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【优化方案】2012高考数学总复习 第8章§8.5垂直关系精品课件 理 北师大版


§8.5

垂直关系

§ 8.5 垂 直 关 系

双基研习? 双基研习?面对高考

考点探究?挑战高考 考点探究?

考向瞭望? 考向瞭望?把脉高考

双基研习? 双基研习?面对高考

基础梳理 1.直线与平面垂直 . (1)定义 : 如果一条直线和一个平面内的 任何 一 定义: 如果一条直线和一个平面内的______一 定义 条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直. 条直线都垂直,那么称这条直线和这个平面垂直.

(2)定理: 定理: 定理
文字语言 如果一条直线 和一个平面内 的 两 条 判定 ____________ 相交直线 定理 都垂直, 都垂直, 那么该 直线与此平面 垂直. 垂直. 图形语 言 符号语言 a?α ? ? b?α ? ? ? l⊥a ?? ⊥ l⊥b ? ⊥ ? a∩b=A = _____? l⊥α ⊥

文字语言 如果两条 直 线 同 _________ 垂直于一 个平面 , ________, 性质 定理 那 么 这 两 条直线平 行.

图形语言

符号语言

a⊥α ? ⊥ ? ? b⊥α ? ⊥ _______? ?a∥b ∥

2.平面与平面垂直 平面与平面垂直 (1)定义:两个平面相交,如果所成的二面角 定义:两个平面相交, 定义 直二面角 ,就说这两个平面互相垂直. 是__________,就说这两个平面互相垂直. (2)定理: 定理: 定理

垂线

AB⊥α ⊥

交线

AB⊥MN ⊥

能否将直线与平面垂直定义中的“任何 思考感悟 能否将直线与平面垂直定义中的 任何 一条直线”改为 无数条直线 一条直线 改为“无数条直线 ?能否将直线与平面 改为 无数条直线”? 垂直判定定理中的“相交 去掉 垂直判定定理中的 相交”去掉? 相交 去掉? 提示:不能,若平面内的直线互相平行,这些直 提示:不能,若平面内的直线互相平行, 线可能都与该直线垂直, 线可能都与该直线垂直,但直线不一定与平面垂 直.

3.二面角 . 从 一 条 直 线两个半平面 的 出 发 所组成的图形叫 二面角的定义 ______________所组成的图形叫 作二面角. 作二面角. 垂直于 以二面角的棱上任一点为端点, 以二面角的棱上任一点为端点,在 二面角的度 两个半平面内分别作________棱 两个半平面内分别作 棱 量——二面角 二面角 的两条射线, 的两条射线,这两条射线所成的角 的平面角 叫作二面角的平面角. 叫作二面角的平面角

课前热身 1. 设 a、 b是两条直线 , α、 β是两个平面 , 则 . 是两条直线, 、 是两个平面 是两个平面, 、 是两条直线 a⊥b的一个充分条件是 ⊥ 的一个充分条件是 的一个充分条件是( A.a⊥α,b∥β,α⊥ A.a⊥α,b∥β,α⊥β B.a⊥α,b⊥β,α∥β . ⊥ , ⊥ , ∥ C.a?α,b⊥β,α∥β . ? , ⊥ , ∥ D.a?α,b∥β,α⊥β . ? , ∥ , ⊥ 答案: 答案:C )

2.(教材习题改编 如图所示 , 在 Rt△ABC中 , 教材习题改编)如图所示 教材习题改编 如图所示, △ 中 所在平面外一点, ∠B= 90° , 点 P为 △ABC所在平面外一点 , = ° 为 所在平面外一点 PA⊥ 平面 中有( ) ⊥ 平面ABC, 则四面体 ?ABC中有 , 则四面体P? 中有 个直角三角形. 个直角三角形. A. A.1 B. B.2 C.3 D.4 . . 答案: 答案:D

