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山东省实验中学2015届高考数学三模试卷(文科)

山东省实验中学 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意) 1. (5 分)如图,U 是全集 M?U,N?U,则阴影部分所表示的集合是()

A.M∪N

B.(?UM)∩N

C.(?UN)∩M

D.?U(M∩N)

2. (5 分)已知命题 p:?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≥0,则¬p 是() A.?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≤0 B. ?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2 ﹣x1)≤0 C. ?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)<0 D. ?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2 ﹣x1)<0 3. (5 分)设如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()

A.

B . 8﹣

C.8﹣2π

D.8﹣

4. (5 分)在不等式组

确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 6,则 a 的值为

() A.﹣2

B. 2

C.﹣6

D.6

5. (5 分) 设 a, b, c 分别是△ ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对边的边长, 则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 的位置关系是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

6. (5 分)函数 y=

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C.

D.

7. (5 分)已知 A. B. C.

则向量 与 的夹角为() D.

8. (5 分)对于不重合的两个平面 α 与 β,给定下列条件: ①存在平面 γ,使得 α,β 都平行于 γ ②存在平面 γ,使得 α,β 都垂直于 γ; ③α 内有不共线的三点到 β 的距离相等; ④存在异面直线 l,m,使得 l∥α,l∥β,m∥α,m∥β. 其中,可以判定 α 与 β 平行的条件有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个
2 2 2 2

D.4 个

9. (5 分)在△ ABC 中,若(a +b )sin(A﹣B)=(a ﹣b )?sinC,则△ ABC 是() A.等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 10. (5 分)已知 f(x+1)=f(x﹣ 1) ,f(x)=f(﹣x+2) ,方程 f(x)=0 在内有且只有一 个根 A.2011 在区间内根的个数为() B.1006 C.2013 D.1007

二、填空题(本题包括 5 小题,共 25 分) 11. (5 分)设向量 共线,则 λ=. 12. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=. 13. (5 分)
2 2 2 2

,若向量

与向量

=.

14. (5 分)设两圆 x +y ﹣4x﹣3=0 和 x +y ﹣4y﹣3=0 的交点为 A、B,则线段 AB 的长度 是. 15. (5 分)给出下列命题: ①函数 y=sin( π+x)是偶函数;

②函数 y=cos(2x+

)图象的一条对称轴 方程为 x=



③对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ,且 x>0 时,f'(x)>0,g' (x)>0 则 x<0 时,f'(x)>g'(x) ;④函数 f(2﹣x)与函数 f(x﹣2)的图象关于直线 x=2 对称;⑤若 x>0,且 x≠1 则 1gx+ 其中真命题的序号为. ≥ 2;

三、解答题(本题包括 5 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知向量 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标先缩短到原来的 ,把所得 到的图象再向左平移 上的最小值. 17. (12 分)已知数列{an}是非常数列的等差数列,Sn 为其前 n 项和,S5=25,且 a1,a3,a13 * 成等比数列;数列{bn}满足 2log2bn=an+1(n∈N ) ,{bn}的前 n 项和为 Tn. (I)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ){bn}的前 n 项和为 Tn,求使 Tn>2014 成立的最小正整数 n. 18. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求三棱锥 C1﹣CDB1 的体积. 单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间

19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a1=1,an+1=Sn+n+1,n∈N , (I)求证:数列{an+1}是等比数列; (Ⅱ)求 a1+2a2+3a3+…+nan.

*

20. (13 分)已知点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,曲线 C 上的动点 P 满足

?

=﹣3.

(I)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若过定点 M(0,﹣2)的直线 l 与曲线 C 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (Ⅲ)若动点 Q(x,y)在曲线上,求 u= 的取值范围.

21. (14 分)已知函数 f(x)=ax ﹣2x+lnx. (I)函数 f(x)在 x=1 与 x= 处的切线平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a≥0,划分函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)函数 f(x)在区间上为增函数,求实数 a 的取值范围.

2

山东省实验中学 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题只有一个选项符合题意) 1. (5 分)如图,U 是全集 M?U,N?U,则阴影部分所表示的集合是()

A.M∪N

B.(?UM)∩N

C.(?UN)∩M

D.?U(M∩N)

考点: Venn 图表达集合的关系及运算;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;集合. 分析: 由题意,阴影部分的元素在集合 N 中不在集合 M 中,从而求得. 解答: 解:由题意,阴影部分的元素在集合 N 中不在集合 M 中, 故阴影部分所表示的集合是(?UM)∩N, 故选 B. 点评: 本题考查了集合的运算的应用,属于基础题. 2. (5 分)已知命题 p:?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≥0,则¬p 是() A.?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≤0 B. ?x1,x2∈R,(f(x2)﹣f(x1) ) (x2 ﹣x1)≤0 C. ?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)<0 D. ?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2 ﹣x1)<0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑.

