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[中学联盟]江苏省徐州市邳州市第四中学高三数学复习学讲稿:三角向量综合试卷一(高二部分)


一:填空题(每个 5 分,共 70 分)
1、已知复数 z ? (1 ? i)(2 ? i) ,则 | z | 的值是 ▲ ▲ ▲

2、已知向量 a ? (sin x,cos x), b ? (1, ?2) ,且 a // b ,则 tan x ? 3、已知向量 a ? (?3,1) , b ? (1, ?2) ,若 a ? (a ? kb) ,则实数 k =

4、如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值为___▲____ 5、 已知 | OA |? 1, | OB |? 2, OA ? OB ? 0 ,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=45°, 设 OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) , 则
m 等于 n



[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

6、设 O 是△ABC 内部一点,且 OA ? OC ? ?2OB, 则?AOB与?AOC的面积之比为 ▲ 7、在菱形 ABCD 中,若 AC ? 4 ,则 CA ? AB =
? ?



8、如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°,

OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |= 2 3 ,若 OC =λ OA +μ OB
(λ ,μ ∈R),则λ +μ 的值为 .

9、已知 P 是△ABC 内任一点,且满足 AP ? x AB? y AC , x 、 y ? R ,则 y ? 2 x 的 取值范围是 ▲ ▲ 10、已知点 O 为 ?ABC 的外心,且 AC ? 4, AB ? 2 ,则 AO ? BC ?

?

?

?

11、已知 ?ABC 的外接圆的圆心 O , BC ? CA ? AB ,则 OA ? OB, OA ? OC, OB ? OC 的 大小关系为 ▲

12、已知向量 OP =(2,1), OA =(1,7), OB =(5,1),设 M 是直线 OP 上的一点(O 为坐标原点),那么 MA? MB 的最小值是
? ?



?? ?? ?? ?? 13、 已知| OA |=2, | OB |=2 3, OA ? OB =0, 点 C 在线段 AB 上, 且?AOC=60?,

?? ?? 则 AB ? OC =



14、对于△ABC,有如下命题: ①若 sin2A=sin2B,则△ABC 为等腰三角形; ②若 sinA=cosB,则△ABC 为直角三角形; ③若 sin2A+sin2B+cos2C<1,则△ABC 为钝角三角形; ④若 tanA+tan B+tanC>0 ,则△ABC 为锐角三角形. 其中正确命题的序号是 ▲ .(把你认为所有正确的都填上)

二:解答题(共 6 道题,共 90 分)
15、 (本题 14 分) 已知 ?ABC 中, AC ? 1, ?ABC ? (1)求 f ( x) 解析式及定义域; (2)设 g ( x) ? 6m ? f ( x) ? 1
x ? ( 0 , ,是否存在实数 ) m ,使函数 g ( x) 的值域为 3
? ? 2? , ?BAC ? x ,记 f ( x) ? AB? BC . 3

?

3 ( 1 , ?若存在,请求出 ] m 的值;若不存在,请说明理由. 2

16、 (本题 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边依次为 a,b,c,且 A,B,C 依次成等差数列.
源:Zxxk.Com]

[来

3 → → (1)若AB·BC= - ,且 b= 3,求 a+c 的值; 2 (2)若 A<C,求 2sin2A+sin2C 的取值范围 .

17(本题 14 分) 某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处, 已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个 变电站. 记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? , 把 y 表示成 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小?
[来源:学科网]

A

P

B

O

C

(第 17 题) 图)

18、 (本题 16 分)

[来源:学科网]

已知 y ? f ( x) ? x ln x . (1)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? e 处的切线方程; (2)设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ?
f ( x) 在 ?a,2a? 上的最大值. a
e ex

(3)证明对一切 x ? (0, ? ?) ,都有 ln x ? 1x ? 2 成立.

19、 (本题 16 分) 如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30 m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分别为 9 m, 3 m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶 广告屏幕
MNEF , MN : NE ? 16 : 9 .线段 MN 必须过点 P,端点 M,N 分别在边 AD,AB

上,设 AN=x(m) ,液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S(m2). (1) 用 x 的代数式表示 AM; (2)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的 定义域; (3)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?

20、 (本题 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? (b ? a) x ( a , b 不同时为零的常数) ,导函数为 f ?( x ) (1) 、当 a ? 时,若存在 x ? [?3 , ? 1] 使得 f ?( x) ? 0 成立,求b 的取值范围; (2) 、求证:函数 y ? f ?( x) 在 (?1 , 0) 内至少有一个零点; (3) 、若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,关于
1 3

1 x 的方程 f ( x) ? ? t 在 [?1, t ] (t ? ?1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值 4 范围.

18.解: (1) AM ?

3x (10 ≤ x ≤ 30) . …………………………………2 分 x?9 9 x2 (2) MN 2 ? AN 2 ? AM 2 ? x 2 ? . …………………………4 分 ( x ? 9) 2
∵ MN : NE ? 16 : 9 , ∴ NE ? ∴ S ? MN ? NE ?

