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第1讲任意角 - 副本


第1讲

任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.角的概念的推广 (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着它的 (2)角的分类(按旋转的方向): 从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

?正角:按照逆时针方向旋转而成的角.? 角?负角:按照顺时针方向旋转而成的角.? ?零角:射线没有旋转.
(3)终边相同的角 所有与 α 终边相同的角,包括 α 本身构成一个集合,这个集合可记为 S={ (4)象限角: 象限角 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 2.弧度制 (1)定义:把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角, 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零. (2)公式: 象限角 α 的集合表示 }

角 α 的弧度数公式

l |α|=r(弧长用 l 表示)

角度与弧度的换算

①180° =π rad

π ②1° =180rad

?180? ③1 rad=? π ?° ? ?

(3)角度与弧度的转化 角α 弧 度 数 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150° 180° 225° 270° 315° 360°

3.任意角的三角函数的定义 α 为任意角,α 的终边上任意一点 P(异于原点)的坐标(x,y), 它与原点的距离|OP|=r= 则 sin α= cot α= ;cos α= ;sec α= x2+y2(r>0), ;tan α= ;csc α= ;

4.三角函数在各象限的符号规律及三角函数线 (1)三角函数在各象限的符号:

(2)三角函数线: 正弦线 余弦线 正切线 如图,角 α 的正弦线为 如图,角 α 的余弦线为 如图,角 α 的正切线为

辨 析 感 悟 (1)小于 90° 的角是锐角.( ) ) ) )

(2)锐角是第一象限角,反之亦然.(

(3)将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是 30° .( (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(

(5)已知角 α 的终边经过点 P(-1,2),则 sin α=

2 2 5 2 2= 5 . ?-1? +2

(

) ( )

(6)(2013· 济南模拟改编)点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在第二象限.

(7)(2011· 新课标全国卷改编)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 5 上,则 cos θ= 5 . 5.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:cos α=tan α. ( )

考点一

象限角与三角函数值的符号判断

cos α 【例 1】 (1)若 sin α· tan α<0,且 tan α <0,则角 α 是( A.第一象限角 B.第二象限角

). D.第四象限角

C.第三象限角

(2)sin 2· cos 3· tan 4 的值(

).A.小于 0 B.大于 0

C.等于 0 D.不存在

θ? θ θ ? 【训练 1】 设 θ 是第三象限角,且?cos 2?=-cos 2,则2是( ? ? A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

). D.第四象限

考点二

三角函数定义的应用

2 【例 2】 已知角 θ 的终边经过点 P(- 3,m)(m≠0)且 sin θ= 4 m,试判断角 θ 所在的象限,并求 cos θ 和 tan θ 的值.

3 【训练 2】 已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sin α+cos α的值.

考点三

扇形弧长、面积公式的应用

扇形弧长公式: 扇形面积公式: 【例 3】 已知一扇形的圆心角为 α(α>0),所在圆的半径为 R. (1)若 α=60° ,R=10 cm,求扇形的弧长及面积;

(2)若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积?

【训练 3】 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是多少 弧度?扇形的面积是多少?

(2)一扇形的周长为 20 cm;当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?

考点四

同角三角函数基本关系式的应用 2sin α-3cos α =___________, 4sin α-9cos α

【例 1】 (1)已知 tan α=2,则

4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. 1 π π (2)(2014· 山东省实验中学诊断)已知 sin θ· cos θ= ,且 <θ< ,则 cos θ-sin θ 的值为________. 8 4 2

1 【训练 1】 (1)已知 sin α+cos α=5,0<α<π,则 tan α=______.

(2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α=________.

第一讲 一、选择题

课后作业

1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是(

).

A.第一象限角

B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

2.(2014· 汕头一中质检)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( π A. 3 2π B. 3 C. 3 D. 2

).

2π 3.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 按逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点,则 Q 的坐标为( ? 1 3? A.?- , ? ? 2 2? ? 3 1? B.?- ,- ? 2? ? 2 ? 1 3? C.?- ,- ? 2? ? 2 ? 3 1? D.?- , ? ? 2 2?

).

4 有下列命题: ①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ③若 sin α>0,则 α 是第一、二象限的角; ④若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上一点,则 cos α= 其中正确的命题的个数是( ).A.1 B.2 -x . x2+y2 D.4 ②终边不同的角的同名三角函数的值不等;

C.3

5.(2014· 杭州模拟)已知角 α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cos α≤0,sin α>0,则实数 a 的取值范围 是( ).A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3]

6.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关;

④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 ).

7.(2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=(

A.-1

2 B.- 2

2 C. 2

D.1 ).

π? 4? 8.(2013· 东北三校模拟)已知 sin θ+cos θ=3?0<θ<4?,则 sin θ-cos θ 的值为( ? ? 2 A. 3 2 B.- 3 1 C.3 1 D.-3

二、填空题 2 5 8. 已知角 θ 的顶点为坐标原点, 始边为 x 轴的非负半轴, 若 P(4, y)是角 θ 终边上一点, 且 sin θ=- 5 , 则 y=______.

9.

如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 A,点 A 的纵坐标

4 为5,则 cos α=____.

10.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360° ≤α<720° 的元素 α 写出来: ①60° ;②-21° . (2)试写出终边在直线 y=-x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-180° ≤α<180° 的元素 α 写出来.

11.(1)已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角; (2)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB.

知识点回顾 1.正角、负角、零角如何规定的?

2.特殊角三角函数值

角α 弧度数

0° 30° 45°

60° 90° 120° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330°

sin α

cos α

tan α

发现正弦值最大是

,最小是

;余弦值最大是

,最小是



3.三角函数在各个象限的符号

1

第2讲
1.诱导公式 (1)

诱导公式及综合习题
(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

口诀:

辨 析 感 悟 对诱导公式的认识 1.诱导公式中的角 α(使 tan α 有意义)可以是任意角.( ) π 2.诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍,变与 不变指函数名称的变化. 3.角 π+α 和 α 终边关于 y 轴对称.( ) ( )

2

考点一

利用诱导公式化简三角函数式

【例 2】 (1)sin(-1 200° )cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )=________.

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? ? 23π? ?- 6 ?=________. (2)设 f(α)= (1 + 2sin α ≠ 0) ,则 f ? ? ?3π ? ? 2 2?π 1+sin α+cos? 2 +α?-sin ?2+α? ? ? ? ?

考点二

利用诱导公式求值

?π ? 1 ?π ? 【例 3】 (1)已知 sin?3-α?=2,则 cos?6+α?=______; ? ? ? ?

3 ?π ? ?5 ? (2)已知 tan?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. ? ? ? ?

3

当堂练习

π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于( A.- 3 2 B. 3 2 C.- 1 2 D. 1 2

).

29π 25π ? 29π? 2.(2014· 临川一中一调)sin 6 +cos?- 3 ?-tan 4 =( ? ? A.0 1 B.2 C.1 1 D.-2 ).

).

3.(2014· 郑州模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2

C.± (sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2

4.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? =( ?π ? ?π ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 ).A.5 5 B.3 4 C.5 5 D.4

?π ? 5(2014· 衡水质检)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1, 则 sin α ? ? 的值是( 3 5 A. 5 ). 3 7 B. 7 3 10 C. 10 1 D.3

1 ?3 ? 6.(2014· 杭州模拟)如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? π? 1 7π? ? ? 7.已知 sin?α+12?=3,则 cos?α+12?的值为________. ? ? ? ? π ?π ? 1 ?π ? 8.(2013· 江南十校第一次考试)已知 sin?12-α?=3,且-π<α<-2,则 cos?12-α?=________. ? ? ? ?

4 课后作业 1.求值 sin(-1 071° )sin 99° +sin(-171° )sin(-261° )+tan(-1 089° )tan(-540° )=________.

3π? ? tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? 2.化简: =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α?

11π? ?7π ? 2 ? 3.已知 sin?12+α?=3,则 cos?α- 12 ?=________; ? ? ? ?

1 4.若 tan(π+α)=-2,则 tan(3π-α)=________.

5.化简:

sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

1 (拔高)1、已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值 (2)判断△ABC 形状 (3)求 tan A 的值.

(拔高)2、sin21° +sin22° +?+sin290° =________.