3. 已知 , β表示两个不同的平面 , m为平面 . 已知α, 表示两个不同的平面 表示两个不同的平面, 为平面 为平面α 内的一条直线, 内的一条直线,则“m⊥β”是“α⊥β”的 ⊥ ” ⊥ ” ( ) A.充分不必要条件 . B.必要不充分条件 . C.充要条件 . D.既不充分也不必要条件 . 答案: 答案:A

4.(2011年合肥调研 ,n是空间两条不同直线, . 年合肥调研)m, 是空间两条不同直线 是空间两条不同直线, 年合肥调研 α,β是两个不同平面,下面有四个命题: 是两个不同平面, , 是两个不同平面 下面有四个命题: ①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n; ⊥ , ∥ , ∥ ? ⊥ ; ②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β; ⊥ , ∥ , ⊥ ? ∥ ; ③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β; m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β. ⊥ , ∥ , ∥ ? ⊥ 其中,为真命题的有________(写出所有真命题 其中,为真命题的有 写出所有真命题 的编号). 的编号 . 答案: 答案:①④

5.如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC .如图所示,已知矩形 中 = , =a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点 , ⊥平面 ,若在 上只有一个点Q 上只有一个点 满足PQ⊥ , 的值等于________. 满足 ⊥QD,则a的值等于 的值等于 . 答案:2 答案:

考点探究? 考点探究?挑战高考

考点突破 垂直关系的基本应用 此类问题经常以选择题的形式在高考中出现, 此类问题经常以选择题的形式在高考中出现,解答 时一要注意依据定理条件才能得出结论, 时一要注意依据定理条件才能得出结论,二是否定 时只需举一个反例, 时只需举一个反例,三要会寻找恰当的特殊模型进 行筛选. 行筛选.

例1 (2010年高考浙江卷 设l,m是两条不同的 年高考浙江卷)设 , 是两条不同的 年高考浙江卷

直线, 是一个平面 是一个平面, 直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 ( ) A.若l⊥m,m?α,则l⊥α . ⊥ , ? , ⊥ B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α . ⊥ ,∥ , ⊥ C.若l∥α,m?α,则l∥m . ∥ , ? , ∥ D.若l∥α,m∥α,则l∥m . ∥ , ∥ , ∥ 思路点拨】 根据线面垂直、 【思路点拨】 根据线面垂直、平行的判定和性 质判断. 质判断.

解析】 【解析 】

根据定理: 根据定理: 两条平行线中的一条垂直

于一个平面, 另一条也垂直于这个平面知, 正 于一个平面 , 另一条也垂直于这个平面知 , B正 确. 【答案】 答案】 B 一要注意定理条件都具备时才能

名师点评】 【名师点评】

得出结论, 得出结论 , 二要会寻找恰当的特殊模型进行筛 选.

变式训练1 (2009年高考浙江卷 设α,β是两个 年高考浙江卷)设 , 是两个 变式训练 年高考浙江卷 不同的平面, 是一条直线 是一条直线, 不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是 ( ) A.若l⊥α,α⊥β,则l ?β . ⊥ , ⊥ , B. l∥α,α∥β, l? B.若l∥α,α∥β,则l? β C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β . ⊥ , ∥ , ⊥ D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β . ∥ , ⊥ , ⊥ 解析: 对于A、 、 均可能出现 均可能出现l∥ , 解析 : 选 C.对于 、 B、 D均可能出现 ∥ β, 故 对于 选C.

直线与平面垂直的判定与性质 证明直线和平面垂直的常用方法有: 证明直线和平面垂直的常用方法有: (1)利用判定定理. 利用判定定理. 利用判定定理 (2)利用平行线垂直于平面的传递性 ∥b, 利用平行线垂直于平面的传递性(a∥ , 利用平行线垂直于平面的传递性 a⊥α?b⊥α). ⊥ ? ⊥ . (3)利用面面平行的性质 ⊥α,α∥β?a⊥β). 利用面面平行的性质(a⊥ , ∥ ? ⊥ . 利用面面平行的性质 (4)利用面面垂直的性质. 利用面面垂直的性质. 利用面面垂直的性质 当直线和平面垂直时, 当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一 直线,常用来证明线线垂直. 直线,常用来证明线线垂直.

