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2019年高中数学·圆锥曲线题库200题(下篇)

2019 年上海高中数学·平面解析几何题库(下篇) 1、如图,A,B,C 是椭圆 M: x a 2 2 ? y2 b2 ? 1(a ?b ? 0) 上的三点,其中点 A 是椭圆的右顶点,BC 过椭圆 M 的中心,且满足 AC⊥BC,BC=2AC. (1)求椭圆的离心率; y B (2)若 y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为 9,求椭圆方程. 【解析】: (1)因为 BC 过椭圆 M 的中心,所以 BC ? 2OC ? 2OB . A O x C 又 AC ? BC , BC ? 2AC ,所以 ?OAC 是以角 C 为直角的等腰直角三角形, 则 A(a, 0) , C( a , ? a ) , B(? a , a ) , AB ? 10 a , 22 22 2 (a)2 (? a)2 所以 2 ? a2 2 b2 ? 1,则 a2 ? 3b2 ,所以 c2 ? 2b2 , e ? 6; 3 (2) ?ABC 的外接圆圆心为 AB 中点 P( a , a ) ,半径为 10 a , 44 4 则 ?ABC 的外接圆为 (x ? a )2 ? ( y ? a )2 ? 5 a2 . 4 48 令 x ? 0 , y ? a 或 y ? ? a ,所以 a ? (? a) ? 9 ,得 a ? 6 , 2 2 所以所求的椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 36 12 -1- 2、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : x2 a2 ? y2 b2 ? 1(a ? b ? 0) 的右准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶 点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为 2 5 . 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P , 当 B , F , P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率. 【解析】:(1)直线 l 的方程为 y ? 2(x ? a) ,即 2x ? y ? 2a ? 0, ?右焦点 F 到直线 l 的距离为 2c ? 2a ? 2 5 ,?a ? c ?1. 5 5 y B · OF l Ax P 第 17 题图 又椭圆 C 右准线为 x ? 4 ,即 a2 ? 4 ,所以 c ? a2 , c 4 将此代入上式解得 a ? 2 , c ? 1,?b2 ? 3 ,?椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1;……………6 分 43 (2)由(1)知 B(0, 3) , F(1, 0) ,?直线 BF 的方程为 y ? ? 3(x ?1) .由题 A(2, 0) ,显然直线 l 的 斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k (x ? 2) ,联立方程组 ?? ? y ? ? ? ?x ? 2k ? 3(x ? 1), 解得 ? ? k? 3, 3 代入椭圆方 ?? y ? k(x ? 2), ? ?? y ? ? k? 3k 3 , 程解得 k ? 3 3 或 k ? ? 3 .又由题意知 y ? ? 3k ? 0 ,得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 3 3 . 2 2 k? 3 2 ? y ? k(x ? 2), 方法三:由题 A(2, 0) ,显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k (x ? 2) ,联立方程组 ? ? x2 ?? 4 ? y2 3 ? 1, ? ? 得 4k2 ? 3 x2 ?16k2x ?16k2 ?12 ? 0, xA ? xP ? 16k 2 4k 2 ? 3 , 所以 xP ? 16k 2 4k 2 ? 3 ? 2 ? 8k 2 4k 2 ?6 ?3 , yP ? ?12k 4k 2 ? 3 .当 B , F , P 三点共线时,有 kBP ? kBF , 即 ?12k 4k 2 ? 3 ? 8k 2 ? 6 3 ? ? 3 ,解得 k ? 3 3 或 k ? ? 1 2 3 .又由题意知 y ? ? 3k ? 0 ,得 k ? 0 或 k ? ? 2 k? 3 3, 4k 2 ? 3 所以 k ? 3 3 . 2 -2- 3、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: x2 a2 ? y2 b2 ?1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 ,且过点 (1, 2 6 ) ,过椭 2 圆的左顶 点 A 作直线 l ? x 轴,点 M 为直线 l 上的动点,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证: AP ? OM ; (3)试问 OP ? OM 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由. 【解析】:(1)∵椭圆 C: x2 a2 ? y2 b2 ?1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2, 2 ∴ a2 ? 2c2 ,则 a2 ? 2b2 ,又椭圆 C 过点 (1, 6 ) ,∴ 1 2 a2 3 ? 2b2 ?1.…………2 分 ∴ a2 ? 4 , b2 ? 2 ,则椭圆 C 的方程 x2 ? y2 ? 1 . 42 (2)设直线 BM 的斜率为 k,则直线 BM 的方程为 y ? k(x ? 2) ,设 P(x1, y1) , 将 y ? k(x ? 2) 代入椭圆 C 的方程 x2 ? y2 ? 1 中并化简得: (2k2 ?1)x2 ? 4k2 x ? 8k2 ? 4 ? 0 ……6 分 42 解之得 x1 ? 4k 2 2

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