5

第3讲

三角函数的图象与性质
(下表中 k∈Z). y=cos x y=tan x

知 识 梳 理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x

图象

定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间

递减区间

对称中心

对称轴 辨 析 感 悟 1.由 sin(30° +120° )=sin 30° 知,120° 是正弦函数 y=sin x(x∈R)的一个周期. π 2.函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ+2(k∈Z).( 3.函数 y=tan x 在整个定义域上是增函数. 4.存在 x∈R,使得 2sin x=3. ( ) ) ( ) ( )

【例 1】 函数 y= sin x-cos x的定义域为________. 练习 函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 1

正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)
1.y=Asin(ωx+φ)中参数的含义: A ω φ

2.正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的性质 (

思想)

函数

y=sin x

y=Asin(ωx+φ)

图象

值域

周期

递增区间

递减区间

对称中心

对称轴

2 π? ? 例 1.已知函数 y=2sin?2x+3?.①求它的振幅、 周期、 初相; ②用“五点法”作出它在一个周期内的图象; ? ?

3π? ? 例 2 (1)已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),下面结论错误的是 ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 π π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 B.函数 f(x)是偶函数 π? ? D.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ?

(

).

?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为 ? ? π A.6 π B.4 π C.3 π D.2

(

).

π? 2π ? (3) 已知函数 f(x)=sin ?ωx+6?-1(ω>0)的最小正周期为 3 , 则 f(x)的图象的一条对称轴方程是( ? ? π π π π A.x=9 B.x=6 C.x=3 D.x=2

).

?π ? ?π ? ?π? (4)(2014· 三明模拟)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f?6+x?=f?6-x?,则 f?6?等于( ? ? ? ? ? ? A.2 或 0 B.-2 或 2 C.0 D.-2 或 0

).

π 例 3 (2014· 临沂月考)设函数 f(x)=sin(-2x+φ)(0<φ<π),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调区间.

π?? π π? ? 例 4 求函数 y=2sin ?2x+3??-6<x<6?的值域; ? ?? ?

4

π 3 ? ? ?π? (2014· 合肥模拟)设函数 f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的最小正周期为 π,且 f?4?= 2 . ? ? ? ? ①求 ω 和 φ 的值;

②在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

已知函数 f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对 π 称轴间的距离为2. ?π? (1)求 f?8?的值; ? ? ? π? (2)求函数 y=f(x)+f?x+4?的最大值及对应的 x 的值. ? ?

5

考点二

由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式

【例 2】 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象 如图所示,则函数 f(x)的解析式为________. 解析 由图可知 A= 2,

法一

T 7π π π 4=12-3=4,所以 T=π,故 ω=2,因此 f(x)= 2sin(2x+φ),

π? π π ?π ? ? 又?3,0?对应五点法作图中的第三个点,因此 2× +φ=π,所以 φ= ,故 f(x)= 2sin?2x+3?. 3 3 ? ? ? ? 法二 ?π ? ?7π ? 以?3,0?为第二个“零点”,?12,- 2?为最小值点, ? ? ? ? ω=2, ? ? 解得? π φ=3, ? ?

π ? ?ω· 3+φ=π, 列方程组? 7π 3π + φ = ? ?ω· 12 2, π? ? 故 f(x)= 2sin?2x+3?. ? ? 答案 π? ? f(x)= 2sin?2x+3? ? ?

规律方法 已知 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A 比较容易看图得出,困难 的是求待定系数 ω 和 φ,常用如下两种方法: 2π (1)由 ω= T 即可求出 ω; 确定 φ 时, 若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0, 则令 ωx0+φ=0(或 ωx0+φ=π),即可求出 φ. (2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出 ω 和 φ,若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求. 学生用书?第 58 页

π π 【训练 2】 (2013· 四川卷)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-2<φ<2)的部分图象如图所示,则 ω,φ 的值分 别是 π A.2,-3 B.2,- π 6 ( ).

π C.4,-6 π D.4,3 解析 4?5π ? π?? 2π -3??=π,又 T= ,ω>0,∴ω=2.由于 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, 由图象知 f(x)的周期 T=3?12-? ? ?? ω ?

π π 5π π π π π ?5π ? -2<φ<2)的一个最高点为?12,2?,故有 2×12+φ=2kπ+2(k∈Z),即 φ=2kπ-3,又-2<φ<2,∴φ= ? ?

π -3,选 A. 答案 A

考点二

三角函数的奇偶性、周期性和对称性

3π? ? 【例 2】 (1)已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),下面结论错误的是 ? ? ( A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 π? ? D.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? ?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为 ? ? ( π A.6 解析 π B.4 π C.3 π D.2 ). ).

3π? ? (1)f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos 2x,故其最小正周期为 π,A 正确;易知函数 f(x)是偶函数,B 正确; ? ?

π 由函数 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不关于直线 x=4对称,C 错误;由函数 f(x)的图象易 π? ? 知,函数 f(x)在?0,2?上是增函数,D 正确,故选 C. ? ? 4π ? ? ?2π ? (2)由题意得 3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? ? ? ? ? 2π π ?2π ? =3cos? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, ? ? π ∴φ=kπ-6,k∈Z,取 k=0, π 得|φ|的最小值为6. 答案 (1)C (2)A

规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ω x+φ)的形式, 则

2π 最小正周期为 T=|ω|;奇偶性的判断关键是解析式是否为 y=Asin ωx 或 y=Acos ωx+b 的形式. π (2)求 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令 ωx+φ= +kπ(k∈Z),求 x;求 f(x)的对称中心的横坐 2 标,只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. ? π? 【训练 2】 (1)函数 y=2cos2?x-4?-1 是 ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为 的偶函数 2 π? π ? (2)函数 y=2sin(3x+φ)?|φ|<2?的一条对称轴为 x=12,则 φ=________. ? ? 解析 π? 2π ? π? ? (1)y=2cos2?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函数,T= 2 =π. ? ? ? ? ( ).

π (2)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z), π π 所以 3×12+φ=kπ+2(k∈Z), π 得 φ=kπ+4(k∈Z), π π 又|φ|<2,∴k=0,故 φ=4. 答案 π (1)A (2)4 考点三 三角函数的单调性

π 【例 3】 (2014· 临沂月考)设函数 f(x)=sin(-2x+φ)(0<φ<π),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x=8. (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调区间. 审题路线 π π 令(-2)×8+φ=2+kπ,k∈Z?解得 φ=?又 0<φ<π?得出 φ 值?把 f(x)=sin(-2x+φ),

化为 f(x)=-sin(2x-φ)?令 g(x)=sin(2x-φ)?求出 g(x)的单调区间?利用 f(x)与 g(x)的关系求 f(x)的单 调区间. 解 π π (1)令(-2)×8+φ=kπ+2,k∈Z,

3π ∴φ=kπ+ 4 ,k∈Z, 3π 又 0<φ<π,∴φ= 4 .

3π? 3π? ? ? (2)由(1)得 f(x)=sin?-2x+ 4 ?=-sin?2x- 4 ?, ? ? ? ? 3π? ? 令 g(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 由-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π 得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 即 g(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z; ? ? π 3π 3π 由2+2kπ≤2x- 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z, 得 5π 9π +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8

9π ?5π ? 即 g(x)的单调减区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z), ? ? 9π ?5π ? 故 f(x)的单调增区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z); ? ? 5π ?π ? 单调减区间为?8+kπ, 8 +kπ?(k∈Z). ? ? 学生用书?第 55 页 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时, 首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式, 再求 y=Asin(ωx+φ) 的单调区间,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正 数. π? ? 【训练 3】 (2013· 安徽卷)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π. ? ? (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0,2]上的单调性. 解 π (1)f(x) = 4cos ωx· sin(ωx + 4 ) = 2 2sin ωx· cos ωx + 2 2cos2ωx = 2(sin 2ωx + cos 2ωx) + 2 =

π 2sin(2ωx+4)+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有2ω=π,故 ω=1. π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤2,则4≤2x+4≤ 4 .

π π π π 当4≤2x+4≤2,即 0≤x≤8时,f(x)单调递增; π π 5π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 2 4 4 8 2 π π π 综上可知,f(x)在区间[0,8]上单调递增,在区间[8,2]上单调递减.