(2010 年高考北京卷 节选 如图,正 年高考北京卷(节选 如图, 节选))如图 方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相 垂直, ⊥ , ∥ , = , = 垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB= 2,CE= EF=1.求证:CF⊥平面 BDE. 求证: ⊥ = 求证
例2

【思路点拨】利用线面垂直、线线垂直的判定 思路点拨】利用线面垂直、 与性质可证. 与性质可证. 因为EF∥ , = 【证明】 连接 证明】 连接FG.因为 ∥CG,EF= 因为 CG=1,且CE=1,CE⊥AC, = , = , ⊥ , 所以四边形CEFG为菱形,所以 ⊥EG. 为菱形, 所以四边形 为菱形 所以CF⊥ 因为四边形ABCD为正方形,所以 为正方形, 因为四边形 为正方形 BD⊥AC, ⊥ , 又因为平面ACEF⊥平面 又因为平面 ⊥平面ABCD, ,

且平面ACEF∩平面 且平面 平面ABCD=AC, = , 平面 所以BD⊥平面 所以 ⊥平面ACEF. 又CF?平面 ?平面ACEF, , 所以CF⊥ 所以 ⊥BD. 又BD∩EG=G, = , 所以CF⊥平面BDE. 所以 ⊥平面

【名师点评】 名师点评】

证明空间线面位置关系的基本思

想是转化与化归,根据线面平行、 想是转化与化归,根据线面平行、垂直关系的判 定和性质,进行相互转化, 定和性质,进行相互转化,如本题是证明线面垂 直,要通过证明线线垂直达到证明线面垂直的目 的.解决这类问题时要注意推理严谨,使用定理 解决这类问题时要注意推理严谨, 时找足条件,书写规范等. 时找足条件,书写规范等.

平面与平面垂直的判定和性质 要证面面垂直,一般要转化为线面垂直, 要证面面垂直,一般要转化为线面垂直,即考虑证 明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面, 明一个平面内的一条直线垂直于另一个平面,然后 进一步转化为线线垂直,为此要熟练掌握“线线垂 进一步转化为线线垂直,为此要熟练掌握 线线垂 线面垂直”、 面面垂直 面面垂直”之间的相互转化关 直”、“线面垂直 、“面面垂直 之间的相互转化关 、 线面垂直 特别地,若已知两个平面垂直时, 系.特别地,若已知两个平面垂直时,一般要用性 质定理,将其转化为线面垂直进行应用. 质定理,将其转化为线面垂直进行应用.

如图, 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, - 平面 PAD ⊥平面 ABCD, ∥DC, PAD 是等边三角形, AB∥ , 是等边三角形, , △ 已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. = = , = = (1)设 M 是 PC 上的一点, 上的一点, 设 证明:平面 MBD⊥平面 PAD; 证明: ⊥ ; (2)求四棱锥 P-ABCD 的体积. 的体积. 求四棱锥 -
例3

思路点拨】 【 思路点拨 】 理. (2)

(1)利用面面垂直的判定定 利用面面垂直的判定定

证明: 【解】 (1)证明:在△ABD 中, 证明 ∵AD=4,BD=8,AB=4 5, = , = , = , ∴AD2+BD2=AB2. ∴AD⊥BD. ⊥ 又∵面 PAD⊥面 ABCD,面 PAD∩面 ABCD= ⊥ , ∩ = AD, , BD 面 ABCD, , ∴BD⊥面 PAD. ⊥ 又 BD 面 BDM, ,

∴面 MBD⊥面 PAD. ⊥ (2)过 P 作 PO⊥AD, 过 ⊥ , ∵面 PAD⊥面 ABCD, ⊥ , ∴PO⊥面 ABCD, ⊥ , 的高. 即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高. - 的等边三角形, 又△PAD 是边长为 4 的等边三角形, ∴PO=2 3. = 在底面四边形 ABCD 中,

