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高三数学一轮基础巩固 第11章 第2节 复数的概念与运算(含解析)新人教B版


【走向高考】2016 届 高三数学一轮基础巩固 第 11 章 第 2 节 复数 的概念与运算 新人教 B 版

一、选择题 1+ai 1.(文)(2014· 唐山市二模)已知 a∈R,若 为实数,则 a=( 2-i A.2 B. -2 1 1 C.-2 D.2 [答案] D [解析] 1+ai = 2-i 1+ai 5 2+i = 2-a + 1+2a i 1 ,由已知得 1 + 2a = 0 ,∴ a =- 5 2. ) )

1-i (理)(2013· 郑州模拟)设 i 是虚数单位,若复数 为实数,则实数 a 为( 2-ai A.2 1 C.-2 [答案] A 1-i [解析] ∵a∈R, = 2-ai = 1-i 2-ai 2+ai 2+ai B.-2 1 D.2

2+a + a-2 i ∈R,∴a=2. 4+a2 )

2.(2014· 唐山市一模)设(2+i) z =3+4i,则 z=( A.1+2i C.2+i [答案] D B.1-2i D.2-i 3+4i 2+i

3+4i [解析] ∵ z = = 2+i ∴z=2-i.

2-i 10+5i = 5 =2+i, 2-i

1 3 3.(文)(2014· 东北三省三校二模)已知复数 z=-2+ 2 i,则 z +|z|=( 1 3 1 3 A.-2- 2 i B.-2+ 2 i 1 3 1 3 C.2+ 2 i D.2- 2 i [答案] D 1 3 1 3 [解析] ∵z=-2+ 2 i,∴ z =-2- 2 i,|z|=1, 1 3 ∴ z +|z|=2- 2 i.

)

-1-

(理)(2014· 郑州质检)若复数 z 满足(2-i)z=|1+2i|,则 z 的虚部为( 5 A. 5 C.1 [答案] A 5 B. 5 i D.i

)

5 2+i 5 2 5 5 5 [解析] ∵(2-i)z=|1+2i|= 5,∴z= = = + i ,∴复数 z 的虚部为 5 5 5 5. 2-i 1+i 2 1 4.(2013· 长沙模拟)已知集合 M={i,i2, i , },i 是虚数单位,Z 为整数集,则集合 Z i ∩M 中的元素个数是( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 [答案] B [解析] 由已知得 M={i,-1,-i,2},Z 为整数集, ∴Z∩M={-1,2},即集合 Z∩M 中有 2 个元素. 3-i 5.(2014· 豫东、豫北十所名校段测)已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 zi=( )2,则复数 z 的共 1+i 轭复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] C [解析] C. 6.若 z=cosθ+isinθ(i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 θ 值可能是( π π A.6 B.4 π π C.3 D.2 [答案] D
?cos2θ=-1 ? [解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴? . ? ?sin2θ=0

zi=(

3-i )2= 1+i

3-i 2 8-6i 8-6i 8-6i = 2i ,∴z= 2i2 = =-4+3i,∴ z =-4-3i,故选 1+i 2 -2 )

∴2θ=2kπ+π (k∈Z), π ∴θ=kπ+2.令 k=0 知,D 正确. 二、填空题 7.(文)在复平面内,z=cos10+isin10 的对应点在第______象限. [答案] 三 7π [解析] ∵3π<10< 2 ,∴cos10<0,sin10<0, ∴z 的对应点在第三象限. (理)一个正四面体玩具,它的四个面上标有数字-1,0,1,2,连续抛掷两次,记第一次向下的面 上数字为 a,第二次向下的面上数字为 b,设复数 z=a+bi,则 z 的对应点在第二象限的概率
-2-

为________. 1 [答案] 8 [解析] 若 z=a+bi 的对应点在第二象限,则 a<0,b>0,这样的点有 2 个,即(-1,1),(-1,2), 2 1 ∴所求概率为 P=4×4=8. 8.(2014· 黑龙江佳木斯第一中学调研)已知 i 为虚数单位,若 ________. [答案] 3 [解析] a+bi=(2+i)(1+i)=1+3i, ∵a、b∈R,∴a=1,b=3,∴ab=3. z+2 9.(2014· 江苏东海二中调研)已知 z 是纯虚数, 是实数(i 是虚数单位),那么 z=________. 1 -i [答案] -2i z+2 bi+2 [解析] 令 z=bi(b∈R 且 b≠0), = = 1-i 1-i 所以 b=-2,z=-2i. 三、解答题 a2-7a+6 10. (2013· 青岛调研)已知复数 z= +(a2-5a-6)i(a∈R), 试求实数 a 分别取什么值时, a2-1 z 分别为: (1)实数;(2)纯虚数. [解析] (1)当 z 为实数时,则有
?a2-5a-6=0, ? ? ?a2-1≠0. ? ? ?a=-1或a=6 ?a≠±1. ?

a+bi =2+i(a,b∈R),则 ab= 1+i

bi+2 1-i

1+i 2-b+ 2+b i = 是实数, 2 1+i

∴?