9 MN . 16
…………………6 分[来源:

9 9 9 x2 MN 2 ? [ x 2 ? ]. 16 16 ( x ? 9) 2

学+科+网] 定义域为 [10,30] . (3) S ? ? ……………………………8 分

9 18 x( x ? 9) 2 ? 9 x 2 (2 x ? 18) 9 x[( x ? 9)3 ? 81] [2 x ? ]= ? ,………11 分 8 ( x ? 9)3 16 ( x ? 9) 4

令 S ? ? 0 ,得 x ? 0 (舍) , x ? 9 ? 33 3 . 当 10 ≤ x ? 9 ? 3 3 3 时, S ? ? 0, S 关于 x 为减函数; 当 9 ? 3 3 3 ? x ≤ 30 时, S ? ? 0, S 关于 x 为增函数; ∴当 x ? 9 ? 3 3 3 时, S 取得最小值.

…………………13 分

…………………15 分

答:当 AN 长为 9 ? 3 3 3 m 时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小.…16 分

20. ( 1 )当 a ?

x ? ?b ,
当?

1 1 1 2 2 2 时, f ?( x ) = x ? 2bx ? b ? = ( x ? b) ? b ? b ? ,其对称轴为直线 3 3 3

??b ? ?2, ??b ? ?2, 26 ,解得 b ? ,当 ? , b 无解, 15 ? f ?(?3) ? 0 ? f ?(?1) ? 0

26 ) .………………………………………………4 分 15 2 (2)因为 f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? (b ? a) ,
所以 b 的的取值范围为 (?? , 法一:当 a ? 0 时, x ? ?

1 适合题意………………………………………6 分 2 b b b 2 2 当 a ? 0 时, 3 x ? 2 x ? ( ? 1) ? 0 ,令 t ? ,则 3x ? 2tx ? (t ? 1) ? 0 , a a a

令 h( x) ? 3x2 ? 2tx ? (t ?1) ,因为 h( ? ) ? ?

1 2

1 ? 0, 4

1 当 t ? 1 时, h(0) ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在 (? ,0) 内有零点. 2
当 t ? 1 时, h(?1) ? 2 ? t ? 1 ? 0 ,所以 y ? h( x) 在( ? 1,? ) 内有零点. 因此,当 a ? 0 时, y ? h( x) 在 ( ?1 , 0) 内至少有一个零点. 综上可知,函数 y ? f ?( x) 在 ( ?1 , 0) 内至少有一个零点.……………………10 分 法二: f ?(0) ? b ? a , f ?(?1) ? 2a ? b , f ?(? 1 ) ? b ? 2a . 3 3 由于 a , b 不同时为零,所以 f ?( ? ) ? f ?(?1) ? 0 ,故结论成立.
[来源:Zxxk.Com]

1 2

1 3 3 3 2 (3)因为 f ( x ) = ax ? bx ? (b ? a) x 为奇函数,所以 b ? 0 , 所以 f ( x) ? ax ? ax , 又 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 ,所以 a ? 1 ,即 f ( x) ? x3 ? x .
因为 f ?( x) ? 3( x ?

3 3 )( x ? ) 3 3

所以 f ( x ) 在 (??, ?

3 3 ) , ( , ??) 上是増函数,在 3 3

3 3 , ] 上是减函数,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ?1, x ? 0 ,如图所示, 3 3 1 t 3 3 3 3 当 ?1 ? t ? ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 ? ; ?t ?? 4 4 3 2 3 1 3 3 当? ? t ? 0 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,解得 ? ?t ?0; 4 3 3 当 t ? 0 时,显然不成立; 1 t 3 3 3 当0 ? t ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,即 t ? t ? ? ,解得 0 ? t ? ; 4 4 3 3 y 1 3 3 3 ?t ? 当t ? 时, f (t ) ? ? t ? 0 ,故 . 4 3 3 2 3 3 所以所求 t 的取值范围是 ? . ? t ? 0 或0 ? t ? 2 2 [?
-1 O 1 x

19、解: (1)? f ( x) 定义域为 ?0,???

f ?( x) ? ln x ? 1


f (e) ? e

k ? f / (e) ? 2

? 函数 y ? f ( x) 的在 x ? e 处的切线方程为:
y ? 2(x ? e) ? e ,即 y ? 2 x ? e

(2) F ( x) ?
'

1 1 (ln x ? 1) 令 F ' ( x) ? 0 得 x ? a e

当 x ? 0, 1 , F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 单调递减, e
'

? ? 当 x ? ? 1 , ? ? ? , F ( x) ? 0 , F ( x) 单调递增. e
F ( a)? F ( 2a ? ) ln a ? 2 l na? 2 1 ln 4a

? F ( x) 在 ?a,2a? 上的最大值 Fmax ( x) ? max{F (a), F (2a)}

?当 0 ? a ?
当a ?

1 时, F (a) ? F (2a) ? 0, Fmax ( x) ? F (a) ? ln a 4

1 时, F (a) ? F (2a) ? 0 , Fmin ( x) ? F (2a) ? 2ln 2a 4
由(2)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最

(3)问题等价于证明 x ln x ? x ? 2 ( x ? (0, ? ?)) , x e e 小值是 ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时取得. e e

设 m( x) ? x ? 2 ( x ? (0, ??)) ,则 m' ( x) ? 1 ?x x ,易得 ? m( x)?max ? m(1) ? ? 1 , e e ex e 当且仅当 x ? 1 时取到,从而对一切 x ? (0, ? ?) ,都有 ln x ? 1 ? 2 成立. e x ex


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