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高中数学 2


2.4.1 抛物线及其标准方程
一、选择题 1. 【题文】抛物线 y ? ax A. ? a, 0 ?
2

? a ? 0? 的焦点坐标为(
? 1 ? ,0? ? 2a ?
C. ? 0,



B. ?

? ?

1 ? ? 4a ?

D. ? 0,

? ?

1 ? ? 8a ?

2. 【题文】抛物线 y ? A. y ? 1

1 2 x 的准线方程是() 4
C. x ? ?1 D. x ? 1

B. y ? ?1

3. 【题文】抛物线 y ? 4 x2 的焦点坐标为() A. ? 0,1? B. ?1,0 ? C. ? 0,

? 1? ? ? 16 ?

D. ?

?1 ? ,0? ? 16 ?

4. 【题文】顶点在原点,经过圆 C : x2 ? y2 ? 2x ? 2 2 y ? 0 的圆心,且准线与 x 轴垂直的抛 物线方程为() A. y 2 ? ?2x C. y ? 2x2 B. y 2 ? 2 x D. y ? ? 2 x2

5. 【题文】已知点 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,点 P 在该抛物线上,且点 P 的横坐标是 2 , 则 PF ? () A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 【题文】抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 上一点 M ? x0 , 8? 到焦点的距离是 10 ,则 x0 ? ()
2

A. 2 或 8

B. 1 或 9

C. 1 或 8

D. 2 或 9

-1-

7. 【题文】以 x 轴为对称轴,以原点为顶点且过圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 的圆心的抛物线 的方程是() A. y ? 3x2 或 y ? ?3x 2 C. y 2 ? ?9x 或 y ? 3x2 B. y ? 3x2 D. y 2 ? 9 x

P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 8. 【题文】如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,

BC 与直线 C1D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹是()

A. 直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

二、填空题 9. 【题文】抛物线 y ?

1 2 x2 y 2 x 的焦点与双曲线 ? ? ?1 的上焦点重合,则 m ? ________. 16 3 m

10. 【题文】抛物线 y ? nx2 ? n ? 0? 的准线方程为________.

11. 【题文】 抛物线 x2 ? my 的准线与直线 y ? 2 的距离为 3 , 则此抛物线的方程为__________.

三、解答题

x2 y 2 ? ? 1 上,求抛物 12. 【题文】已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,焦点在双曲线 4 2
线的方程.

13.【题文】分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
-2-

(1)焦点在直线 x ? 3 y ? 15 ? 0 上; (2)开口向下的抛物线上一点 Q ? m, ?3? 到焦点的距离等于 5 .

14.【题文】某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成,尺寸如图所示,某卡车空车时能通 过此隧道,现载一集装箱,箱宽 3 米,车与箱共高 4.5 米,问此车能否通过此隧道?说明理 由.

-3-

2.4.1 抛物线及其标准方程 参考答案及解析 1. 【答案】C 【解析】 y ? ax
2

? a ? 0? 变形为 x 2 ? a y, ? 2 p ? a ,

1

1

?

p 1 1 ? ? ? ,焦点为 ? 0, ?. 2 4a ? 4a ?

考点:由抛物线的方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B 【解析】将抛物线方程 y ? 故选 B. 考点:由抛物线方程求准线方程. 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】C 【解析】抛物线方程变形为 x ?
2

1 2 x 变成标准方程为 x2 ? 4 y ,所以其准线方程是 y ? ?1 , 4

1 1 p 1 ? 1? y, ? 2 p ? , ? ? ,焦点坐标为 ? 0, ? . 4 4 2 16 ? 16 ?
-4-

考点:根据抛物线方程求焦点坐标. 【题型】选择题 【难度】较易 4. 【答案】B 【解析】圆 C 的圆心坐标为 1, ? 2 ,依题意抛物线方程可设为 y 2 ? mx ,把坐标 1, ? 2 代入得 2 ? m ? y ? 2 x .
2

?

?

?

?

考点:求抛物线方程. 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】B 【解析】由抛物线方程可知 F ?1,0 ? ,由点 P 的横坐标是 2 得 y ? ?2 2 ,即点 P 2, ?2 2 ,

?

?

