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三角函数的最值的求法

18 `I ES

上海中学数学 2008 年第 2 期

王 汤i 数 菌最 值 如 束 1
431800 湖北京山一 中特级教师
梁克强
2+ 乙一 十 co s x ,
乙 — CO S ‘ r

三角 函数的最值问题是三角函数性质和三 角函数恒等变换的综合应用, 是函数思想和数 形结合的具体体现, 近几年高考题正很好地体 现了这一点. 用什么方法来研究三角函数的最
值 问题 呢 ?

例 2 : 求函数 y = 值与最小值.

77 - - 一 一 份一 k x

C

R ) 的最 大
2 + co sx
2 一 co s x

解: 先 把 分子 变 常数
4一 ( 2 一co sx )
2 一 c o s .r 4 2 一c o s x
.

y

一、 三角方法
先通过恒等变换 , 化为只含某角的一种三 角函数的式子, 再根据有界性确定最值 . 例 1: 设函数 .f (x) = 1+ sin2x + cos2x , 求

一1.

:

一 1 毛 cosx 毛 1 ,

y max =

6 , y min =

1 oJ .

f (x ) 的最小值以及此时 x 值的集合. 解 : f (x) = 1 十 sin2x + cos2x = 1 + ,/[.D int ‘ 工 十丁 J

r , J . 、 胜 、 .

点评 : 本题 也 可 以先把原式变形成 C OSX = 2y 一 2
y+ 1

, 再利用 I cosx IG 1 求出 y 的范围

i T 竺, f 。

。 兀、



sinkL x 十万J

, 八

.

C 、 7

= 一1 时 ,

二、 代数方法
先用变量代换转化为代数函数, 再选用 : 配 方法、 不等式法、 判别式法 、 单调性法. 例 3 : 方程 cosx + sinx cosx + sinx = a 有解 , 求实数 a 的取值范围.

f (x ) m in = 1 - 万.

sinkLx -r 了J 二 一1 得 x 值 的 集 合

, 。

.

兀、

x 一

X }

*兀 一 3a, *e Z}
O

解: 先求函数 y 二cosx 十sinxcosx 十sinx 的
特殊

四、特殊 —

一般 —

a) 再化简就可得到 f ( 9)
里留给读者 自己处理 ) .
解 法 2 : f (e) =

的 值 恒 为 定 值 哥

. (这

我们认识事物往往都是从特殊的人手, 然 后逐步一般化 ; 再在一般的指导下更加深人地 认识某些特殊的事物. 例 8. 已知 f (9) 二 singe + sine(e + a) +

[ cos20+ cos2( 04- a)

+ cos2(e + 户〕
3
2

sine(9+ Q ), 其中a 谓适合。 < a< 尹 成二 试问a,

+ cos2a 斗 C OS2户 cos29 +

9 取何值时, f (e) 的值恒为定值。

解 法 1: 在 已 知 函 数 式 中 设 ” 一 。 , ” 一 晋 ,
” 一 晋 , 并 设 定 值 为 m , 贝 “
r l s e s e 夕 、 1 1 1

冬 (sin2a+ sing角 sin29


因为 .f (e) 恒为定值, 即 f (8) 的值与 e 无关,
所以

sinea 十 sinz夕 = m ( 1)
( 2)

!1+ cos2a+ cos2 p 一 “ ( sin2a + sing月= 0
1 + co s 2a
s in 2 a

华 + sinz{ 粤 + 。 、 + sin z ‘ 要十 川 一 m A ’一 “ 、6 ’一 j ’一 ‘ 、6 , '- l
1 + cost a + cos2Q= m (3)


( 2) 上述 ( 1) 、

= 一 cos2召 ( 1) sin2月 ( 2) 式 两 边 平 方 相 加 可 得 :c o s 2 a
1兀

由 ( 1) , ( 3) ( 3) 可求得 :a =


3 二, , 、,, , 、 可求得 : m 二 二 ( 2) 、 丁 潜 1兀 / " l 1 ) 、

;
得 :9 =

, 因为 0 < 2a < 27 r , 2a =

3 ‘

加 一 3 代人 f ( o) 二 sin' 9-} - sinz (9-f- a) 十sine( A+

27 1 , 然 后 再 将“ 一
j

所以a =

了 J Ga = 抓 一 3

n

, 代 人 到 ( 2) 式 可 解

当 注 意 到。 G R时, 得:。 = 要,Q
.5



执 一 ’ 3

解 法探微

贬 万 l夕

值域. 令 t = sinx + cosx E [-,/ 2 - ,涯] ,
则 sins
c o sx

sin(x -{ - 必 = f (y) , 再利用 I sin x + 必 }< 1 求解.
四、 厂 实际应用

( sinx + cosx ) 2 一1
2

二函数 y 二 cosx 十 sinx cosx 十 sinx 二 t + =
一 下 下I t 十. 1 ) 2


三角函数的最值能综合各方面知识, 在实
际中有着广泛 的应用 , 是高考 的热点之一 例 6 : 如 右图, 在

1 ,

一1.

