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高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系导学案 新人教版必修2

高中数学高一年级必修二第二章 第 2.1.2 节 之间的位置关系
导学案 A.学习目标

: 空间中直线与直线

1、知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角定理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2、过程与方法 (1)师生的共同讨论与讲授法相结合; (2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。 3、情感与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣。 B.学习重点、难点 重点:1、异面直线的概念; 2、公理 4 及等角定理。 难点:异面直线所成角的计算。 C.学法指导 学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括,从而较好地完成本节课的教学目标。 D.知识链接 空间中直线与直线的位置关系的讨论。 E.自主学习 通过身边诸多实物 ,引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念:不同在任何一 个平面内的两条直线叫做异面直线。 F.合作探究 1、教师给出长方体模型,引导学生得出空间的两条直线有 如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有 且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图:

2、 (1)师:在同一平面内,如果 两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行。 在空间中,是否有类似的规律?

组织学生思考: 长方体 ABCD-A'B'C'D'中, BB'∥AA',DD'∥AA', BB'与 DD'平行吗? 生:平行 再联系其他相应实例归纳出公理 4 公理 4:平行于 同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公 理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 (2)例 2(投影片) 例 2 的 讲解让学生掌握了公理 4 的运用 (3)教材 P51 探究 让学生在思考和交流中提升了对公理 4 的运用能力。 3、组织学生思考教材 P51 的思考题 (投影)

让学生观察、思考: ∠ADC 与 A'D'C '、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何? 0 生:∠ADC = A'D'C',∠ADC + ∠A'B'C' = 180 教师画出更具一般性的图形,师生共同归纳出如下定理 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。 教师强调:并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。 4、以教师讲授为主,师 生共同交流,导出异面直线所成的角的概念。 (1)师:如图,已知异面直线 a、b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a、b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角 )叫异面直线 a 与 b 所成的角(夹角) 。

(2)强调: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两直线中的一条上; ? ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, );

2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 (3)例 3(投影) 例 3 的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角,从而巩固了所学知识。 (三)课堂练习 教材 P53 练习 1、2 充分调动学生动手的积极性,教师适时给予肯定。 G.课堂小结 在师生互动中让学生了解: (1)本节课学习了哪些知识内容? (2)计算异面直线所成的角应注意什么? H.达标检测 1.已知 AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR 等于( A.30° B.30°或 150° C.150° D.以上结论都不对 ) )

2.已知 a,b 是异面直线,直线 c∥a,那么 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是相交直线

B.一定是相交直线 D.不可能是平行直线

3.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB 的中点为 M,DD1 的中点为 N,则异面直线 B1M 与 CN 所 成的角是( A.0° C.60° ) B.45° D.90° )

4.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系是( A.平行 B.相交且垂直 C.异面 D.相交成 60° 5.满足“a、b 是异面直线”的命题序号是_____ ___.

①a∩b=?且 a 不平行于 b ②a? 平面 α ,b? 平面 β 且 a∩b=? ③a? 平面 α ,b? 平面 α ④不存在平面 α ,使 a? α 且 b? α 成立

6.如图,点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是________.

7.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,求 CC1 与 BD1 所成角的正弦值. 8.如图所示,E、F 分别是长方体 A1B1C1D1—ABCD 的棱 A1A,C1C 的中点. 求证:四边形 B1EDF 是平行四边形. 参考答案: 1 解析:∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行,但方向不能确定是否相同. ∴∠PQR=30°或 150°.答案:B 2.答案:D 3. 解析:取 CD 中点 M1,连接 C1M1,则 CN⊥C1M1,故 B1M 与 CN 所成的 角为 90°.答案:D 4 答案:D 5 答案:①④ 6.解析:①中 PQ∥RS,②中 RS∥PQ,④中 RS 和 PQ 相交.答案:③ 7. 解:如图所示,连接 B1D1,∵B1B∥CC1, 则 BB1 与 BD1 所成的角∠B1BD1 就 是 CC1 和 BD1 所成的角. 在 Rt△BB1D1 中,sin∠B1BD1=

B1D1 2a 6 = = , BD1 3 3a
6 . 3

∴CC1 与 BD1 所成角的正弦值为

8.证明 :设 Q 是 DD1 的中点,连接 EQ、QC1. ∵E 是 AA1 的中点, ∴EQ 是矩形 AA1D1D 的中位线.∴EQ 綊 A1D1. 又在矩形 A1B1C1D1 中,A1D1 綊 B1C1, ∴EQ 綊 B1C1(平行公理).∴四边形 EQC1B1 为平行四边形.∴B1E 綊 C1Q. 又∵Q、F 是 DD1、C1C 两边的中点,∴QD 綊 C1F. ∴C1Q 綊 DF.又∵B1E 綊 C1Q, ∴B 1E 綊 DF. ∴四边形 B1EDF 为平行四边形.


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