? PF ? 3 ,故选 B.
考点:抛物线上的点及抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A

p? 2 ? ?p ? ? ? x0 ? ? ? ? 8 ? 0 ? ? 10 , 【解析】 抛物线的焦点为 ? , 0 ? , 又6 所以 x0 ? 2 4 ? 2 px0 , 2? ? ?2 ?
或 8 ,故选 A. 考点:已知方程求抛物线上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】D 【解析】圆的圆心坐标为 ?1, ?3? ,则可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px ,将圆心坐标代入抛物线方 程解得 p ?

2

9 ,所以抛物线的方程为 y 2 ? 9 x . 2

考点:求抛物线的方程. 【题型】选择题

-5-

【难度】一般 8. 【答案】D 【解析】如图所示,连接 PC1 ,过 P 作 PH ? BC 于 H ,∵ C1 D1 ? 平面 BB1C1C ,

PC1 ? 面 BB1C1C ,∴ PC1 ? C1D1 ,∴ PC1 ? PH ,故点 P 的轨迹是以 C1 为焦点, BC 所在
直线为准线的抛物线,故选 D.

考点:抛物线的定义. 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】 13 【解析】抛物线 y ?

1 2 x 的焦点为 ? 0, 4 ? ,所以 m ? 3 ? 42 ? m ? 13. 16

考点:抛物线的焦点. 【题型】填空题 【难度】较易 10. 【答案】 y ? ?

1 ? n ? 0? 4n
2

2 ? 0? 得 x ? 【解析】由 y ? nx ? n

1 1 1 p 1 y ,所以 2p ? , p ? , ? ,准线方程为 n n 2n 2 4 n

y??

1 1 ? n ? 0 ? ,所以应填 y ? ? ? n ? 0 ? . 4n 4n

考点:根据抛物线方程求准线方程. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】 x 2 ? ?20 y 或 x2 ? 4 y
-6-

【解析】准线方程为 y ? ?

m m ,∴ ? ? 2 ? 3 ,∴ m ? ?20 或 m ? 4 ,∴ x 2 ? ?20 y 或 4 4

x2 ? 4 y .
考点:抛物线的定义与标准方程. 【题型】填空题 【难度】一般 12. 【答案】 y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x

【解析】由题意知抛物线的焦点为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的顶点,即为 ? ?2,0? 或 ? 2, 0 ? ,因为抛 4 2
2

物线关于 x 轴对称,所以可设抛物线的标准方程为 y ? ?2 px ? p ? 0? ,则 以抛物线的标准方程为 y 2 ? 8x 或 y 2 ? ?8x . 考点:求抛物线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】较易 13. 【答案】(1) y 2 ? ?60 x 或 x 2 ? ?20 y (2) x2 ? ?8 y

p ? 2, p ? 4 ,所 2

【解析】(1)∵直线 x ? 3 y ? 15 ? 0 与 x 轴的交点为 ? ?15,0? ,与 y 轴的交点为 ? 0, ?5? , ∴抛物线方程为 y 2 ? ?60 x 或 x 2 ? ?20 y . (2)∵ Q ? m, ?3? 到焦点的距离等于 5 ,∴ Q 到准线的距离也等于 5 . ∴准线方程为 y ? 2 ,即

p =2,∴ p ? 4 ,抛物线标准方程为 x2 ? ?8 y . 2

考点:根据条件求抛物线的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般 14. 【答案】此车不能通过隧道 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,

-7-

则 B ? ?3, ?3? , A ? 3, ?3? . 设 抛 物 线 方 程 为 x2 ? ?2 py ? p ? 0? , 将 B 点 的 坐 标 代 入 得

p?

3 ,∴抛物线方程为 x2 ? ?3y ? ?3 ? y ? 0? . 2

∵车与箱共高 4.5 m ,∴集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶 0.5 m . 则可设抛物线上点 D 的坐标为 ? x0 , ?0.5? ,则 x0 ? ?3? ? ?0.5? ,
2

解得 x0 ? ?

3 6 ?? . 2 2
6 ? 3 ,故此时车不能通过隧道.

' ∴ DD ? 2 x0 ?

考点:抛物线方程的应用. 【题型】解答题 【难度】一般

-8-


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