分析: 由题意,命题 p 是一个全称命题,把条件中的全称量词改为存在量词,结论的否定 作结论即可得到它的否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项 解答: 解:命题 p:?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)≥0 是一个全称命题,其否 定是一个特称命题, 故?p:?x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1) ) (x2﹣x1)<0. 故选:C. 点评: 本题考查命题否定, 解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则, 本题易因 为没有将全称量词改为存在量词而导致错误,学习时要注意准确把握规律. 3. (5 分)设如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()

A.

B . 8﹣

C.8﹣2π

D.8﹣

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥得到的组合体, 代入体积公式分别 计算出正方体和圆锥的体积,相减可得答案. 解答: 解:由已知可得该几何体是一个正方体挖去一个圆锥得到的组合体, 正方体的体积为:2×2×2=8, 圆锥的底面直径为 2,故底面半径为 1,底面面积为 π,高为 2, 故圆锥的体积为: , ,

故组合体的体积 V=8﹣

故选:D 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积和表面积, 根据已知的三视图分析出几何体的形 状是关键.

4. (5 分)在不等式组

确定的平面区域中,若 z=x+2y 的最大值为 6,则 a 的值为

() A.﹣2

B. 2

C.﹣6

D.6

考点: 简单线性规划.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数 求得 a 的值.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,得 A(a,a) , . 过 A(a,a)时 z 有最大值,

化 z=x+2y,得 由图可知,当直线

∴z=a+2a=3a=6,即 a=2. 故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 5. (5 分) 设 a, b, c 分别是△ ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对边的边长, 则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 的位置关系是() A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 考点: 正弦定理的应用; 直线的一般式方程与直线的平行关系; 直线的一般式方程与直线 的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 要寻求直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 的位置关系, 只要先求两直线的 斜率,然后由斜率的关系判断直线的位置即可. 解答: 解:由题意可得直线 sinA?x+ay+c=0 的斜率 斜率 ∵k1k2= = =﹣1 ,bx﹣sinB?y+sinC=0 的

则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx﹣sinB?y+sinC=0 垂直 故选 C.

点评: 本题主要考察了两直线的位置关系中的垂直关系的判断, 主要是通过直线的斜率关 系进行判断,解题中要注意正弦定理的应用.

6. (5 分)函数 y=

(0<a<1)的图象的大致形状是()

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据 x 与零的关系对解析式进行化 简,并用分段函数表示,根据 a 的范围和指 数函数的图形选出答案. 解答: 解:当 x>0 时,y= 当 x<0 时,y=
x

=a ,因为 0<a<1,所以函数为减函数,

x

=﹣a ,因为 0<a<1,所以函数为增函数,

只有 D 符合, 故选:D 点评: 本题考查函数的图象, 函数是高中数学的主干知识, 是 2015 届高考的重点和热点, 属于基础题.

7. (5 分)已知 A. B. C.

则向量 与 的夹角为() D.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及 应用. 分析: 由条件求得 夹角. 解答: 解:由于 ,所以 , , 再由 , 求得向量 与 的

所以



所以 故选 B.



点评: 本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角,两个向量数量积的运算, 属于中档题. 8. (5 分)对于不重合的两个平面 α 与 β,给定下列条件: ①存在平面 γ,使得 α,β 都平行于 γ ②存在平面 γ,使得 α,β 都垂直于 γ; ③α 内有不共线的三点到 β 的距离相等; ④存在异面直线 l,m,使得 l∥α,l∥β,m∥α,m∥β. 其中,可以判定 α 与 β 平行的条件有() A.1 个 B. 2 个 C. 3 个