AB∥DC,AB=2DC, ∥ , = , 为梯形. ∴四边形 ABCD 为梯形. 4×8 × 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 △ = 4 5 8 5 , 5 此即为梯形的高. 此即为梯形的高. 2 5+4 5 8 5 + ∴S 四边形 ABCD= × =24. 2 5 1 ∴VP-ABCD= ×24×2 3=16 3. × = 3

【误区警示】 误区警示】

在(2)中,误认为 为四棱锥的 中 误认为PD为四棱锥的

高,导致体积求错,产生这一错误的原因是空 导致体积求错, 间想象能力不强,思维定势,没有从题目条件 间想象能力不强,思维定势, 出发. 出发.

年高考山东卷)如图 在五棱 如图, 变式训练 2 (2010 年高考山东卷 如图, PA⊥ AB∥ , 锥 P-ABCDE 中, ⊥平面 ABCDE, ∥CD, , AC∥ED,AE∥BC,∠ABC=45°,AB=2 2, ∥ , ∥ , = , = , BC=2AE=4,三角形 PAB 是等腰三角形. = = , 是等腰三角形. (1)求证:平面 PCD⊥平面 PAC; 求证: 求证 ⊥ ; (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小; 所成角的大小; 求直线 (3)求四棱锥 P-ACDE 的体积. 的体积. 求四棱锥

(1)证明 在 证明: 因为∠ 解: 证明: △ABC 中, 因为∠ABC=45°, = , BC=4,AB=2 2, = , = , 所以 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos45°=8, = , 因此 AC=2 2,故 BC2=AC2+AB2, = , 所以∠BAC=90°.所以 AB⊥AC. 所以∠BAC=90°.所以 AB⊥ 又 PA⊥平面 ABCDE,AB∥CD, ⊥ , ∥ , 所以 CD⊥PA,CD⊥AC, ⊥ , ⊥ , 又 PA,AC 平面 PAC,且 PA∩AC=A, , , ∩ = , 所以 CD⊥平面 PAC.又 CD 平面 PCD, ⊥ 又 ,

所以平面 PCD⊥平面 PAC. ⊥ (2)因为△ PAB 是等腰三角形 ,所以 PA=AB= 因为△ 是等腰三角形, 因为 = = 2 2, , 因为 PB= PA2+AB2=4.又 AB∥CD, = 又 ∥ , 所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离. 的距离. PA= 由于 CD⊥平面 PAC, Rt△PAC 中, =2 2, ⊥ , 在 △ , AC=2 2, = , 所以 PC=4, = , 故 PC 边上的高为 2,此即为点 A 到平面 PCD 的 , 距离. 距离. 所以 B 到平面 PCD 的距离为 h=2. =

设直线 PB 到平面 PCD 所成的角为 θ, , h 2 1 则 sinθ=PB= = . = 4 2 π π 又 θ∈[0, ],所以 θ= . ∈ , , = 2 6 (3)因为 AC∥ED,CD⊥AC, 因为 ∥ , ⊥ , 是直角梯形. 所以四边形 ACDE 是直角梯形. 因为 AE=2,∠ABC=45°,AE∥BC, = , = , ∥ , 所以∠ 所以∠BAE=135°,因此∠CAE=45°, = ,因此∠ = , 2 故 CD=AE·sin45°=2× = 2, = = × , 2

2 ED=AC-AE·cos45°=2 2-2× = 2, = - = - × , 2 2+2 2 + 所以 S 四边形 ACDE= × 2=3. = 2 又 PA⊥平面 ABCDE, ⊥ , 1 所以 VP-ACDE= ×3×2 2=2 2. × = 3

二面角的求法 有许多涉及求角与距离的问题可直接利用 来研究, 来研究,并 在研究的基础上比较优劣, 在研究的基础上比较优劣,优化思维程序和解题方 法.对于求二面角通常是求其平面角的大小,而二 对于求二面角通常是求其平面角的大小, 面角的平面角的作法有定义法、垂直法、三垂线呈 面角的平面角的作法有定义法、垂直法、 现法等等. 现法等等.

