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2019年高中数学·圆锥曲线题库200题(下篇)

2019 年上海高中数学·平面解析几何题库(下篇) x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的三点,其中点 A 是椭圆的右顶点,BC 过椭圆 a 2 b2 y B A O C x 1、如图,A,B,C 是椭圆 M: M 的中心,且满足 AC⊥BC,BC=2AC. (1)求椭圆的离心率; (2)若 y 轴被△ABC 的外接圆所截得弦长为 9,求椭圆方程. 【解析】 : (1)因为 BC 过椭圆 M 的中心,所以 BC ? 2OC ? 2OB . 又 AC ? BC , BC ? 2 AC ,所以 ?OAC 是以角 C 为直角的等腰直角三角形, 则 A(a, 0) , C ( , ? ) , B ( ? a 2 a 2 a a 10 , ) , AB ? a, 2 2 2 a a ( ) 2 (? ) 2 2 ? 1,则 a 2 ? 3b2 ,所以 c 2 ? 2b2 , e ? 6 ; 所以 22 ? 3 a b2 (2) ?ABC 的外接圆圆心为 AB 中点 P ( , ) ,半径为 则 ?ABC 的外接圆为 ( x ? ) ? ( y ? ) ? a a 4 4 10 a, 4 a 2 a 2 5 2 a . 4 4 8 a a 令 x ? 0 , y ? a 或 y ? ? ,所以 a ? (? ) ? 9 ,得 a ? 6 , 2 2 2 2 x y ? ?1 所以所求的椭圆方程为 36 12 -1- x2 y 2 2、在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶 a b 点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2 的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P , 当 B , F , P 三点共线时,试确定直线 l 的斜率. 【解析】 : (1)直线 l 的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 , O 2 5 . 5 y B l · F P A x ? 右焦点 F 到直线 l 的距离为 2c ? 2a 5 ? 2 5 ,? a ? c ? 1 . 5 第 17 题图 又椭圆 C 右准线为 x ? 4 ,即 a2 a2 ? 4 ,所以 c ? , c 4 x2 y 2 ? ? 1 ;……………6 分 4 3 2 将此代入上式解得 a ? 2 , c ? 1 ,? b ? 3 ,? 椭圆 C 的方程为 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) ,? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) .由题 A(2, 0) ,显然直线 l 的 ? 2k ? 3 , ?x ? ? k? 3 ? y ? ? 3( x ? 1), ? 斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立方程组 ? 解得 ? 代入椭圆方 ? ? y ? k ( x ? 2), ? y ? ? 3k , ? k? 3 ? 程解得 k ? 3 3 3 3 3 ? 3k 或k ? ? .又由题意知 y ? . ? 0 ,得 k ? 0 或 k ? ? 3 ,所以 k ? 2 2 2 k? 3 ? y ? k ( x ? 2), ? 方法三: 由题 A(2, 0) , 显然直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 联立方程组 ? x 2 y2 ? ? 1, ? 3 ?4 2 2 2 2 得 4k ? 3 x ? 16k x ? 16k ? 12 ? 0 , xA ? xP ? ? ? 16k 2 , 4k 2 ? 3 所以 xP ? ?12k 16k 2 8k 2 ? 6 ? 2 ? , yP ? .当 B , F , P 三点共线时,有 kBP ? kBF , 2 2 4k 2 ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ?12k ? 3 2 3 3 3 ? 3 ? 3k 即 4k ?23 , 解得 k ? 或k ? ? . 又由题意知 y ? 得k ? 0或k ? ? 3, ? ? 0, 8k ? 6 2 2 1 k? 3 4k 2 ? 3 所以 k ? 3 3 . 2 -2- 3、在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 圆的左顶 2 6 x2 y 2 ) ,过椭 ,且过点 (1, ? ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a 2 b2 点 A 作直线 l ? x 轴,点 M 为直线 l 上的动点,点 B 为椭圆右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证: AP ? OM ; (3)试问 OP ? OM 是否为定值?若是定值,请求出该定值;若不是定值,请说明理由. 2 x2 y 2 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 6 1 3 ) ,∴ 2 ? 2 ? 1 .…………2 分 ∴ a2 ? 2c2 ,则 a2 ? 2b2 ,又椭圆 C 过点 (1, 2 a 2b x2 y 2 ∴ a 2 ? 4 , b 2 ? 2 ,则椭圆 C 的方程 ? ?1. 4 2 【解析】 : (1)∵椭圆 C: (2)设直线 BM 的斜率为 k,则直线 BM 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P( x1 , y1 ) , 将 y ? k ( x ? 2) 代入椭圆 C 的方程 解之得 x1 ? x2 y 2 ? ? 1 中并化简得: (2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 ……6 分 4 2 4k 2 ? 2 , x2 ? 2 , 2k 2 ? 1 ∴ y1 ? k ( x1 ? 2) ? 4k 2 ? 2 ?4k ?4k ,

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