1.求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象. 2.判断函数奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合 函数在复合过程中,对每个函数而言,一偶则偶,同奇则奇. 3.三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数 形结合方法求解.对复合函数单调区间的确定,应明确是对复合过程中的每一个函数而言,同增同减则 为增,一增一减则为减. 4. 求三角函数式的最小正周期时, 要尽可能地化为只含一个三角函数的式子, 否则很容易出现错误. 一 般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式 即可.

答题模板 5——三角函数的最值(或值域)问题 1? ? 【典例】 (12 分)(2013· 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?, b=( 3sin x, cos 2x), x∈R, 设函数 f(x)=a· b. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在?0,2?上的最大值和最小值. ? ? 1? ? [规范解答] f(x)=?cos x,-2?· ( 3sin x,cos 2x) ? ? 1 = 3cos xsin x- cos 2x 2 3 1 = 2 sin 2x-2cos 2x π? ? =sin?2x-6?. ? ? 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= ω = 2 =π, 即函数 f(x)的最小正周期为 π. π (2)∵0≤x≤2, (6 分) (4 分) (2 分)

π π 5π ∴-6≤2x-6≤ 6 . 由正弦函数的性质,得 π π π 当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)取得最大值 1. π π 当 2x-6=-6, 1 即 x=0 时,f(0)=-2, π 5π π ?π? 1 当 2x-6= 6 ,即 x=2时,f?2?=2, ? ? 1 ∴f(x)的最小值为-2. π? 1 ? 因此,f(x)在?0,2?上最大值是 1,最小值是-2. ? ?

(8 分)

(11 分) (12 分)

[反思感悟] 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围,由于三角函数的周期性,正 弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得,因此要把这两个最值点弄清 π 楚.如本例中有学生直接把 x=0 和 x=2代入求得最值,这显然是错误的. 答题模板 求函数 f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]上值域的一般步骤:

第一步:三角函数式的化简,一般化成形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式或 y=Acos(ωx+φ)+k 的形式. 第二步:由 x 的取值范围确定 ωx+φ 的取值范围,再确定 sin(ωx+φ)(或 cos(ωx+φ))的取值范围. 第三步:求出所求函数的值域(或最值). 【自主体验】 π? ? ? π? ? π? 已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ? 解 π? ? ? π? ? π? (1)f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4? ? ? ? ? ? ?

1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+sin2x-cos2x π? 1 3 ? =2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? 2π ∴最小正周期 T= 2 =π,

π π kπ π 由 2x-6=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +3(k∈Z). kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= + (k∈Z). 2 3 π ? π 5π? ? π π? (2)∵x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? π? 3 ? ∴- 2 ≤sin?2x-6?≤1. ? ? ? 3 ? ? π π? 即函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ,1?. ? ? ? 2 ?

方法优化 2——灵活运用同角三角函数的基本关系式求值 【自主体验】

基础巩固题组 一、选择题 π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=-3,则 sin α 等于( 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2 ).

29π 25π ? 29π? 2.(2014· 临川一中一调)sin 6 +cos?- 3 ?-tan 4 =( ? ? A.0 B. 1 2 C.1 D.- 1 2

).

3.(2014· 郑州模拟) 1-2sin?π+2?cos?π-2?=( A.sin 2-cos 2 B.sin 2+cos 2 4.(2014· 石家庄模拟)已知 2 A.5 解析 2 B.-5 由

).

C.± (sin 2-cos 2) D.cos 2-sin 2 ).

sin α+3cos α =5,则 sin2 α-sin αcos α 的值是( 3cos α-sin α

C.-2 D.2

sin α+3cos α tan α+3 =5 得 =5 3cos α-sin α 3-tan α
2

sin2 α-sin αcos α tan2 α-tan α 2 即 tan α=2,所以 sin α-sin αcos α= = =5. sin2 α+cos2 α tan2 α+1 答案 A

5.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? =( ?π ? ?π ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 A.5 解析 答案 5 B.3
2

).

4 C.5

5 D.4

cos α?-cos α?· tan2α 3 3 1 5 由 5x -7x-6=0,得 x=-5或 2.∴sin α=-5.∴原式= = = . sin α· ?-sin α?· ?-sin α? -sin α 3 B

二、填空题 1 ?3 ? 6.(2014· 杭州模拟)如果 sin(π+A)=2,那么 cos?2π-A?的值是________. ? ? 解析 1 1 ∵sin(π+A)=2,∴-sin A=2.

1 ?3 ? ∴cos?2π-A?=-sin A=2. ? ? 答案 1 2

π? 1 7π? ? ? 7.已知 sin?α+12?=3,则 cos?α+12?的值为________. ? ? ? ? 解析 π ? π? 7π? ?? ? α+12?+ ? cos?α+12?=cos?? ? 2? ? ? ??

π? 1 ? =-sin?α+12?=-3. ? ?

答案

1 -3

π ?π ? 1 ?π ? 8.(2013· 江南十校第一次考试)已知 sin?12-α?= ,且-π<α<- ,则 cos?12-α?=________. 2 ? ? 3 ? ? 解析 ?π ? 1 ∵sin?12-α?=3, ? ?

π 又-π<α<-2, 7π π 13π ∴12<12-α< 12 , ?π ? ∴cos?12-α?=- ? ? 答案 2 2 - 3 2 2 ?π ? 1-sin2?12-α?=- 3 . ? ?

三、解答题 9.化简: 解 sin?kπ-α?cos[?k-1?π-α] (k∈Z). sin[?k+1?π+α]cos?kπ+α?

当 k=2n(n∈Z)时, sin?2nπ-α?cos[?2n-1?π-α] sin[?2n+1?π+α]cos?2nπ+α?

原式= =

sin?-α?· cos?-π-α? -sin α?-cos α? = =-1; sin?π+α?· cos α -sin α· cos α

当 k=2n+1(n∈Z)时, 原式= = sin[?2n+1?π-α]· cos[?2n+1-1?π-α] sin[?2n+1+1?π+α]· cos[?2n+1?π+α]

sin?π-α?· cos α sin α· cos α = =-1. sin α· cos?π+α? sin α?-cos α?

综上,原式=-1. 1 10.已知在△ABC 中,sin A+cos A=5. (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 解 1 (1)∵sin A+cos A=5,①

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25, 12 ∴sin Acos A=-25,

12 (2)由 sin Acos A=-25<0,且 0<A<π, 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+25=25, 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A=5,② 4 3 ∴由①,②可得 sin A=5,cos A=-5, sin A ∴tan A=cos A= 4 5 4 =- 3 3. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

-5

一、选择题 1.(2012· 辽宁卷)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A.-1 解析 2 B.- 2 2 C. 2 D.1 ).

法一 因为 sin α-cos α= 2,

π? π? ? ? 所以 2sin?α-4?= 2,所以 sin?α-4?=1. ? ? ? ? 3π 因为 α∈(0,π),所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 法二 因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,所以 sin 2α=-1.因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),

3π 3π 所以 2α= 2 ,所以 α= 4 ,所以 tan α=-1. 答案 A

?π ? 2.(2014· 衡水质检)已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1, 则 sin ? ? α 的值是( 3 5 A. 5 解析 锐角. 3 10 故 sin α= 10 . ). 3 7 B. 7 3 10 C. 10 1 D.3

由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,又 sin2α+cos2α=1,α 为

答案

C

二、填空题 3.sin21° +sin22° +?+sin290° =________. 解析 sin21° + sin22° + ? + sin290° = sin21° + sin22° + ? + sin244° + sin245° + cos244° + cos243° +?+

1 91 cos21° =(sin21° +cos21° )+(sin22° +cos22° )+?+(sin244° +cos244° )+sin245° +sin290° =45+2= 2 . 答案 91 2

三、解答题 ? π π? ?π ? 4.是否存在 α∈?-2,2?,β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, 3cos(-α)=- 2cos(π+β) ? ? ? ? 同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ① ②

?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β, 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2. 1 2 ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 . π ? π π? ∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , 又 β∈(0,π), π ∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=-4时,由②式知 cos β= 2 , 又 β∈(0,π), π ∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件.