年高考天津卷 如图, 津卷)如图 例4 (2010 年高考天津卷 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ADEF 是正方形,FA⊥ 是正方形, ⊥ 平面 ABCD,BC∥AD,CD=1,AD=2 2, , ∥ , = , = , ∠BAD=∠CDA=45°. = = (1)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; 所成角的余弦值; 求异面直线 (2)证明:CD⊥平面 ABF; 证明: ⊥ 证明 ; (3)求二面角 B-EF-A 的正切值. 的正切值. 求二面角

思路点拨】 【思路点拨】

(1)由AF∥ED可得∠CED为异 由 ∥ 可得 可得∠ 为异

面直线CE与 所成角 所成角. 面直线 与 AF所成角. 由 Rt△CED中的边角 △ 中的边角 关系可求其大小;(2)利用线面垂直的判定定理 关系可求其大小; 利用线面垂直的判定定理 可证;(3)利用“垂线法 ”, 即在平面 利用“ 可证 ; 利用 垂线法” 即在平面ABCD内 内 的垂线, 的垂线, 作 AD的垂线, 过垂足作棱 的垂线 , 连结可 的垂线 过垂足作棱EF的垂线 得二面角的平面角. 得二面角的平面角.

是正方形, 【解】 (1)因为四边形 ADEF 是正方形,所以 因为四边形 FA∥ED.故∠CED 为异面直线 CE 与 AF 所成的 ∥ 故 角. 因为 FA⊥平面 ABCD,所以 FA⊥CD,故 ED⊥ ⊥ , ⊥ , ⊥ CD. 在 Rt △ CDE 中 , CD = 1 , ED= 2 2 , CE = = ED 2 2 2 2 CD +ED =3,故 cos∠CED= = . , ∠ =CE 3 2 2 . 所以异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值为 3

(2)证明:如图,过点 B 作 BG∥CD,交 AD 于 证明:如图, 证明 ∥ , 点 G, ∠BGA=∠CDA=45°.由∠BAD=45°, , 则 = = 由 = , 可得 BG⊥ AB. 从而 CD⊥ AB.又 CD ⊥ FA , ⊥ ⊥ 又 FA∩AB=A,所以 CD⊥平面 ABF. ∩ = , ⊥ (3)由(2)及已知,可得 AG= 2,即 G 为 AD 的 及已知, 由 及已知 = , 中点. 中点. 取 EF 的中点 N,连结 GN,则 GN⊥EF. , , ⊥ 因为 BC∥AD,所以 BC∥EF. ∥ , ∥ 过点 N 作 NM⊥EF,交 BC 于点 M, ⊥ , , 的平面角. 则∠GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角.

连结 GM,可得 AD⊥平面 GNM,故 AD⊥GM. , ⊥ , ⊥ 从而 BC⊥GM. ⊥ 2 由已知, 由已知,可得 GM= .由 NG∥FA,FA⊥GM, = 由 ∥ , ⊥ , 2 得 NG⊥GM. ⊥ GM 1 在 Rt△NGM 中,tan∠GNM= NG = . △ ∠ = 4 1 所以二面角 B-EF-A 的正切值为 . 4

【规律小结】 确定二面角平面角的方法: 规律小结】 确定二面角平面角的方法: (1)定义法 : 在二面角的棱上找一特殊点 , 在两个 定义法: 定义法 在二面角的棱上找一特殊点, 半平面内分别作垂直于棱的射线. 半平面内分别作垂直于棱的射线. (2)垂面法 : 过棱上一点作与棱垂直的平面 , 该平 垂面法: 垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面, 面与二面角的两个半平面产生交线, 面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所 成的角,即为二面角的平面角. 成的角,即为二面角的平面角. (3)垂线法 : 过二面角的一个面内一点作另一个平 垂线法: 垂线法 面的垂线,过垂足作棱的垂线, 面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找 到二面角的平面角或其补角, 到二面角的平面角或其补角,此种方法通用于求二 面角的所有题目, 具体步骤为: 一找, 二证, 面角的所有题目 , 具体步骤为 : 一找 , 二证 , 三 求.