∴a=6,即 a=6 时,z 为实数.

a2-5a-6≠0, ? ? (2)当 z 为纯虚数时,则有?a2-7a+6 =0. ? ? a2-1
?a≠-1且a≠6 ? ∴? ?a=6且a≠±1. ?

∴不存在实数 a 使 z 为纯虚数.

一、选择题 1 3 π π 11.(2014· 山西大学附中月考)设复数 ω1=-2+ 2 i,ω2=cos12+isin12 ,若 z=ω1·ω2,则 复数 z 的虚部为( )
-3-

1 1 A.-2 B.2 2 2 C.- 2 D. 2 [答案] D 2+ 6 6- 2 2+ 6 6- 2 π π 1 3 [解析] 解法 1:cos12= , sin = ,∴ ω1·ω2 = ( - + i)· ( + 4 12 4 2 2 4 4 i)=- 6+ 2 6- 2 3 2+ 6 3 2- 6 2 2 2 - i+ i- =- 2 + 2 i,∴复数 ω1·ω2 的虚部为 2 . 8 8 8 8

解法 2: 若 z1=cosα+isinα, z2=cosβ+isinβ, 则 z1z2=cosαcosβ-sinαsinβ+i(sinαcosβ+cosαsinβ) =cos(α+β)+isin(α+β). 1 3 2π 2π π π ∵ω1=-2+ 2 i=cos 3 +isin 3 ,ω2=cos12+isin12, 2π π 2π π ∴z=ω1ω2=cos( 3 +12)+isin( 3 +12) 3π 3π 2 2 2 =cos 4 +isin 4 =- 2 + 2 i,∴z 的虚部为 2 . - 12.已知复数 z1=cosα+isinα,z2=sinβ+icosβ,(α,β∈R),复数 z=z1·z 2 的对应点在第二 象限,则角 α+β 所在象限为( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [答案] C [解析] ∵z=(cosα+isinα)·(sinβ-icosβ)=sin(α+β)-icos(α+β)的对应点在第二象限,
?sin α+β <0 ? ∴? ,∴角 α+β 的终边在第三象限. ?-cos α+β >0 ?

13.(2014· 豫东、豫北十所名校阶段测试)设 i 为虚数单位,复数 z 的共轭复数为 z ,且( z - 1)(1+i)=2i,则复数 z 的模为( A.5 B. 5 C.2-i D.1 [答案] B [解析] 2i 2i 1-i z -1= = =i+1,∴ z =2+i,∴z=2-i,∴|z|= 5. 2 1+i )

14.(2014· 北京大兴期末)已知复数 z 对应的向量如图所示,则复数 z+1 所对应的向量正确的 是( )

-4-

[答案] A [解析] 由题图可知 z=-2+i, 所以 z+1=-1+i, 则复数 z+1 所对应的向量的坐标为(-1,1), 故 A 正确. 二、填空题 15.(2014· 武汉调研)若复数 z=(m2-7m+15)+(m2-5m+3)i(m∈R,i 为虚数单位)在复平面 内对应的点位于直线 y=-x 上,则 m=________. [答案] 3 [解析] 复数 z 在复平面内对应的点是(m2-7m+15,m2-5m+3),则 m2-5m+3=-(m2 -7m+15),解得 m=3. 5 16.关于 x 的不等式 mx2-nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为区间(-3,2),则复数 m+ni 所对 应的点位于复平面内的第________象限. [答案] 三 5 [解析] ∵mx2-nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(-3,2),

? ∴? ?

m<0, 5 n -3 +2=m>0, 5 p -3 ×2=m<0. ∵m<0,∴p>0,n<0.

故复数 m+ni 所对应的点位于复平面内的第三象限. 三、解答题 1 17.设 z 是虚数,ω=z+ z 是实数,且-1<ω<2. (1)求 z 的实部的取值范围; 1-z (2)设 u= ,那么 u 是不是纯虚数?并说明理由. 1+z [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R,b≠0), a ? ? b ? 1 ? ω=a+bi+ = a+a2+b2 + b-a2+b2 i, a+bi ? ? ? ? b ∵ω 是实数,∴b- =0. a2+b2 又 b≠0,∴a2+b2=1,ω=2a. 1 ∵-1<ω<2,∴-2<a<1,

? 1 ? 即 z 的实部的取值范围是 -2,1 . ? ?

-5-

1-z 1-a-bi 1-a2-b2-2bi b (2)u= = = =- i, 1+z 1+a+bi 1+a 2+b2 a+1 1 ∵-2<a<1,b≠0,∴u 是纯虚数. 18.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次 出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b. (1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率; a-b+2≥0 ? ? (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4 表示的平面区域内(含边界)的概率. ? ?b≥0 [解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位),z-3i 为实数,则 a+bi-3i=a+(b-3)i 为实数,则 b=3. 1 依题意得 b 的可能取值为 1,2,3,4,5,6,故 b=3 的概率为6. 1 即事件“z-3i 为实数”的概率为6. (2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表: 1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果.

不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界). 由图知,点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、 (3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共 18 种. 18 1 所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P=36=2.

-6-


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