学生用书?第 53 页 第3讲 [最新考纲] 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性. ? π π? 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正切函数在?-2,2?上的性质. ? ? 三角函数的图象与性质

知 识 梳 理 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 (下表中 k∈Z). 函数 y=sin x y=cos x y=tan x

图象

{x|x∈R,且x≠
定义域 值域 周期性 奇偶性 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 R [-1,1] 2π 奇函数 π π? ? ?2kπ-2,2kπ+2? ? ? π 3π? ? ?2kπ+2,2kπ+ 2 ? ? ? (kπ,0) π x=kπ+2 辨 析 感 悟 1.周期性的判断 (1)( 教 材 习 题 改 编 ) 由 sin(30° + 120° ) = sin 30° 知 , 120° 是 正 弦 函 数 y = sin x(x ∈ R) 的 一 个 周 期. (×) (√) R [-1,1] 2π 偶函数 [2kπ-π,2kπ] [2kπ,2kπ+π] π ? ? ?kπ+2,0? ? ? x=kπ R π 奇函数

? π kπ+2,k∈Z?

?

π π? ? ?kπ-2,kπ+2? ? ? 无 ?kπ ? ? 2 ,0? ? ? 无

π? π ? (2)函数 y=tan?2x+3?的最小正周期为2. ? ? 2.判断奇偶性与对称性 3π? ? (3)函数 y=sin?2x+ 2 ?是奇函数. ? ?

(×)

π (4)函数 y=sin x 的对称轴方程为 x=2kπ+2(k∈Z).(×) 3.求三角函数的单调区间 π π? ? (5)函数 f(x)=sin(-2x)与 f(x)=sin 2x 的单调增区间都是?kπ-4,kπ+4?(k∈Z). ? ?

(×) (6)函数 y=tan x 在整个定义域上是增函数. 4.求三角函数的最值 (7)存在 x∈R,使得 2sin x=3. (×) π? π? 2 ? ? (8)(教材习题改编)函数 f(x)=sin?2x-4?在区间?0,2?上的最小值为- 2 . ? ? ? ? (√) [感悟· 提升] 1.一点提醒 求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时,应注意 ω 的符号,只有当 ω>0 时,才能把 ωx+φ sin t 的相应单调区间求解.

看作一个整体,代入 y= 2.三个防范

一是函数 y=sin x 与 y=cos x 的对称轴分别是经过其图象的最高点或最低点且平行于 y

轴的直线,如 y=cos x 的对称轴为 x=kπ,而不是 x=2kπ(k∈Z). π π? ? 二是对于 y=tan x 不能认为其在定义域上为增函数,应在每个区间?kπ-2,kπ+2?(k∈Z)内为增函数, ? ? 如(6). 3 三是函数 y=sin x 与 y=cos x 的最大值为 1,最小值为-1,不存在一个值使 sin x=2,如(7). 考点一 三角函数的定义域、值域问题

【例 1】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域为________. ?π 7π? (2)当 x∈?6, 6 ?时,函数 y=3-sin x-2cos2x 的最小值是________,最大值是________. ? ? 解析 (1)法一 要使函数有意义,必须使 sin x-cos x≥0.利用图象,

在同一坐标系中画出[0,2π]上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示. π 5π 在[0,2π]内,满足 sin x=cos x 的 x 为4, 4 ,再结合正弦、余弦函数的周期是 2π,所以原函数的定义域 为
? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ 4 4 ? ? ?

,k∈Z?.
? ?

? ?

法二

利用三角函数线,画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示).∴定义域为
? ? ?. ? ?

? ? ? π 5π ?x?2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z 4 4 ? ? ?

法三

π ? π? sin x-cos x= 2sin?x-4?≥0,将 x-4视为一个整体,由正弦函数 y=sin x 的图象和性质可知 ? ?

π 2kπ≤x-4≤π+2kπ,k∈Z,

π 5π 解得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z.
? ? ? ? ? π 5π 所以定义域为?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ?. ? ? ? ? ?

(2)y=3-sin x-2cos2x =3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2 x-sin x+1, ? 1 ? 令 sin x=t∈?-2,1?, ? ? ? 1? 7 ? 1 ? ∴y=2t2-t+1=2?t-4?2+8,t∈?-2,1?, ? ? ? ? 7 ∴ymin=8,ymax=2. 答案
? ? ? π 5π (1)?x?2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 ,k∈Z ? ? ? ? ? ? ? ?

7 (2)8

2

规律方法 (1)求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图 象来求解. (2)三角函数值域的不同求法 ①利用 sin x 和 cos x 的值域直接求. ②把形如 y=asin x+bcos x 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)的形式求值域. ③利用 sin x± cos x 和 sin xcos x 的关系转换成二次函数求值域. 6cos4 x+5sin2x-4 【训练 1】 (2014· 广州模拟)已知函数 f(x)= ,求 f(x)的定义域和值域. cos 2x 解 π 由 cos 2x≠0 得 2x≠kπ+2,k∈Z,

kπ π 解得 x≠ 2 +4,k∈Z,
? ? kπ π 所以 f(x)的定义域为?x|x∈R,且x≠ 2 +4,k∈Z?.
4 2

?

6cos x+5sin x-4 6cos x+5-5cos x-4 = cos 2x 2cos2x-1 ?2cos2x-1??3cos2x-1? = =3cos2x-1. 2cos2x-1 ? ? 1 1 所以 f(x)的值域为?y|-1≤y<2,或2<y≤2?. ? ? f(x)= 考点二 三角函数的奇偶性、周期性和对称性

4

2

?

3π? ? 【例 2】 (1)已知函数 f(x)=sin?2x+ 2 ?(x∈R),下面结论错误的是 ? ? ( A.函数 f(x)的最小正周期为 π B.函数 f(x)是偶函数 ).

π C.函数 f(x)的图象关于直线 x=4对称 π? ? D.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? ?4π ? (2)如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点? 3 ,0?中心对称,那么|φ|的最小值为 ? ? ( π A.6 解析 π B.4 π C.3 π D.2 ).

3π? ? (1)f(x)=sin?2x+ 2 ?=-cos 2x,故其最小正周期为 π,A 正确;易知函数 f(x)是偶函数,B 正确; ? ?

π 由函数 f(x)=-cos 2x 的图象可知,函数 f(x)的图象不关于直线 x=4对称,C 错误;由函数 f(x)的图象易 π? ? 知,函数 f(x)在?0,2?上是增函数,D 正确,故选 C. ? ? 4π ? ? ?2π ? (2)由题意得 3cos?2× 3 +φ?=3cos? 3 +φ+2π? ? ? ? ? 2π π ?2π ? =3cos? 3 +φ?=0,∴ 3 +φ=kπ+2,k∈Z, ? ? π ∴φ=kπ-6,k∈Z,取 k=0, π 得|φ|的最小值为6. 答案 (1)C (2)A

规律方法 (1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ω x+φ)的形式, 则 2π 最小正周期为 T=|ω|;奇偶性的判断关键是解析式是否为 y=Asin ωx 或 y=Acos ωx+b 的形式. π (2)求 f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)的对称轴,只需令 ωx+φ=2+kπ(k∈Z),求 x;求 f(x)的对称中心的横坐 标,只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可. ? π? 【训练 2】 (1)函数 y=2cos2?x-4?-1 是 ? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为2的奇函数 π D.最小正周期为2的偶函数 (2)解析 π? 2π ? π? ? (1)y=2cos2?x-4?-1=cos?2x-2?=sin 2x 为奇函数,T= 2 =π. ? ? ? ? ( ).

