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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习:2.4.3直线与抛物线的位置关系]

第二章

2.4

第 3 课时

一、选择题 1. 直线 y=kx-2 交抛物线 y2=8x 于 A、 B 两点, 若 AB 中点的横坐标为 2, 则 k=( A.2 或-2 C.2 [答案] C [解析] 则
?y2=8x ? 由? 得 k2x2-4(k+2)x+4=0, ?y=kx-2 ?

)

B.-1 D.3

4?k+2? =4,即 k=2. k2 )

1 2.抛物线 y= x2 的焦点关于直线 x-y-1=0 的对称点的坐标是( 4 A.(2,-1) 1 1 C.( ,- ) 4 4 [答案] A B.(1,-1) 1 1 D.( ,- ) 16 16

1 [解析] y= x2?x2=4y,焦点为(0,1),其关于 x-y-1=0 的对称点为(2,-1). 4 → → 3.过抛物线 y2=4x 的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点 O 为坐标原点,则OA· OB的值 是( ) A.12 C.3 [答案] D
2 2 2 y2 y2 y2 → y1 → y2 → → y1 1 2 2 [解析] 设 A( ,y1),B( ,y2),则OA=( ,y1),OB=( ,y2),则OA· OB=( ,y1)· ( , 4 4 4 4 4 4

B.-12 D.-3

y2)=

2 2 y1 y2 +y1y2,又∵AB 过焦点,则有 y1y2=-p2=-4, 16

2 ?-4?2 → → ?y1y2? ∴OA· OB= +y1y2= -4=-3,故选 D. 16 16

4.过抛物线 y2=4x 的焦点,作一条直线与抛物线交于 A、B 两点,它们的横坐标之和 等于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条 ) B.有且仅有两条

C.有无穷多条 [答案] B

D.不存在

[解析] 由定义|AB|=5+2=7, ∵|AB|min=4,∴这样的直线有两条. 5.已知 AB 是过抛物线 2x2=y 的焦点的弦,若|AB|=4,则 AB 的中点的纵坐标是( A.1 5 C. 8 [答案] D [解析] 如图所示,设 AB 的中点为 P(x0,y0),分别过 A,P,B 三点作准线 l 的垂线, 垂足分别为 A′,Q,B′,由题意得|AA′|+|BB′|=|AB|=4,|PQ|= 1 1 15 |PQ|=y0+ ,∴y0+ =2,∴y0= . 8 8 8 |AA′|+|BB′| =2,又 2 B.2 15 D. 8 )

→ → → 6.设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0, → → → 则|FA|+|FB|+|FC|等于( A.9 C.4 [答案] B [解析] 设 A、B、C 三点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3).由题意知 F(1,0),因 → → → → → → 为FA+FB+FC=0,所以 x1+x2+x3=3.根据抛物线定义,有|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1 +x3+1=3+3=6.故选 B. 二、填空题 7.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 m 时,量得水面宽 8 m,当水面升高 1 米后, 水面宽度是________m. [答案] 4 2 [解析] 设抛物线拱桥的方程为 x2=-2py,当顶点距水面 2 m 时,量得水面宽 8 m, 即抛物线过点(4,-2)代入方程得 16=4p, ∴p=4,则抛物线方程是 x2=-8y, 水面升高 1 m 时,即 y=-1 时,x=± 2 2. 则水面宽为 4 2m. ) B.6 D.3

8.(2014· 吉林省吉林市二模)已知点 F 为抛物线 y2=-8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛 物线准线上一动点, A 在抛物线上, 且|AF|=4, 则|PA|+|PO|的最小值是__________________. [答案] 2 13 [解析] 由|AF|=4 及抛物线定义得 A 到准线的距离为 4. ∴A 点横坐标为-2,∴A(-2,4). 又原点关于准线的对称点的坐标为 B(4,0), 所以|PA|+|PO|的最小值为:|AB|= 36+16 =2 13. 三、解答题 9.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上且 BC∥x 轴,证明直线 AC 经过原点 O. p [解析] 因为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F( ,0), 2

p 所以经过点 F 的直线 AB 的方程设为:x=my+ 代入抛物线方程得:y2-2pmy-p2=0 2 若记 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1、y2 是该方程的两个根,所以 y1y2=-p2 p 因为 BC∥x 轴,且点 C 在准线 x=- 上, 2 p 所以点 C 的坐标为(- ,y2), 2 y2 2p y1 故直线 CO 的斜率为:k= = = , p y1 x1 - 2 即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点. 10.已知抛物线 y2=-x 与直线 y=k(x+1)相交于 A,B 两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB 的面积等于 10时,求 k 的值. [解析]
?y2=-x ? (1)如图所示,由? 消去 x 得,ky2+y-k=0. ?y=k?x+1? ?

