 .

所以

3 ?1 ( x ? 1) 2 ? ? 2a (?1 ? x ? 2a ? 1) ? ?2 2 f ( x) ? ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1 ? 2a (2a ? 1 ? x ? 1) ?2 ? 1 ? 2 a ? 1 ? 1 0 ? a ? 1 2 ? ③若 ,即 ,

故 f ( x) 在 [?1, 2a ? 1] 上递减,在 [2a ? 1, 1] 上递增;
f ( x) min ? f (2a ? 1) ? 2a 2 ? 2a ? 1 1 2 1 ? a a? 2 2 ,得 3.

所以

综上, a ? ?2 ? 5 或

a?

1 3 或 a ?1或 a ? 3 .


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