方法感悟 方法技巧 1.在解决直线与平面垂直问题过程中,要注意直 .在解决直线与平面垂直问题过程中, 线与平面垂直的定义, 线与平面垂直的定义 , 判定定理和性质定理的联 合交替使用, 合交替使用 , 即注意线线垂直和线面垂直的互相 转化. 如例 如例2) 转化.(如例 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依 . 我们要作一个平面的一条垂线, 据 . 我们要作一个平面的一条垂线 , 通常是先找 这个平面的一个垂面, 在这个垂面中, 这个平面的一个垂面 , 在这个垂面中 , 作交线的 垂线即可. 如例 如例3) 垂线即可.(如例

3.(1)对于二面角问题多数情况下要作出二面角的 . 对于二面角问题多数情况下要作出二面角的 平面角并加以论证和计算,同时要注意二面角平 平面角并加以论证和计算, 面角所在的平面与二面角的棱及两个面都是互相 垂直的. 垂直的. (2)二面角平面角的作法大致可根据定义作;可用 二面角平面角的作法大致可根据定义作; 二面角平面角的作法大致可根据定义作 垂直于二面角棱的平面去截二面角, 垂直于二面角棱的平面去截二面角,此平面与二 面角的两个半平面的交线所成的角即为二面角的 平面角;也可首先确定二面角一个面的垂线, 平面角;也可首先确定二面角一个面的垂线,由 三垂线定理和三垂线定理的逆定理, 三垂线定理和三垂线定理的逆定理,作出二面角 的平面角,对于这种方法应引起足够的重视. 的平面角,对于这种方法应引起足够的重视.

(3)对于直线和平面所成的角及二面角大小的计 对于直线和平面所成的角及二面角大小的计 算都与平面的垂线有关, 算都与平面的垂线有关,平面的垂线是立体几 何中最重要的辅助线之一, 何中最重要的辅助线之一,而平面与平面垂直 的性质定理也是最重要的作图理论依据. 如例 如例3) 的性质定理也是最重要的作图理论依据.(如例

失误防范 1.直线和平面垂直 . (1)判定定理可以简单地记为 线线垂直?线面垂直 判定定理可以简单地记为“线线垂直 判定定理可以简单地记为 线线垂直? ”,定理中的关键词语是 平面内两条相交直线 和 平面内两条相交直线”和 ,定理中的关键词语是“平面内两条相交直线 “都垂直 .证题时常常是定义和判定定理反复使 都垂直”. 都垂直 用,使线线垂直与线面垂直的关系相互转化. 使线线垂直与线面垂直的关系相互转化. (2)直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线 直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线 平行的判定定理,可以并入平行推导链中, 平行的判定定理,可以并入平行推导链中,实现 平行与垂直的相互转化,即线⊥ 平行与垂直的相互转化,即线⊥线?线⊥面?线 ∥线?线∥面.

2.垂直关系的转化 .

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线,若这样的直线图中不存在, 找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则 可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时, 可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一 般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线, 般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线, 使之转化为线面垂直, 使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线 垂直.故熟练掌握“线线垂直 线线垂直”、 面面垂直 面面垂直”间 垂直.故熟练掌握 线线垂直 、“面面垂直 间 的转化条件是解决这类问题的关键. 的转化条件是解决这类问题的关键.

