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数列前N项和求法总结 (1)_图文

等差数列的前n项和

数学与统计学院2009级 黄垚

教学环节1——温故知新
? 1 等差数列的定义 ? 2 等差数列的通项公式 ? 3 等差数列的两条基本性质

教学环节2——创设情境
?高斯10岁时,老师给出一道题:求1到100的自然数 之和。老师话刚说完,他就说出了答案。大家猜猜他 是怎么算的呢?

生活原型:如图,一堆圆木,从上到下每层的 数目分别为1,2,3,……,10 . 问共有多少 根圆木?

教学环节3——建立模型,以旧探新
? 三角形面积
补全 分开

结论:S

=2 S

教学环节4——求解
问题
1.计算:1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100
100 +99+98+ …+2 +1 100 ? (1 ? 100 ) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ? ? 5050 2 2.计算: 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ?1) ? n n+(n-1) + (n-2) +…+ n ? (n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1) ? n ? 2 2 +1

{ {{

〓101 }}

猜想:

n(a1 ? an ) Sn ? 2

设有等差数列{ an }:a1, a2 , a3 ,…, an ,…的公差为d. Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? ?? (an ? d ) ? an

Sn ? an ? (an ? d ) ? ? ? (a1 ? d ) ? a1

2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

教学环节2——应用
例1 如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一 层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多 放1支,最上面一层放120支. 这个V形架上共 放了多少支铅笔? 解:由题意知,这个V型架上自下而是 个层的铅笔数成等差数列,记为{an}. 则a1 ? 1, a120 ? 120, n ? 120.
? S120 120 (1 ? 120 ) ? ? 7260 . 2

答:V型架上共放着7260支铅笔。

课堂练习A
练习 P123 第3题 Sn=570; 第4题 Sn=1140. ?P122 第1,2题

1.(1)500;(2)2550;(3)604.5

2.(1) S n ?

n(n ? 1) 2

(2) Sn ? n(n ? 1)

例2
? 等差数列-10,-6,-2,2, …的前多 少项的和为54?
解:设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn. 则a1=-10,d=-6-(-10)=4,Sn=54. 由等差数列前n项和公式,得
n(n ? 1) ? 10 n ? ? 4 ? 54. 2

解得 n1=9,n2=-3(舍去). 因此,等差数列的前9项和是54.

进一步的思考:
等差数列-10,-6,-2,2, … 的前多少项的和为54? 1.an=?;从函数的角度怎样理解? an = 4n-14 2. Sn呢?

Sn = 2n2-12n

四、Sn的深入认识
an

Sn
O

Sn = 2n2-12n 6 n

an = 4n-14

O

n

课外探索
? 已知等差数列16,14,12,10, … (1)前多少项的和为72? (2)前多少项的和为0? (3)前多少项的和最大?

五、小结
1. 等差前n项和Sn公式的推导; 2. 等差前n项和Sn公式的记忆与应用;
n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

说明:两个求和公式的使用-------知三求一.

3. 等差前n项和Sn公式的理解.

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