当 ! = 一1 时, ym i。二 一1; 当 t 二 涯 时,
二 . 1 y max = ,/ L 十 二 犷.


直径为 1 的圆 O 中, 作 一个关于圆心对称, 邻 边互相垂直的十字形 , 其中 y > x > 0.
( 工) 将 十字形 的 面积 S 表示为 0 的函 数 ; ( n ) B 为何值时,

:. 要 使 原 方 程 有 解, 只 需。 〔[一 1,,f2 -+1 ].


例 4 :求 v 解: y

( 1 + sinx ) ( 3 + sinx )
2 + s in x

的最值及

对应的 x 值的集合.
: 二二 一

( 1 + sinx ) ( 3 + sinx )
2 + sinx

面积 S 最大?最大面积是多少? 解: ( 工 ) 由十字形的面积 S ,= 2xy - x 2 二

二 二二

( sinx 十 2 )2 一 1
sinx + 2

(sin x+ 2)- 一 1

s ln 工 一 卜乙

令 sinx + 2 = t , 则 y = f ( t) =

1 『 t

1 ( t <_3 , 设 1 ( t1 < t2 ( 3 , 则 f (tl ) 一 f ( t2) I_ 1 \ I . 1 \ , _、 11 + tl t2\ _ _
时, f ( t)m i. = 0 , 此 时 slnx =
1,x

2 sin 0 c o s O -c o s t0 .变 形 得 :S一‘ n 2 “ 一 合 c o st“ 一 合 一 睿 s in (2 。 一 , )一 合 .其 中 于 <。 <晋 , , a rc c o s梦
( I ) 当 sin(2B-t 0) = 1, 即B=
- 下一 A} j , 四 Ti p 月 又夕 、. J m a x =
O

今、 ‘ , 一 万) 一 气 `2一 t2 ) = lt, 一 :21k- tlt厂 )--, U .

兀 一 d 孟

+ 1

丁 arccos

: . f (x) 在 t E [ 1,3〕 上单调递增. 当 t = 1
l

2 万 、 二。且二 。
【 练习题】

万一 1
2



{ 二二 一 2 k “ 一 晋 , “Z
当 t 二 3 时, f (t) m ax


’ )

旦, 此时 sinx = 1, 3
、 | 卜 」

1. 已知 函数 f (x) 二 2sinc ux(m
L 0 `f J

0) 在 区 间

2kn+ 要,k ‘Z
三、 几何方法

[一 要, 李〕 上 的 最 小 值 是 一 :, 则。 的最小值等
于(
八。 -二 ‘

2
3

口。 二州


3

。 。
l ,. 乙



曰。 j

根据函数式的结构特点, 以及直线的斜率 公式, 用数形结合的方法来求解.
例』 3 解:

2. 函数 y

=sin 二 一 合 c o s x(xC -“ , 的 最 大 值 为
B+ C

:求函数 y

2 一s ire 的最大值和最小值, 2 一 co CO s S 」竺

3. A ABC 三个 内角 为 A , B , C , 求 当 A 为何值

‘y = 2 - cos.x 可看作是定点 P (2,2) 与 动点 ( cosx , sinx ) 连线的
斜率 .

2 一s in x

时, y = cosA + 2cos
出这个最大值.

取得最大值 , 并求

4. 已知函数 f (x) = 2cosx( sinx - cosx) + 1,x E
R. ( 工) 求 函数 f ( x ) 的最小正周期 T ; ( 1 1)
二~ ‘ , , 、一 一 , ,「7 C 37 r l 。。 。 ,一 , _ 水 幽 狱 f l x ) 仕 送 IE lJ } O } A - I上 阴 最 天 沮 利
L o Y J

而 动 点 (cosx ,sinx) 又满足 sinex -} - cost x = 1.
故问题转化 为求 定点 P (2, 2) 与单位圆上的点连线的斜率问题. 如上图, 根据数形结合可知, 当连线与圆相 切时取 得最值 .
解得
y max

最小值 . 【 参 考答 案】
3 一 2

= 4十 V` , y min _ 4-,F 7
3

1 . (B ) :. 哲 3. 当 A- 晋 时 ym a x


4. (D T = 7 C ;(1 1) f (X)m a. = 涯 ,f (x)m i。 二一 1

点评 : 本题 也 可 以通 过 恒 等 变 形 , 转化为


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