D.4 个

考点: 平面与平面平行的性质;平面与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题. 分析: 直线与平面的位置关系,平面与平面的位置关系,对选项进行逐一判断,确定正确 选项即可. 解答: 解:①α 与 β 平行.此时能够判断①存在平面 γ,使得 α,β 都平行于 γ;两个平 面平行,所以正确. ②存在平面 γ,使得 α,β 都垂直于 γ;可以判定 α 与 β 平行,如正方体的底面与相对的侧 面.也可能 α 与 β 不平行.②不正确. ③不能判定 α 与 β 平行.如 α 面内不共线的三点不在 β 面的同一侧时,此时 α 与 β 相交; ④可以判定 α 与 β 平行. ∵可在 α 面内作 l′∥l,m′∥m,则 l′与 m′必相交. 又∵l∥β,m∥β, ∴l′∥β,m′∥β, ∴α∥β. 故选 B. 点评: 本题考查平面与平面平行的判定与性质, 平面与平面垂直的判定, 考查空间想象能 力,逻辑思维能力,是基础题. 9. (5 分)在△ ABC 中,若(a +b )sin(A﹣B)=(a ﹣b )?sinC,则△ ABC 是() A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用两角和与差的三角函数以及正弦定理,化简整理推出 sin2A=sin2B,从而得出 出 A 与 B 的关系,由此即可得到三角形的形状. 2 2 2 2 解答: 解:∵(a +b )sin(A﹣B)=(a ﹣b )sinC, 2 2 2 2 ∴(a +b ) (sinAcosB﹣cosAsinB)=(a ﹣b ) (sinAcosB+cosAsinB) , 2 2 2 2 2 2 2 2 可得 sinAcosB(a +b ﹣a +b )=cosAsinB(a ﹣b +a +b ) . 2 2 即 2b sinAcosB=2a cosAsinB…(*) 根据正弦定理,得 bsinA=asinB ∴化简(*)式,得 bcosB=acosA 即 2RsinBcosB=2RsinAcosA, (2R 为△ ABC 外接圆的半径)
2 2 2 2

化简得 sin2A=sin2B, ∴A=B 或 2A+2B=180°,即 A=B 或 A+B=90° 因此△ ABC 是等腰三角形或直角三角形. 故选:D 点评: 本题考查三角形的形状的判断,两角和与差的三角函数的应用,正弦定理的应用, 考查计算能力. 10. (5 分)已知 f(x+1)=f(x﹣1) ,f(x)=f(﹣x+2) ,方程 f(x)=0 在内有且只有一个 根 A.2011 在区间内根的个数为() B.1006 C.2013 D.1007

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 由条件推出 f(1﹣x)=f(1+x) ,进而推出 f(x)为偶函数,且 f(x)是周期等于 2 的 周期函数,根据 f( )=0,求出 f( ) )=0,从而得到函数 f(x)在一个周期的零点 个数,且函数 f(x)在每两个整数之间都有一个零点,从而得到 f(x)=0 在区间内根的个 数. 解答: 解: ∵f (x)=f (﹣x+2) , ∴f(x) 的图象关于直线 x=1 对称,即 f (1﹣x) =f(1+x) . 又 f(x+1)=f(x﹣1) ,∴f(x﹣1)=f(1﹣x) ,即 f(x)=f(﹣x) ,故函数 f(x)为偶函 数. 再由 f(x+1)=f(x﹣1)可得 f(x+2)=f(x) ,故函数 f(x)是周期等于 2 的周期函数, ∵f( )=0, ∴f(﹣ )=0,再由周期性得 f(﹣ +2)=f( )=0, 故函数 f(x)在一个周期上有 2 个零点,即函数 f(x)在每两个整数之间都有一个零点, ∴f(x)=0 在区间内根的个数为 2013, 故选 C; 点评: 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断, 函数的奇偶性与周期性的应用, 抽象 函数的应用,体现了化归与转化的数学思想,属于中档题. 二、填空题(本题包括 5 小题,共 25 分) 11. (5 分)设向量 共线,则 λ=2. 考点: 平行向量与共线向量. 分析: 用向量共线的充要条件:它们的坐标交叉相乘相等列方程解. 解答: 解:∵a=(1,2) ,b=(2,3) , ∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3) . ∵向量 λa+b 与向量 c=(﹣4,﹣7)共线, ∴﹣7(λ+2)+4(2λ+3)=0, ,若向量 与向量

∴λ=2. 故答案为 2 点评: 考查两向量共线的充要条件. 12. (5 分)在等差数列{an}中,a3+a7=37,则 a2+a4+a6+a8=74. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质所有下标之和相同的两项之和相等, 看出第三项与第七项的和 等于第四项与第六项的和等于第二项与第八项的和,得到结果. 解答: 解:等差数列{an}中,a3+a7=37, ∵a3+a7=a2+a8=a4+a6=37 ∴a2+a4+a6+a8=37+37=74, 故答案为:74 点评: 本题考查等差数列的性质,这是经常用到的一个性质的应用,注意解题要灵活,不 要出现数字运算的错误是一个送分题目.

