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上海工程技术大学概率论与数理统计模拟试卷4


概率论与数理统计模拟试卷 4 一、是非题(本题满分 10 分,每题 1 分) 1.如果随机事件 A 的概率为 0.3,那么在 0 次重复独立试验中,A 必将发 生 3 次。 ( ) ) ) ) ) )

2.连续型随机变量的概率密度一定是连续函数。 ( 3.二维正态分布的边缘分布必定是一维正态分布。 (

4.对于两个概率非零的事件,互不相容必定不相互独立。 (

5.常数 C 的方差等于 0,而方差等于 0 的随机变量 X 必等于常数 C。 ( 6. 正态总体下的样本均值 X 与样本方差 S 2 是两个相互独立的统计量。 ( 7. 假设检验中的检验水平 α 也就是原假设 H 0 不成立的概率。 ( 8.概率很小的事件,在个别的试验中通常是不可能发生的。 ( ) )

9.由二维随机变量的联合分布可唯一的确定边缘分布,反之亦然。 ( 10.随机变量 X 与 Y 相互独立是它们不相关的充分条件。 ( 二、选择题(本题满分 16 分,每题 2 分) 1.若 A,B 为随机事件,且 P(AB) = 0, 则 (A)A 与 B 相互对立; (B)AB 是不可能事件; 。 )



(C)AB 未必是不可能事件; (D)P(A) = 0 或 P(B) = 0 2.设 X 服从(0,2)上的均匀分布,则其标准差为 (A)
2 2



(B) 2

(C) 3

(D)

3 3

3. 设 X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数分别为 FX(x),FY(y), 则 Z = max {X,Y} 的分布函数是 A)FZ(z)= max { FX(x),FY(y)}; C) FZ(z)= FX(x)· FY(y) B) FZ(z)= max { |FX(x)|,|FY(y)|} D)都不是 。

4.如果随机变量 X 与 Y 满足 D(X+Y)=D(X-Y) ,则必有 (A)X 与 Y 不相关 (C)D(Y)=0 (B)X 与 Y 相互独立 (D)存在 a,b 使 P{Y=aX+b}=1.

5.设 X1,X2,…Xn,Xn+1, …,Xn+m 是来自正态总体 N (0, ? 2 ) 的容量为 n+m 的样

本,则统计量 V ?

m? ? i2 n? ?
i ? n ?1 i ?1 n?m 2 i

n

服从的分布是

(A) F (m, n)

(B) F (n ? 1, m ? 1)

(C) F (n, m)

(D) F (m ? 1, n ? 1)

6.设总体 X 服从正态分布 N ? ? , ? 2 ? , X 1 , X 2 ,? , X n 是来自 X 的样本,则 ? 2 的 无偏估计量是 (A)
2 1 n Xi ? X ? ? ? n i ?1

(B)

2 1 n Xi ? X ? ? ? n ? 1 i ?1

(C)

1 n 2 ? Xi n i ?1

(D) X 2

7. 假设检验中所可能犯的第一类错误的概率 α 与第二类错误的概率 β 之间的 关系为 (A) α ? β (C) α ? β 。 (B) α 与 β 不可能同时减小 (D)样本容量一定时, α 越小,则 β 越大.

8.回归分析可以帮助我们判断在一个随机变量和一个可控变量之间是否存 在某种 (A)函数 关系。 (B)线性 (C)相关 (D)独立

三、 (本题满分 10 分)如图所示的电路只有 5 个继电器接点,假设每个继电 器闭合与否相互独立且闭合的概率为 p,求 L 至 R 是通路的概率。 1 2 L 4 3 5 R

四、 (本题满分 12 分)设随机变量 X 的分布函数为
?0, ? F ( X ) ? ?a ? b arcsin x, ?1 ?

x ? ?1, ?1 ? x ? 1, x ? 1,

1 (1)确定常数 a , b (2)求概率 P{?2 ? X ? } (3)求 X 的概率密度 2

五、 (本题满分 12 分)假设某校学生的数学能力测试成绩 X 与音乐能力测试 成绩 Y 具有如下形式的概率密度函数;

?2 ? (2 x ? 3 y ), 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? 5 ? 0, 其它 ?

(1)试求 f X ( x) 与 f Y ( y) ,并判断 X 与 Y 是否相互独立? (2)试求 X 与 Y 的相关系数 ? XY ,并判断 X 与 Y 是否不相关? 六、 (本题满分 10 分)设从大批发芽率为 0.9 的种子中随意抽取 1000 粒,试 求这 1000 粒种子中至少有 880 粒发芽的概率。
? ? θx 七、 (本题满分 12 分)已知 X 的概率密度为 f ( x) ? ? ? ? 0
θ ?1

0 ? x ?1 (? 未 其他

知) ,求参数 ? 的矩估计量和极大似然估计量. 八、 (本题满分 10 分)从一批钉子中随机地抽取 16 枚,测得其长度(单位: cm)为 2.14 2.15 2.10 2.12 2.13 2.14 2.15 2.10 2.13 2.13 2.12 2.11 2.13 2.14 2.10 2.11

假设钉子的长度 X 服从正态分布 N(μ,σ 2) , 求总体均值 μ 的置信度为 90% 的置信区间。 九、证明题(本题满分 8 分)设随机变量 X 和 Y 的数学期望分别为–2,2; 方差分别为 1,4;两者的相关系数为–0.5,根据切比雪夫不等式证明:
P{| X ? Y |? 6} ? 1 12


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