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2014-2015学年度上学期武汉二中,龙泉中学期中联考高二数学文


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考试时间:2014 年 11 月 6 日 上午 9:00—11:00 试卷满分:150 分

球的体积公式: V ?

4 3 1 ?R ; 方差 S 2 ? [( x ? x1 ) 2 ? ( x ? x2 ) 2 ? ? ? ( x ? xn ) 2 ] 3 n

一、选择题:本大题共 10 小题, 每小题 5 分, 共 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1. 直线 2 x ? (m ? 1) y ? 4 ? 0 与直线 mx ? 3 y ? 2 ? 0 平行, 则 m ? ( ) A. ? 2
2 2

B. ? 3

C. 2 或 ? 3

D.

?2或?3
2. 直线 l : x ? 3 y ? 4 ? 0 与圆 C : x ? y ? 4 的位置关系是 ( ) A. 相交且过圆心 B. 相交不过圆心 C. 相切 D. 相离

3. 下图左边是一个程序框图, 则输出的结果为 ( ) A. 20 B. 14 C. 10

D. 7

4. 某几何体的三视图如上图右边所示, 则该几何体的体积为 ( ) A.

16? 3

B.

20? 3

C.

40? 3

D. 5?

5. 统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下:甲队平均每场比赛丢失 1.5 个球, 全年比 赛丢失球的个数的标准差为 1.2 ; 乙队平均每场比赛丢失 2.2 个球, 全年比赛丢失球的个数 的方差为 0.6 . 据此分析: ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定;
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③乙队几乎场场失球; ④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 下列说法正确的个数是 ( ) ①平行于同一直线的两条直线平行 ②平行于同一平面的两个平面平行 ③两条平行线中的一条和一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行 ④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行, 则这条直线与另一平面也平行 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知圆 C1 : ( x ? a ) 大值为 ( ) A.
2

? ( y ? 2) 2 ? 4 与圆 C2 : ( x ? b) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1 相外切, 则 ab 的最

6 2

B.

3 2

C.

9 4

D.

2 3

8. 天气预报说 , 在今后的三天中 , 每三天下雨的情况不完全相间 , 每一天下雨的概率均为 ............. 40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率:用 1, 2, 3, 4 表示下 雨, 用 5, 6, 7, 8, 9, 0 表示不下雨; 从下列随机数表的第 1 行第 2 列开始读取直到末尾从而 获得 N 个数据. 据此估计, 这三天 中恰有两天 下雨的概率近似为 .. .... ( 19 83 2 A. ) 07 96 61 91 43 12 57 39 92 30 52 71 93 28 27 55 64 88 12 45 85 69 19 16 73 01 13 53 79 89

6 23

B.

6 21

C.

1 4

D. 非 ABC 的结果

9. 把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人1张, 事件A:“甲得红卡”与事件B:“乙 得红卡”是 ( ) A. 不可能事件 B. 必然事件 C. 对立事件 D. 互斥且不对立事件 10. 过点 P (3 , 4) 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条? ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

二、 填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 5 分, 共 35 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. ....... 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分 11. 武汉 2 中近 3 年来, 每年有在校学生 2222 人, 每年有 22 人考取了北大清华, 高分率稳居前 “2”, 展 望 未 来 9 年 前 景 美 好 . 把 三 进 制 数 (22222222) 3 化 为 九 进 制 数 的 结 果 为

(

)9 .
.
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12. 圆心在 y 轴上, 半径为 1, 且过点(1,2)的圆的标准方程是

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13. 已知线性相关的两个变量 x , y 之间的几组数据如下表:

x y

1 0
?

2 2

3 1

4 3

5 3 .

6 4

其线性回归方程为 y ? bx ? a , 则 a , b 满足的关系式为

14. 某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放 在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 15. 已知 x , y ? (0 , 1) , 则 x ? y ?
2 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2

的最小值为 . 16. 正四面体S—ABC中, E为SA的中点, F为?ABC的中心, 则异面直线EF与AB所成的角是 . 17. 已知点 P ( x , y ) 满足 ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 , ? ? (0 , 2? ] , 由 P 点组成的图形
2 2

的面积为 . 三、解答题:本大题共 5 小题, 共 65 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)下图是调查某地某公司 1000 名员工的月收入后制作的直方图. 根据 直方图估计: (1) 该公司月收入在 1000 元到 1500 元之间的人数; (2) 该公司员工的月平均收入; (3) 该公司员工收入的众数; (4) 该公司员工月收入的中位数;

19. (本小题满分13分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙 组记录中有一个数据模糊, 无法确认, 在图中以 x 表示. 甲 组 9 1 7 1 0 1 乙 组

x
0

8

9
35 , 求 x 及乙组同学投篮命中次数的方差; 4

(1) 如果乙组同学投篮命中次数的平均数为

(2) 在(1) 的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于 10 次的同学中,各随机选取一 名, 记事件 A:“两名同学的投篮命中次数之和为 17”, 求事件 A 发生的概率. 20. (本小题满分 13 分)三棱锥 P-DEF 中, 顶点 P 在平面 DEF 上的射影为 O. (1) 如果 PE=PF=PD, 证明 O 是三角形 DEF 的外心(外接圆的圆心) (2) 如果 PE ? PF ? 1 , PD ? 2 , EF ?