π (2)由 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z), π π 所以 3× +φ=kπ+ (k∈Z), 12 2 π 得 φ=kπ+4(k∈Z), π π 又|φ|<2,∴k=0,故 φ=4. 答案 π (1)A (2)4 考点三 【例 3】 (2014· 临沂月考) 审题路线 π π 令(-2)×8+φ=2+kπ,k∈Z?解得 φ=?又 0<φ<π?得出 φ 值?把 f(x)=sin(-2x+φ), 三角函数的单调性

化为 f(x)=-sin(2x-φ)?令 g(x)=sin(2x-φ)?求出 g(x)的单调区间?利用 f(x)与 g(x)的关系求 f(x)的单 调区间. 解 π π (1)令(-2)×8+φ=kπ+2,k∈Z,

3π ∴φ=kπ+ 4 ,k∈Z, 3π 又 0<φ<π,∴φ= 4 . 3π? 3π? ? ? (2)由(1)得 f(x)=sin?-2x+ 4 ?=-sin?2x- 4 ?, ? ? ? ? 3π? ? 令 g(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 由-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π 得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 即 g(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z; ? ? π 3π 3π 由2+2kπ≤2x- 4 ≤ 2 +2kπ,k∈Z, 5π 9π 得 8 +kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 9π ?5π ? 即 g(x)的单调减区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z), ? ? 9π ?5π ? 故 f(x)的单调增区间为? 8 +kπ, 8 +kπ?(k∈Z); ? ? 5π ?π ? 单调减区间为?8+kπ, 8 +kπ?(k∈Z). ? ?

学生用书?第 55 页 规律方法 求较为复杂的三角函数的单调区间时, 首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式, 再求 y=Asin(ωx+φ) 的单调区间,只需把 ωx+φ 看作一个整体代入 y=sin x 的相应单调区间内即可,注意要先把 ω 化为正 数. π? ? 【训练 3】 (2013· 安徽卷)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π. ? ? (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0,2]上的单调性. 解 π (1)f(x) = 4cos ωx· sin(ωx + 4 ) = 2 2sin ωx· cos ωx + 2 2cos2ωx = 2(sin 2ωx + cos 2ωx) + 2 =

π 2sin(2ωx+4)+ 2. 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0, 2π 从而有2ω=π,故 ω=1. π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤2,则4≤2x+4≤ 4 . π π π π 当 ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π 当2≤2x+4≤ 4 ,即8≤x≤2时,f(x)单调递减. π π π 综上可知,f(x)在区间[0,8]上单调递增,在区间[8,2]上单调递减.

1.求三角函数的定义域应注意利用三角函数线或者三角函数图象. 2.判断函数奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合 函数在复合过程中,对每个函数而言,一偶则偶,同奇则奇. 3.三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数 形结合方法求解.对复合函数单调区间的确定,应明确是对复合过程中的每一个函数而言,同增同减则 为增,一增一减则为减. 4. 求三角函数式的最小正周期时, 要尽可能地化为只含一个三角函数的式子, 否则很容易出现错误. 一 般地,经过恒等变形成“y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)”的形式,再利用周期公式 即可.

答题模板 5——三角函数的最值(或值域)问题 1? ? 【典例】 (12 分)(2013· 陕西卷)已知向量 a=?cos x,-2?, b=( 3sin x, cos 2x), x∈R, 设函数 f(x)=a· b. ? ? (1)求 f(x)的最小正周期; π? ? (2)求 f(x)在?0,2?上的最大值和最小值. ? ? 1? ? [规范解答] f(x)=?cos x,-2?· ( 3sin x,cos 2x) ? ? 1 = 3cos xsin x-2cos 2x 3 1 = 2 sin 2x-2cos 2x π? ? =sin?2x-6?. ? ? 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= ω = 2 =π, 即函数 f(x)的最小正周期为 π. π (2)∵0≤x≤2, π π 5π ∴- ≤2x- ≤ . 6 6 6 由正弦函数的性质,得 π π π 当 2x-6=2,即 x=3时,f(x)取得最大值 1. π π 当 2x-6=-6, 1 即 x=0 时,f(0)=-2, π 5π π ?π? 1 当 2x-6= 6 ,即 x=2时,f?2?=2, ? ? 1 ∴f(x)的最小值为-2. π? 1 ? 因此,f(x)在?0,2?上最大值是 1,最小值是-2. ? ? (11 分) (12 分) (8 分) (6 分) (4 分) (2 分)

[反思感悟] 求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围,由于三角函数的周期性,正 弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得,因此要把这两个最值点弄清 π 楚.如本例中有学生直接把 x=0 和 x=2代入求得最值,这显然是错误的. 答题模板 求函数 f(x)=Asin(ωx+φ)在区间[a,b]上值域的一般步骤:

第一步:三角函数式的化简,一般化成形如 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式或 y=Acos(ωx+φ)+k 的形式. 第二步:由 x 的取值范围确定 ωx+φ 的取值范围,再确定 sin(ωx+φ)(或 cos(ωx+φ))的取值范围. 第三步:求出所求函数的值域(或最值). 【自主体验】 π? ? ? π? ? π? 已知函数 f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4?. ? ? ? ? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; ? π π? (2)求函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域. ? ? 解 π? ? ? π? ? π? (1)f(x)=cos?2x-3?+2sin?x-4?sin?x+4? ? ? ? ? ? ?

1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 1 3 =2cos 2x+ 2 sin 2x+sin2x-cos2x π? 1 3 ? =2cos 2x+ 2 sin 2x-cos 2x=sin?2x-6?. ? ? 2π ∴最小正周期 T= 2 =π, π π kπ π 由 2x-6=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +3(k∈Z). kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= 2 +3(k∈Z). π ? π 5π? ? π π? (2)∵x∈?-12,2?,∴2x-6∈?-3, 6 ?, ? ? ? ? π? 3 ? ∴- 2 ≤sin?2x-6?≤1. ? ? ? 3 ? ? π π? 即函数 f(x)在区间?-12,2?上的值域为?- ,1?. ? ? ? 2 ?

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013· 青岛质检)下列函数中周期为 π 且为偶函数的是( ).

π? ? A.y=sin?2x-2? ? ? ? π? C.y=sin?x+2? ? ? 解析 答案

π? ? B.y=cos?2x-2? ? ? ? π? D.y=cos?x+2? ? ?

π? ? y=sin?2x-2?=-cos 2x 为偶函数,且周期是 π. ? ? A

π? 2π ? 2.(2014· 南昌联考)已知函数 f(x)=sin ?ωx+6?-1(ω>0)的最小正周期为 3 ,则 f(x)的图象的一条对称 ? ? 轴方程是( ).

π π π π A.x=9 B.x=6 C.x=3 D.x=2 解析 2π 2π π π kπ π 依题意得,|ω|= 3 ,|ω|=3,又 ω>0,因此 ω=3,所以 3x+6=kπ+2,解得 x= 3 +9,当 k=

π 0 时,x=9. π 因此函数 f(x)的图象的一条对称轴方程是 x=9. 答案 A

3.(2014· 广州测试) 解析 π π ? π π? + ?=0, (ω+1)=kπ+ ,ω=6k+2(其中 k∈Z);又 ω 是正整数,因此 ω 的 依题意得 cos?ω· 6 2 ? 6 6?

最小值是 2. 答案 B ).

4.(2014· 济南调研)已知 f(x)=sin2 x+sin xcos x,则 f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别为( A.π,[0,π] ? π π? ?-4,4? ? ? 解析 = 由 f(x)=sin2x+sin xcos x ? π 3π? B.2π,?-4, 4 ? ? ? ? π 3π? C.π,?-8, 8 ? ? ?

D.2π,

1-cos 2x 1 +2sin 2x 2

π? 1 2? 2 2 ? ? 1 2 =2+ 2 ? sin 2x- cos 2x?=2+ 2 sin?2x-4?. ? ? 2 2 ? ? 2π π π π ∴T= 2 =π.又∵2kπ-2≤2x-4≤2kπ+2, π 3π ∴kπ-8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z)为函数的单调递增区间.故选 C. 答案 C

5.(2014· 三明模拟)

解析 答案

π ?π ? ?π ? ?π? 由 f?6+x?=f?6-x?知,函数图象关于 x=6对称,f?6?是函数 f(x)的最大值或最小值. ? ? ? ? ? ? B

二、填空题 6.函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x-2的定义域为________.

解析

sin x>0, ? ? 要使函数有意义必须有? 1 cos x-2≥0, ? ? 2kπ<x<π+2kπ?k∈Z?, ? ? 解得? π π -3+2kπ≤x≤3+2kπ?k∈Z?, ? ?

sin x>0, ? ? 即? 1 cos x≥2, ? ?

π ∴2kπ<x≤3+2kπ(k∈Z),
? ? π ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?. ? ?