考向瞭望? 考向瞭望?把脉高考

考情分析 垂直关系是每年高考必考的知识点之一, 垂直关系是每年高考必考的知识点之一,考查重点 是线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质, 是线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质, 以及线面角、二面角的求法.题型既有选择题、 以及线面角、二面角的求法.题型既有选择题、填 空题,又有解答题,难度中等偏高,客观题突出“小 空题,又有解答题,难度中等偏高,客观题突出 小 而巧”,主要考查垂直的判定及性质,考查线面角、 而巧 ,主要考查垂直的判定及性质,考查线面角、 二面角的求法,主观题考查较全面, 二面角的求法,主观题考查较全面,在考查上述知 识的同时,还注重考查空间想象能力、 识的同时,还注重考查空间想象能力、逻辑推理能 力以及分析问题、解决问题的能力. 力以及分析问题、解决问题的能力.

预测2012年高考仍将以线面垂直、面面垂直、 年高考仍将以线面垂直、面面垂直、 预测 年高考仍将以线面垂直 线面角、二面角为主要考点, 线面角、二面角为主要考点,重点考查学生的 空间想象能力以及逻辑推理能力. 空间想象能力以及逻辑推理能力.

真题透析

(本题满分 12 分)(2009 年高考天津卷 如图 本题满分 年高考天津卷)如图 所示, 所示,在五面体 ABCDEF 中,FA⊥平面 ABCD, ⊥ , AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M 为 EC 的中点,AF= 的中点, = ∥ ∥ , ⊥ , 1 AB=BC=FE= AD. = = = 2 (1)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小; 所成的角的大小; 求异面直线 (2)证明:平面 AMD⊥平面 CDE; 证明: 证明 ⊥ ; (3)求二面角 A-CD-E 的余弦值. 的余弦值. 求二面角


由题设知, 所以∠ 【解】 (1)由题设知, ∥CE, 由题设知 BF∥ , 所以∠CED(或 或 其补角)为异面直线 所成的角.1 其补角 为异面直线 BF 与 DE 所成的角 分 如图所示,设 P 为 AD 的中点,连接 EP,PC. 如图所示, 的中点, , 同理, 因为 FE 綊 AP,所以 FA 綊 EP.同理,AB 綊 , 同理 PC.又 FA⊥ PC.又 FA⊥平面 ABCD, ABCD, EP⊥ 所以 EP⊥平面 ABCD. 而 PC,AD 都在平面 ABCD 内,故 EP⊥PC, , ⊥ , EP⊥AD.由 AB⊥AD,可得 PC⊥AD.3 分 ⊥ 由 ⊥ , ⊥ CD= = 设 FA=a, EP=PC=PD=a, =DE=EC = , 则 = = = , = 2a.故∠CED=60°. 故 =

所以异面直线BF与 所成的角的大小为 所成的角的大小为60° 所以异面直线 与DE所成的角的大小为 °.4 分 (2)证明:因为 =DE且M为CE的中点,所以 证明: 的中点, 证明 因为DC= 且 为 的中点 DM⊥CE.连接 连接MP,则MP⊥CE.又MP∩DM=M, ⊥ 连接 , ⊥ 又 = , 故CE⊥平面 ⊥平面AMD.而CE? 平面 而 ? 平面CDE, , 所以平面AMD⊥平面 所以平面 ⊥平面CDE.7分 分 (3)设Q为CD的中点,连接 ,EQ.因为 =DE, 的中点, 因为CE= , 设 为 的中点 连接PQ, 因为 所以EQ⊥ 因为PC= ,所以PQ⊥ , 所以 ⊥CD.因为 =PD,所以 ⊥CD,故 因为 为二面角A-CD-E的平面角 分 的平面角.10分 ∠EQP为二面角 为二面角 的平面角

6 2 可得, ⊥ , = 由(1)可得,EP⊥PQ,EQ= a,PQ= a. 可得 , = 2 2 3 PQ 于是在 Rt△EPQ 中,cos∠EQP=EQ= . △ ∠ = 3 3 所以二面角 A-CD-E 的余弦值为 .12 分 3