2 , DE ? DF ? 5 ,

证明: O 是三角形 DEF 的垂心(三条高的交点)

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21. (本小题满分 14 分)已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, AC∩BD=O, AA1=2 3 , BD⊥A1A, ∠BAD=∠A1AC=60° , 点 M 是棱 AA1 的中点. (1) 求证:A1C∥平面 BMD; (2) 求证:A1O⊥平面 ABCD; (3) 求三棱锥 B ? AMD 的体积.

22. (本小题满分 13 分) 已知圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 .
2 2

(1) 写出圆 C 的标准方程, 并指出圆心坐标和半径大小; (2) 是否存在斜率为 1 的直线 m, 使 m 被圆 C 截得的弦为 AB, 且 OA ? OB ( O 为坐标原 点) .若存在, 求出直线 m 的方程; 若不存在,说明理由.

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武汉二中 2014——2015 学年上学期 高二年级期中考试

数学(文科)试卷

0.1? 1250 ? 0.2 ? 1750 ? 0.25 ? 2250 ? 0.25 ? 2750 ? 0.15 ? 3250 ? 0.05 ? 3750 ? 2400 元
(3) 众数为 2500 元; (4) 中位数为 2400 元(面积分为相等的两部分; 19. 解:(1)依题意得: x ?

x ? 8 ? 9 ? 10 35 ? ,解得 x ? 8 , ………2 分 4 4 1 35 2 35 2 35 2 11 2 方差 s ? [2 ? (8 ? ) ? (9 ? ) ? (10 ? ) ] ? . ……2 分 4 4 4 4 16 (2)记甲组投篮命中次数低于 10 次的同学为 A1 , A2 ,他们的命中次数分别为 9,7. 乙组投篮命中次数低于 10 次的同学为 B1 , B2 , B3 ,他们的命中次数分别为 8,8,9.
依题意,不同的选取方法有:

( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) , ( A1 , B3 ) , ( A2 , B1 ) , ( A2 , B2 ) , ( A2 , B3 ) 共 6 种. ……5 分
设“这两名同学的投篮命中次数之和为 17”为事件 C, 则 C 中恰含有 ( A1 , B1 ) , ( A1 , B2 ) 共 2 种. ……2 分

? P(C ) ?

2 1 ? . 6 3

……2 分

20. (1) 证明:过 P 作 PO 垂直于平面 DEF, O 为垂足, 连 OD、OE、OF, 又 PD=PE=PF 所以直角三角形 PDO, 直角三角形 PEO, 直角三角形 PFO 全等, 从而有 OD=OE=OF, 故 O 为三角形 DEF 的外心. (4 分) (2)过 P 作 PO 垂直于平面 DEF, O 为垂足, 因为 PE ? PF ? 1 , EF ?

2,

DE ? DF ? 5 , PD ? 2 , 所以三角形 PEF、PDF、PED 都是直角三角形. ……1 分

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? PE ? PF ? ? PE ? PD ? PE ? 平面PDF ……3 分 ? PF ? PD ? P ? ? PE ? 平面PDF ?? ? PE ? DF ……1 分 ? DF ? 平面PDF
又?

? PO ? 平面DEF ? PO ? DF , PE ? PO ? P , ? DF ? 平面DEF

(2) BD ? AA1 ,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是 BD ? A1O , AC ? BD ? O
? ? ? 1 ? ? ? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? AB ? 2 ? ? ? ? ………4 分 ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? ? A1O ? 平面ABCD cos ?A1 AC ? 60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ? ABCD

(3)体积转换法:因为 A1O ? 平面 ABCD, M 为 A1O 的中点, 所以 M 到平面 ABCD 的距离



1 3 3 A1O ? , 三角形 ABD 的面积为 3 , VB? AMD ? VM ? ABD ? 2 2 2
2 2

22. (1)圆的标准方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 9 , 圆心坐标 (1 , ? 2) , 半径为 3………3 分 (2)假设直线 m : y ? x ? b , 代入圆的方程得: 2 x ? 2(b ? 1) x ? b ? 4b ? 4 ? 0 ,
2 2

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因为直线与圆相交 , 所以 b 2 ? 6b ? 11 ? 0 分

x1 ? x2 ? ?b ? 1 , x1 x2 ?

b 2 ? 4b ? 4 ……4 2

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