答案

π ? ? ?2kπ,3+2kπ?(k∈Z) ? ?

sin x+1 7.函数 y= sin x (0<x<π)的最小值为________. 解析 1 1 令 sin x=t∈(0,1],则函数 y=1+ t ,t∈(0,1].又 y=1+ t 在 t∈(0,1]上是减函数,所以当 t=1 时,

y 取得最小值 2. 答案 2 由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω = 2 ,所以 f(x)=

8. 解析

π? π? ? ? 3sin?2x-6?,那么当 x∈?0,2?时, ? ? ? ? π π 5π -6≤2x-6≤ 6 , 答案 ? 3 ? ?-2,3? ? ? 1 π ? 3 ? 所以-2≤sin(2x-6)≤1,故 f(x)∈?-2,3?. ? ?

三、解答题 9.(2013· 潮州二模)已知函数 f(x)= 3(sin2 x-cos2x)-2sin xcos x. (1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)设 x∈?-3,3?,求 f(x)的单调递增区间. ? ? 解 (1)∵f(x)=- 3(cos2x-sin2 x)-2sin xcos x

π? ? =- 3cos 2x-sin 2x=-2sin?2x+3?, ? ?

∴f(x)的最小正周期为 π. π π ? π π? (2)∵x∈?-3,3?,∴-3≤2x+3≤π, ? ? π? ? 当 y=sin?2x+3?单调递减时,f(x)单调递增. ? ? π π π π ∴2≤2x+3≤π,即12≤x≤3. ? π π? 故 f(x)的单调递增区间为?12,3?. ? ?

(2)求函数 y=sin x+cos x+sin xcos x 的值域. 解 π π π 2π (1)∵- <x< ,∴0<2x+ < , 6 6 3 3

π? ? ∴0<sin?2x+3?≤1, ? ? π? ? ∴y=2sin?2x+3?的值域为(0,2]. ? ? (2)y=sin xcos x+sin x+cos x = ?sin x+cos x?2-1 ? π? ?x+4? + 2sin 2 ? ?

? π? ? π? 1 =sin2?x+4?+ 2sin?x+4?-2 ? ? ? ? ? ? π? 2? ? π? =?sin?x+ ?+ ?2-1,所以当 sin?x+4?=1 时, ? ? ? ? 4? 2 ? 1 1 y 取最大值 1+ 2-2=2+ 2. 2 ? π? 当 sin?x+4?=- 2 时,y 取最小值-1, ? ? 1 ? ? ∴该函数的值域为?-1,2+ 2?. ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2013· 安徽师大附中模拟)设 ω>0,m>0,若函数 f(x)=msin 则 ω 的取值范围是( 2? ? A.?0,3? ? ? ). ?3 ? C.?2,+∞? ? ? D.[1,+∞) ωx ωx ? π π? cos 在区间?-3,3?上单调递增, 2 2 ? ?

3? ? B.?0,2? ? ?

解析

ωx ωx 1 T π π π 2π ? π π? f(x)=msin 2 cos 2 =2msin ωx,若函数在区间?-3,3?上单调递增,则 2 =ω≥3+3= 3 ,即 ω ? ?

3? ? ∈?0,2?. ? ? 答案 2. 解析 π 2kπ π π 2kπ ∵f(x)=2sin ωx(ω>0)的最小值是-2, 此时 ωx=2kπ-2, k∈Z, ∴x= ω -2ω, k∈Z, ∴-3≤ ω B

π 3 3 -2ω≤0,k∈Z,∴ω≥-6k+2且 k≤0,k∈Z,∴ωmin=2. 答案 B

二、填空题 3.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:当 sin x≤cos x 时,f(x)=cos x,当 sin x>cos x 时,f(x)=sin x. 给出以下结论: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的最小值为-1; ③当且仅当 x=2kπ(k∈Z)时,f(x)取得最小值; π ④当且仅当 2kπ-2<x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0; ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 其中正确的结论序号是________. 解析 易知函数 f(x)是周期为 2π 的周期函数.

函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示.

2 5π π 由图象可得,f(x)的最小值为- 2 ,当且仅当 x=2kπ+ 4 (k∈Z)时,f(x)取得最小值;当且仅当 2kπ-2< x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0;f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π.所 以正确的结论的序号是①④⑤. 答案 ①④⑤

三、解答题 x ? ? 4.(2013· 荆门调研)已知函数 f(x)=a?2cos22+sin x?+b. ? ? (1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值.



f(x)=a(1+cos x+sin x)+b

? π? = 2asin?x+4?+a+b. ? ? ? π? (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin?x+4?+b-1, ? ? π π 3π 由 2kπ+2≤x+4≤2kπ+ 2 (k∈Z), π 5π 得 2kπ+4≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z), π 5π? ? ∴f(x)的单调增区间为?2kπ+4,2kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ? (2)∵0≤x≤π, π π 5π ∴4≤x+4≤ 4 , 2 ? π? ∴- 2 ≤sin?x+4?≤1,依题意知 a≠0. ? ? ? 2a+a+b=8, (ⅰ)当 a>0 时,? ?b=5, ∴a=3 2-3,b=5. ?b=8, (ⅱ)当 a<0 时,? ? 2a+a+b=5, ∴a=3-3 2,b=8. 综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8. 学生用书?第 56 页 第4讲 [最新考纲] 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A,ω,φ 对函数图 象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题. 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

知 识 梳 理 1.“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、 最低点及与 x 轴相交的三个交点, 作图时的一般步骤 为: (1)定点:如下表所示.

x

φ -ω 0 0

π 2-φ ω π 2 A

π-φ ω π 0

3π 2 -φ ω 3π 2 -A

2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用平滑的曲线顺次连接得到 y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的 图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得 y=Asin(ωx+φ)在 R 上的图象. 2.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径

3.函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义 2π 1 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动时,A 叫做振幅,T= ω 叫做周期,f=T 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相.

2. [感悟· 提升] 1.图象变换两种途径的区别 由 y=sin x 的图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当 周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸缩 |φ| 变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是 ω 个单位,如(1)、(2). 2.两个防范 一是平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数;

二是解决三角函数性质时,要化为 y=Asin(ωx+φ)的形式,但最大值、最小值与 A 的符号有关,如(4); 而 y=Asin(ωx+φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离是半个周期,如(5).

学生用书?第 57 页

考点一 (1)解析

函数 y=Asin(ωx+φ)的图象画法与变换

2π π π 依题意 T=π, ∴T=π= ω , ∴ω=2, ∴f(x)=sin(2x+3), ∴只需 y=cos 2x=sin(2x+2)=sin2(x

π +4) 答案 (2)解 B

π f(x)=sin(2x+3).

π? 2π π ? ①y=2sin?2x+3?的振幅 A=2,周期 T= =π,初相 φ= . 2 3 ? ?

π? π ? ②令 X=2x+3,则 y=2sin?2x+3?=2sin X. ? ? 列表,并描点画出图象: x X y=sin X π? ? y=2sin?2x+3? ? ? π -6 0 0 0 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

③法一

π ? π? ? π? 把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位, 得到 y=sin?x+3?的图象; 再把 y=sin?x+3?的 ? ? ? ?

π? π? 1 ? ? 图象上的点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变), 得到 y=sin?2x+3?的图象; 最后把 y=sin?2x+3?的 ? ? ? ? π? ? 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 法二 1 将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标 x 缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到 y=sin 2x 的图象;

π? π? π ? π? ? ? 再将 y=sin 2x 的图象向左平移6个单位,得到 y=sin 2?x+6?=sin?2x+3?的图象;再将 y=sin?2x+3?的 ? ? ? ? ? ? π? ? 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),得到 y=2sin?2x+3?的图象. ? ? 规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法. π (1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, , 2

3 π,2π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. (2)三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的 ω 倍,要特别注意相位变换、周期变换的顺序,顺序不同,其变换量也不同. 【训练 1】 (1) (1)解析 ωπ ? π? ? ? π? ? ? ? 依题意,f?x+2?=Asin?ω?x+2?+φ?=Asin?ωx+ 2 +φ?的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称, ? ? ? ? ? ? ? ?