1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得 y1· y2=-1,y1+y2=- . k ∵A,B 在抛物线 y2=-x 上,
2 2 2 ∴y1 =-x1,y2 y2=x1x2. 2=-x2,∴y1·

y1 y2 y1y2 1 ∵kOA· kOB= · = = =-1,∴OA⊥OB. x1 x2 x1x2 y1y2 (2)设直线与 x 轴交于点 N,显然 k≠0. 令 y=0,得 x=-1,即 N(-1,0). ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN 1 1 1 = |ON||y1|+ |ON||y2|= |ON|· |y1-y2|, 2 2 2 1 ∴S△OAB= · 1· ?y1+y2?2-4y1y2 2 = 1 2 1 ?- ?2+4. k

∵S△OAB= 10, 1 ∴ 10= 2 1 1 +4,解得 k=± . k2 6

一、选择题 x2 y2 11.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离 a b 心率等于( A. 3 C. 5 [答案] C b [解析] 双曲线的渐近线方程为 y=± x. a ∵渐近线与 y=x2+1 相切, b ∴x2+ x+1=0 有两相等根, a b2 ∴Δ= 2-4=0,∴b2=4a2, a ) B.2 D. 6

c ∴e= = a

c2 = a2

a2+b2 = 5. a2

12.(2014· 长春市期末调研)抛物线 y2=9x 与直线 2x-3y-8=0 交于 A,B 两点,则线 段 AB 中点的坐标为( 113 27 A.( ,- ) 8 4 113 27 C.(- ,- ) 8 4 [答案] B 3 27 [解析] 由 2x-3y-8=0 得, x= y+4, 代入 y2=9x 中得 y2- y-36=0, 设 A(x1, y1), 2 2 B(x2,y2), y1+y2 27 AB 的中点为(x0,y0),则 y0= = , 2 4 x0= x1+x2 1 3 3 3 3 113 = ( y1+4+ y2+4)= (y1+y2)+4= y0+4= ,故选 B. 2 22 2 4 2 8 ) 113 27 B.( , ) 8 4 113 27 D.(- , ) 8 4

13. 已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C: y2=8x 相交于 A、 B 两点, F 为 C 的焦点. 若 |FA|=2|FB|,则 k=( 1 A. 3 2 C. 3 [答案] D [解析] 设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
?y=k?x+2? ? 由? 2 消去 y 得,k2x2+4x(k2-2)+4k2=0, ?y =8x ?

) B. 2 3

2 2 D. 3

4?2-k2? ∴x1+x2= ,x1x2=4. k2 由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2, 又∵|AF|=2|BF|,∴x1+2=2x2+4, ∴x1=2x2+2 代入 x1x2=4,得 x2 2+x2-2=0, ∴x2=1 或-2(舍去),∴x1=4, ∴ 4?2-k2? 8 =5,∴k2= , k2 9

2 2 ∵k>0,∴k= . 3 二、填空题 14. 已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点, M 是这条抛物线上的一个动点, P(3,1)是一个定点,

则|MP|+|MF|的最小值是______________________. [答案] 4 [解析] 过 P 作垂直于准线的直线, 垂足为 N, 交抛物线于 M, 则|MP|+|MF|=|MP|+|MN| =|PN|=4 为所求最小值.

9 15.在已知抛物线 y=x2 上存在两个不同的点 M、N 关于直线 y=kx+ 对称,则 k 的取 2 值范围为________. 1 1 [答案] k> 或 k<- 4 4 9 2 [解析] 设 M(x1,x2 1),N(x2,x2)关于直线 y=kx+ 对称, 2 ∴
2 x1 -x2 1 1 1 1 2 =- ,即 x1+x2=- .设 MN 的中点为 P(x0,y0),则 x0=- ,y0=k×(- ) k k 2 k 2 k x1-x2

9 + =4. 2 1 1 因中点 P 在 y=x2 内,有 4>(- )2?k2> , 2k 16 1 1 ∴k> 或 k<- . 4 4 三、解答题 16.已知抛物线 y2=6x 的弦 AB 经过点 P(4,2),且 OA⊥ OB(O 为坐标原点),求弦 AB 的长. y2 y2 1 2 [解析] 由 A、B 两点在抛物线 y2=6x 上,可设 A( ,y1),B( ,y2). 6 6 → → 因为 OA⊥OB,所以OA· OB=0.
2 2 2 y2 → y1 → y2 1y2 由OA=( ,y1),OB=( ,y2),得 +y1y2=0. 6 6 36

∵y1y2≠0,∴y1y2=-36, ∵点 A、B 与点 P(4,2)在一条直线上, ∴ y1-2 y1-y2 = 2 2, 2 y1 y1 y2 -4 - 6 6 6



y1-2 1 化简得 2 = , y1-24 y1+y2

即 y1y2-2(y1+y2)=-24. 将①式代入,得 y1+y2=-6. ②

由①和②,得 y1=-3-3 5,y2=-3+3 5,从而点 A 的坐标为(9+3 5,-3-3 5), 点 B 的坐标为(9-3 5,-3+3 5), 所以|AB|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2 =6 10. 17.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直 线 OA 与 l 的距离等于 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

[解析] (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p· 1, ∴p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t
?y=-2x+t, ? 由? 2 消去 x 得 y2+2y-2t=0. ?y =4x. ?

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ=4+8t≥0, 1 解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d= 可得 |t| 1 = ,解得 t=± 1. 5 5 5 , 5

综上知:t=1. 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2x+y-1=0.


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