【名师点评】(1)本题的图形既可以看做是从长方体 名师点评】 本题的图形既可以看做是从长方体 中截取的一个图形, 中截取的一个图形,也可以看做是一个直三棱柱和 一个三棱锥组合起来的图形, 一个三棱锥组合起来的图形,无论是截取的图形还 是组合的图形,都是教材上最基本的空间图形, 是组合的图形,都是教材上最基本的空间图形,可 以说本题是对教材基本图形进行改造加工, 以说本题是对教材基本图形进行改造加工,把教材 上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题. 上不同部分的主要问题组合起来命制的一道试题. (2)解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是 割补 解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是“割补 解决立体几何问题的一个很重要的技巧就是 ”,这个技巧不但在求空间几何体体积时有用,在解 ,这个技巧不但在求空间几何体体积时有用, 决其他问题时仍然有重要作用, 决其他问题时仍然有重要作用,如本题把图形放到 一个长方体中, 一个长方体中,就会发现这个长方体实际上又是由 两个正方体拼接而成,放到这个长方体中去看, 两个正方体拼接而成,放到这个长方体中去看,所 有要解决的问题几乎都是明显的结论. 有要解决的问题几乎都是明显的结论.

(3)证明面面垂直常用的 种方法 证明面面垂直常用的2种方法 证明面面垂直常用的 一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直来 证明, 证明,即证明其中一个平面经过另一个平面的一 条垂线,可以先找到其中一个平面的一条垂线, 条垂线,可以先找到其中一个平面的一条垂线, 再证明这条垂线在另一个平面内或与另一个平面 的一条垂线垂直; 的一条垂线垂直;二是利用定义转化为证明二面 角的平面角为直角,可先作出二面角的平面角, 角的平面角为直角,可先作出二面角的平面角, 再由条件证明这个平面角是直角即可, 再由条件证明这个平面角是直角即可,虽说这种 证法较为特殊,即通过计算,证明其为直角, 证法较为特殊,即通过计算,证明其为直角,但 这也是立体几何中证明问题的一种重要方法. 这也是立体几何中证明问题的一种重要方法.

名师预测 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,∠BCA=90°,AC 已知斜三棱柱 = ° 上的射影恰为AC的中 =BC=2,A1在底面 = , 在底面ABC上的射影恰为 的中 上的射影恰为 点D,又知 1⊥AC1. ,又知BA (1)求证:AC1⊥平面 1BC; 求证: 平面A 求证 ; (2)求CC1到平面 1AB的距离; 到平面A 的距离; 求 的距离 (3)求二面角 求二面角A-A1B-C的正弦值. 的正弦值. 求二面角 的正弦值

解:(1)∵A1D⊥平面 ∵ ⊥平面ABC, , 平面AA ∴平面 1C1C⊥平面 ⊥平面ABC. 又BC⊥AC, ⊥ , ∴BC⊥平面 1C1C,得BC⊥AC1, ⊥平面AA , ⊥ 又BA1⊥AC1,BC∩BA1=B, , 平面A ∴AC1⊥平面 1BC. (2)∵AC1⊥A1C, , ∵ 四边形AA 为菱形, ∴四边形 1C1C为菱形, 为菱形

故 AA1=AC=2, = , 中点, 又 D 为 AC 中点, ∴∠A ∴∠ 1AC=60°. = 取 AA1 的中点 F, , 则 AA1⊥平面 BCF, , 从而面 A1AB⊥面 BCF, ⊥ , 过 C 作 CH⊥BF 于 H, ⊥ , 则 CH⊥面 A1AB, ⊥ , 在 Rt△BCF 中,BC=2,CF= 3, △ = , = , 2 21 故 CH= = , 7

2 21 . 即 CC1 到平面 A1AB 的距离为 CH= = 7

(3)过 H 作 HG⊥A1B 于 G,连接 CG,则 CG⊥A1B, 过 ⊥ , , ⊥ , 从而∠ 的平面角, 从而∠CGH 为二面角 A-A1B-C 的平面角, 在 Rt△A1BC 中,A1C=BC=2, △ = = , ∴CG= 2, = , 在 Rt△CGH 中, △

42 CH sin∠CGH= = ∠ = CG , 7 42 . 故二面角 A-A1B-C 的正弦值为 arcsin 7


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