ωπ 4π ? ? ? ? 于是有 Asin?ωx+ 2 +φ?+Asin(ωx+φ)=0;注意到 ω=4 时,Asin?4x+ 2 +φ?+Asin(4x+φ)=2Asin(4x ? ? ? ? +φ)不恒等于 0,故选 B. 答案 (2)解 B 2π ①∵T= ω =π,ω=2,

π 3 3 ?π? ? ? 又 f?4?=cos?2×4+φ?= 2 ,∴sin φ=- 2 , ? ? ? ? π π 又-2<φ<0,∴φ=-3. π? ? ②由①得 f(x)=cos?2x-3?,列表: ? ? π 2x- 3 π 3 π 2 3 π 2 5 π 3



0

π

x

0

π 6

5 π 12

2 π 3

11 π 12

π

f(x)

1 2

1

0

-1

0

1 2

图象如图.

考点三 【例 3】

函数 y=Asin(ωx+φ)的性质应用

函数

y=sin x

y=Asin(ωx+φ)

图象

值域

周期

递增区间

递减区间

对称中心

对称轴 (1)由题意,得 A=2,ω= 2π =2, π



π π ? ? 当 x=6时,2sin?2×6+φ?=± 2, ? ? π π ?π ? 即 sin?3+φ?=± 1,所以3+φ=kπ+2, ? ? π π π 解得 φ=kπ+6,又 0<φ<2,所以 φ=6. π? ? 故 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

π ? π? π ? π? ? ? ? ? x- ?+ ?-2sin?2?x+12?+ ? (2)g(x)=2sin?2? ? 6? ? ? 12? 6? ? ? π? ? =2sin 2x-2sin?2x+3? ? ? ?1 ? 3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2x? 2 ?2 ? π? ? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?. ? ? π π π 由 2kπ-2≤2x-3≤2kπ+2,k∈Z, π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z. π 5π? ? 所以函数 g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ? 规律方法 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 π (1)奇偶性:φ=kπ 时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ=kπ+ (k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函 2 数. 2π (2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小正周期为 T= ω . π π (3)单调性:根据 y=sin t 和 t=ωx+φ(ω>0)的单调性来研究,由-2+2kπ≤ωx+φ≤2+2kπ(k∈Z)得单 π 3π 调增区间;由2+2kπ≤ωx+φ≤ 2 +2kπ(k∈Z)得单调减区间. (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ(k∈Z),求得 x、ω. π π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+2(k∈Z)求解,令 ωx+φ=kπ+2(k∈Z)得其对称轴. 【训练 3】 解 (1)f(x)= 3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)

? 3 ? 1 =2? sin?ωx+φ?- cos?ωx+φ?? 2 ?2 ? π? ? =2sin?ωx+φ-6?. ? ? 因为 f(x)为偶函数, π π 2π 2π 则 φ-6=2+kπ(k∈Z),所以 φ= 3 +kπ(k∈Z),又因为 0<φ<π,所以 φ= 3 , π? ? 所以 f(x)=2sin?ωx+2?=2cos ωx. ? ? 由题意得 2π π =2· ,所以 ω=2. ω 2

π ?π? 故 f(x)=2cos 2x.因此 f?8?=2cos 4= 2. ? ? ? π? (2)y=2cos 2x+2cos 2?x+4? ? ? π? ? =2cos 2x+2cos?2x+2?=2cos 2x-2sin 2x ? ? ?π ? =2 2sin?4-2x?. ? ? π π 令4-2x=2kπ+2(k∈Z),y 有最大值 2 2, π 所以当 x=-kπ-8(k∈Z)时,y 有最大值 2 2.

1.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目 中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图象变换要看“变 量”起多大变化,而不是“角”变化多少. 2.由图象确定函数解析式:由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A,ω,φ 的题型,常常以“五点法”中的 五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量 和特殊点. 3.对称问题:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为 (x,± A)的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是 半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

易错辨析 5——三角函数图象平移变换时因自变量系数致误 π 【典例】 (2013· 山东卷改编)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移8个单位后, 得到一个偶函数的 图象,则 φ 的一个可能取值为 ( 3π A. 4 [错解] π B.4 3π C. 8 π D.-4 ).

向左平移 π ? ? y=sin(2x+φ) ― ― → y=sin?2x+8+φ? ? ? π 个单位 8

π π 3π 则由8+φ=2得 φ= 8 .故选 C. [答案] C

[错因]

π π ? ? 函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移8个单位得到 y=sin?2x+8+φ?是错误的, 应注意警惕. ? ? 向左平移 π π π ? ? π? ? ? ? y=sin(2x+φ) ― ― → y=sin?2?x+8?+φ?=sin?2x+4+φ?,则由4+φ=2+kπ(k∈Z),根据选项 ? ? ? ? ? ? π 个单位 8

[正解]

π 检验可知 φ 的一个可能取值为4.故选 B. 答案 B 对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程

[防范措施]

中只变换其中的自变量 x,如果 x 的系数不是 1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向.另 φ? ? 外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把 ωx+φ 变换成 ω?x+ω?,最后确定 ? ? φ 平移的单位并根据ω的符号确定平移的方向. 【自主体验】 π (2014· 湖州二模)将函数 y=sin 2x+cos 2x 的图象向左平移4个单位长度,所得图象对应的函数解析式可 以是 ( ). B.y=cos 2x-sin 2x D.y=sin xcos x

A.y=cos 2x+sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x 解析

π?向左平移 ? ? π? π? ? ?2?x+4?+4? y=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+4? π― ― → y = 2sin ? ? ? ? 4个单位 ? ?

π π? ? = 2sin?2x+4+2? ? ? π? ? = 2cos?2x+4? ? ? =cos 2x-sin 2x. 答案 B

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1. 解析 π? 1 ? π? ? 将 y=sin?x+6?图象上各点的横坐标缩短到原来的2(纵坐标不变),得到函数 y=sin?2x+6?;再将 ? ? ? ?

π? π π ? ? π? π? x- ?+ ?=sin? ?2x-2?,x=- 是其图象的一条对称轴方程. 图象向右平移3个单位,得到函数 y=sin?2? 2 ? ? ? ? 3? 6? 答案 A

2.(2014· 深圳二模)如果函数 f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期为 T,且当 x=2 时,f(x)取得最大 值,那么( ).

π A.T=2,θ=2 B.T=1,θ=π π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=2 解析 π = . 2 答案 A 2π π 3π T= π =2,当 x=2 时,由 π×2+θ=2+2kπ(k∈Z),得 θ=- 2 +2kπ(k∈Z),又 0<θ<2π,∴θ

π π 3.已知函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为2,直线 x=3是其图象的一 条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为( π? ? A.y=4sin?4x+6? ? ? π? ? B.y=2sin?2x+3?+2 ? ? ).

π? π? ? ? C.y=2sin?4x+3?+2 D.y=2sin?4x+6?+2 ? ? ? ? 解析 ?A+k=4, ?A=2, 由题意得? 解得? ?-A+k=0, ?k=2.

π 又函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最小正周期为2, 2π 所以 ω= π =4,所以 y=2sin(4x+φ)+2. 2 π 又直线 x=3是函数图象的一条对称轴, π π 5π 所以 4×3+φ=kπ+2(k∈Z),所以 φ=kπ- 6 (k∈Z), π? ? 故可得 y=2sin?4x+6?+2 符合条件,所以选 D. ? ? 答案 4. 解析 π? π ? ? π? ? ? π? ? 函 数 f(x) = sin(2x + φ) ?|φ|<2? 向 左 平 移 6 个 单 位 后 得 到 函 数 为 f ?x+6? = sin ?2?x+6?+φ? = ? ? ? ? ? ? ? ? D

π π π π ? ? sin?2x+3+φ?,因为此时函数为奇函数,所以3+φ=kπ(k∈Z),所以 φ=-3+kπ(k∈Z).因为|φ|<2, ? ?

π? π π ? 所以当 k=0 时,φ=-3,所以 f(x)=sin?2x-3?.当 0≤x≤2时, ? ? π? π 3 ? ? π? =- 时,函数 f(x)=sin?2x-3?有最小值为 sin?-3?=- . 3 2 ? ? ? ? 答案 A

π π 2π π -3≤2x-3≤ 3 ,即当 2x-3

5.

