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2014人教A版高中数学必修四《三角函数的图像与性质》学案7

三角函数的图像与性质 【学习目标】 1. 能画出正弦函数,余弦函数,正切函数的图像。 2. 了解 y ? A sin(?x ? ? ),? ? 0 的实际意义。 3. 了解函数的周期性 4. 以极度的热情投入学习,体会成功的快乐。 【学习重点】 三角函数的图象变换 【学习难点】 三角函数的图象变换 [自主学习] 1.用“五点法”作正弦、余弦函数的图象. “五点法”作图实质上是选取函数的一个 ,将其四等分,分别找到图象的 点, 点及“平衡点”.由这五个点大致确定函数的位置与形状. 2.y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象. 函 数 y=sinx y=cosx y=tanx 图 象 注:⑴ 正弦函数的对称中心为 ⑵ 余弦函数的对称中心为 ⑶ 正切函数的对称中心为 ,对称轴为 ,对称轴为 . . . 3.“五点法”作 y=Asin(ωx+ ? )(ω>0)的图象. 令 x'=ωx+ ? 转化为 y=sinx',作图象用五点法,通过列表、描点后作图象. 4.函数 y=Asin(ωx+ ? )的图象与函数 y=sinx 的图象关系. 振幅变换: y= Asinx(A>0, A≠1) 的图象,可以看做是 y= sinx 的图象上所有点的纵坐标 都 ,(A>1)或 (0<A<1)到原来的 倍(横坐标不变)而得到的. 周期变换: y= sinωx(ω>0 , ω≠1) 的图象,可以看做是把 y= sinx 的图象上各点的横坐标 (ω>1)或 (0<ω<1)到原来的 倍(纵坐标不变)而得到的.由于 y=sinx 周期 为 2π,故 y=sinωx(ω>0)的周期为 . 相位变换: y=sin(x+ ? )( ? ≠0)的图象, 可以看做是把 y=sinx 的图象上各点向 ( ? >0) 或向 ( ? <0)平移 个单位而得到的. 由 y=sinx 的图象得到 y=Asin(ωx+ ? )的图象主要有下列两种方法: 相位 周期 变换 振幅 变换 y=sinx 变换 周期 相位 变换 振幅 变换 y=sinx 变换 或 说明:前一种方法第一步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 第二步相位变换是向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 个单位. [典型例析] 例 1. 已知函数 y=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω>0) ⑴ 若 A=3,ω= , ? =- 1 2 个单位.后一种方法 ? ,作出函数在一个周期内的简图. 3 2 ? ? ,当 x= 时,相位是 ,求 ω 和 ? . ? 24 3 ⑵ 若 y 表示一个振动量,其振动频率是 例 2.已知函数 y=3sin ( x ? ) 4 1 2 ? (1)用五点法作出函数的图象; (2)说明此图象是由 y=sinx 的图象经过怎么样的变化得到的; (3)求此函数的振幅、周期和初相; (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心. 例 3. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?xcox?x ? cos2 ?x ? ? 6 3 2 (? ? R , x ? R ) 的最小正 周期为 π 且图象关于 x ? (1) 求 f(x)的解析式; 对称; (2) 若函数 y=1-f(x)的图象与直线 y=a 在 [0, ] 上中有一个交点,求实数 a 的范围. 2 ? 例4 设关于 x 的方程 cos2x+ 3 sin2x=k+1 在[0, ? ]内有两不同根 α,β,求 α+β 的值 2 及 k 的取值范围. [当堂检测] ⒈把函数 y ? 3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 m 的 最小值是________________________ ⒉把函数 y ? cos x 的图象上的所有点的坐标缩小到原来的一半, 纵坐标扩大到原来的两倍, 然后把图象向左平移 3 函数 y ? sin( 2 x ? ? 个单位,则所得图形表示的函数的解析式为___________ 4 5 ? ) 的图象的一条对称轴为___________________ 2 4. 把函数 y ? 2 (cos3x ? sin 3x) 的图象适当变换就可以得到 y ? sin(?3x) 的图象,这种 2 变换可以是______________________ [学后反思]____________________________________________________ _______ _____________________________________________________________ _____________________________________________________________

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