解析

5 π 2π 令 f(x)=y=sin(ωx+φ),由三角函数图象知,T=6π+6=π,所以 ω =π,所以 ω=2.因为函数 f(x)

π? π π π ? π ? ? 过点?-6,0?,且 0<φ<2,所以-6×2+φ=0,所以 φ=3,所以 f(x)=sin?2x+3?,将该函数图象向右 ? ? ? ? π π ? ? 平移 m 个单位后, 所得图象的解析式是 g(x)=sin?2x+3-2m?, 因为函数 g(x)的图象关于直线 x=4对称, ? ? π π π π kπ π 所以 2×4+3-2m=2+kπ(k∈Z),解得 m=6- 2 (k∈Z),又 m>0,所以 m 的最小值为6. 答案 B

二、填空题 6. 解析 答案 3 2 2π 由图象可以看出2T=π,∴T=3π= ω ,因此 ω=3. 3

7.(2014· 山东省实验中学诊断)已知函数 y=g(x)的图象由 f(x)=sin 2x 的图象向右平移 φ(0<φ<π)个单 位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则 φ=________.

解析

π π π π 函数 f(x)=sin 2x 的图象在 y 轴右侧的第一个对称轴为 2x=2,所以 x=4,8关于 x=4对称的直线

3π 3π 17π 17π 3π π 为 x= 8 ,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为 x= 8 的点平移到 x= 24 ,所以 φ= 24 - 8 =3. 答案 π 3

π? ? 8.设函数 f(x)=sin?2x+6?,则下列命题: ? ? π? π ?π ? ? ①f(x)的图象关于直线 x= 对称; ②f(x)的图象关于点?6,0?对称; ③f(x)的最小正周期为 π, 且在?0,12? 3 ? ? ? ? π 上为增函数;④把 f(x)的图象向右平移12个单位,得到一个奇函数的图象. 其中正确的命题为________(把所有正确命题的序号都填上). 解析 π π? 5π 1 π ?π? ? 对于①,f?3?=sin?2×3+6?=sin 6 =2,不是最值,所以 x=3不是函数 f(x)的图象的对称轴,该 ? ? ? ?

π π? ?π? ? ?π ? 命题错误;对于②,f?6?=sin?2×6+6?=1≠0,所以点?6,0?不是函数 f(x)的图象的对称中心,故该命 ? ? ? ? ? ? π? 2π π ?π π? ? 题错误;对于③,函数 f(x)的周期为 T= 2 =π,当 x∈?0,12?时,令 t=2x+6∈?6,3?,显然函数 y= ? ? ? ? π? ?π π? ? sin t 在?6,3?上为增函数,故函数 f(x)在?0,12?上为增函数,所以该命题正确;对于④,把 f(x)的图象 ? ? ? ? π ? π? π ? ? x-12?+ ?=sin 2x,是奇函数,所以该命题正确.故 向右平移12个单位后所对应的函数为 g(x)=sin?2? ? 6? ? ? 填③④. 答案 ③④

三、解答题 π? ? 9.(2014· 苏州调研)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)?其中A>0,ω>0,0<φ<2?的周期为 π,且图象上有一 ? ? ?2π ? 个最低点为 M? 3 ,-3?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; 3 (2)求使 f(x)<2成立的 x 的取值集合. 解 (1)由题意知:A=3,ω=2,

?4π ? 由 3sin? 3 +φ?=-3, ? ? 4π π 得 φ+ 3 =-2+2kπ,k∈Z, -11π 即 φ= 6 +2kπ,k∈Z. π π 而 0<φ<2,所以 k=1,φ=6. π? ? 故 f(x)=3sin?2x+6?. ? ? π? 3 3 ? (2)f(x)<2等价于 3sin ?2x+6?<2, ? ?

π? 1 ? 即 sin?2x+6?<2, ? ? 于是 2kπ- 7π π π <2x+ <2kπ+ (k∈Z), 6 6 6

2π 解得 kπ- 3 <x<kπ(k∈Z),
? ? 2π 3 故使 f(x)<2成立的 x 的取值集合为?x|kπ- 3 <x<kπ,k∈Z?. ? ?

10.(2013· 济宁测试)已知函数 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,再把所得到的图象向左平移 π ? π π? ?-6,12?上的值域. 个单位长度,得到函数 y = g ( x ) 的图象,求函数 y = g ( x ) 在区间 6 ? ? 解 (1)因为 f(x)=2 3sin xcos x+2sin2x-1

π? ? = 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6?, ? ? ∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π, π π π 由-2+2kπ≤2x-6≤2+2kπ,k∈Z, π π ∴-6+kπ≤x≤3+kπ,k∈Z, π ? π ? ∴f(x)的单调递增区间为?-6+kπ,3+kπ?,k∈Z. ? ? π? 1 ? (2)函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的2,得到 y=2sin?4x-6?; ? ? π? π ? ? π? π? x+6?- ?=2sin? 4x+2?=2cos 4x, ? 再把所得到的图象向左平移6个单位长度,得到 g(x)=2sin?4? ? 6? ? ? ? ? ? π π? ? 2π π? 当 x∈?-6,12?时,4x∈?- 3 ,3?, ? ? ? ? 所以当 x=0 时,g(x)max=2, π 当 x=-6时,g(x)min=-1. ? π π? ∴y=g(x)在区间?-6,12?上的值域为[-1,2]. ? ? 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题

?sin 2x cos 2x? ?a1 a2? ?=a1a4-a2a3,若函数 f(x)=? ?,则将 f(x)的图象向右平移 1.(2014· 长沙一模)定义? ?a3 a4? ?1 3 ? π 3个单位所得曲线的一条对称轴的方程是( π π π A.x=6 B.x=4 C.x=2 D.x=π 解析 π? π ? 由定义可知, f(x) = 3sin 2x- cos 2x=2sin ?2x-6? ,将 f(x) 的图象向右平移 3 个单位得到 y = ? ? ).

5π? 5π π 2π kπ ? ? π? π? x-3?- ?=2sin? 2x- 6 ?, ? 2sin?2? 由 2x- 6 =2+kπ(k∈Z), 得对称轴为 x= 3 + 2 (k∈Z), 当 k=-1 时, ? 6? ? ? ? ? 2π π π 对称轴为 x= 3 -2=6. 答案 A

2.(2014· 江南十校联考)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ 是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图所示, 下列结论: ①最小正周期为 π; π ②将 f(x)的图象向左平移6个单位,所得到的函数是偶函数; ③f(0)=1; ?12π? ?14π? ④f? 11 ?<f? 13 ?; ? ? ? ? ?5π ? ⑤f(x)=-f? 3 -x?. ? ? 其中正确的是( ).

A.①②③ B.②③④ C.①④⑤ D.②③⑤ 解析 T 7 π π 7 3π π 由题图可知,A=2,4 =12π-3=4?T=π?ω=2,2×12π+φ=2kπ+ 2 ,φ=2kπ+3(k∈Z).所以

π? π ? ? π? ? f(x)=2sin?2x+3??f(0)= 3,f?x+6?=2sin?2x+3 ? ? ? ? ? π? 2π? kπ π ? ?5π ? +3?=2sin?2x+ 3 ?, 所以②, ③不正确; f(x)的对称轴为直线 x= 2 +12(k∈Z), 一个对称中心为? 6 ,0?, ? ? ? ? ? 13π π 13π 14π π ?13π? 12π 13π 所以 f(x)的图象关于直线 x= 12 对称, 且 f(x)的最大值为 f? 12 ?, - 12 = > 12 - 13 = , ? ? 11 11×12 13×12

π? ?12π? ?14π? ? 所以 f? 11 ?<f? 13 ?,即④正确;设(x,f(x))为函数 f(x)=2sin?2x+3?的图象上任意一点,其关于对称中 ? ? ? ? ? ? π? ?5π ? ?5π ? ? ?5π ? 心? 6 ,0?的对称点? 3 -x,-f?x??也在函数 f(x)=2sin?2x+3?的图象上,即 f? 3 -x?=-f(x)?f(x)=- ? ? ? ? ? ? ? ? ?5π ? f? 3 -x?,故⑤正确.综上所述,①④⑤正确.选 C. ? ? 答案 C


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