13. (5 分)

=



考点: 专题: 分析: 解答:

正弦定理. 计算题. 据正弦定理可求出角 B 的正弦值,进而得到其角度值. 解:∵b= ,a= ,∠B=45° ∴sinA= ∴∠A= 或

根据正弦定理可得: 故答案为: 或

点评: 本题主要考查正弦定理的应用,此题要注意∠A 有两个,属基础题. 14. (5 分)设两圆 x +y ﹣4x﹣3=0 和 x +y ﹣4y﹣3=0 的交点为 A、B,则线段 AB 的长度 是2 . 考点: 相交弦所在直线的方程;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 求出公共弦,x +y ﹣4x﹣3=0 的圆心为(2,0) ,半径为 ,可得圆心到直线的 距离,即可求出线段 AB 的长度. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:x +y ﹣4x﹣3=0,x +y ﹣4y﹣3=0 的公共弦为 x﹣y=0,x +y ﹣4x﹣3=0 的圆 心为(2,0) ,半径为 , 圆心到直线的距离为 ∴线段 AB 的长度为 2 故答案为:2 . =2, =2
2 2 2 2 2 2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查弦长的计算,比较基础. 15. (5 分)给出下列命题: ①函数 y=sin( π+x)是偶函数; ②函数 y=cos(2x+ )图象的一条对称轴方程为 x= ;

③对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ,且 x>0 时,f'(x)>0,g' (x)>0 则 x<0 时,f'(x)>g'(x) ;④函数 f(2﹣x)与函数 f(x﹣2)的图象关于直线 x=2 对称;⑤若 x>0,且 x≠1 则 1gx+ 其中真命题的序号为①③④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 利用诱导公式变形判断①;代值验证②;由函数的奇偶性的性质及函数的单调性 与导函数的符号间的关系判断③;求出函数 y=f(x﹣2)图象关于直线 x=2 对称的函数解析 式判断④;由利用基本不等式求最值的条件判断⑤. 解答: 解:对于①,函数 y=sin( π+x)=﹣cosx 是偶函数,命题①正确; 对于②,由 轴方程为 x= 错误; ,∴函数 y=cos(2x+ )图象的一条对称 ≥ 2;

对于③,对于任意实数 x,有 f(﹣x)=﹣f(x) ,g(﹣x)=g(x) ,说明 f(x)为奇函数, g(x)为偶函数,又 x>0 时,f'(x)>0,g'(x)>0,说明在(0,+∞)上 f(x)为增函 数,g(x)为增函数,则 x<0 时,f'(x)>0,g'(x)<0,f'(x)>g'(x) ,命题③正确; 对于④,函数 y=f(x﹣2)图象关于直线 x=2 对称的函数解析式为 y=f= f(2﹣x) ,命题④ 正确; 对于⑤,若 x>0,且 x≠1 则 1gx+ ≥2 错误,当 x∈(0,1)时 1gx+ ≤﹣2.

故答案为:①③④. 点评: 本题考查了命题的真假判断与应用, 考查了函数的性质, 考查了函数的单调性与导 函数符号间的关系,训练了利用基本不等式求最值,是中档题. 三、解答题(本题包括 5 小题,共 75 分) 16. (12 分)已知向量 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间;

(2)将函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不 变,横坐标先缩短到原来的 ,把所得 到的图象再向左平移 上的最小值. 考点: 平面向量数量积的运算;三角函数的化简求值;三角函数的周期性及其求法;正弦 函数的单调性;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: (1)利用向量的坐标运算可求得 f(x)= ﹣1=2sin(2x+ ) ,从而可求函数 单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 y=g(x)在区间

f(x)的最小正周期和单调递增区间; (2)利用三角函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得 y=g(x)的表达式,从而可求得在 区 间 上的最小值. ﹣1

解答: 解: (1)依题意得,f(x)= = sin2x+cos2x+1﹣1 ) , =π,

=2sin(2x+

∴函数 f(x)的最小正周期 T= 由 2kπ﹣ kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z)

(k∈Z)得: ,

≤x≤kπ+

∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z) ; (2) 将函数 y=f (x) 的图象上各点的纵坐标保持不变, 横坐标先缩短到原来的 , 可得 y=2sin (4x+ ) ,把所得到的 y=2sin(4x+ )的图象再向左平移 , 单位,

即得 g(x)=2sin=2sin(4x+ ∴ ≤4x+ ≤

) ;又 0≤x≤

,y=sinz 在上单调递减, =﹣ .

∴g(x)min=2sin

点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,以向量的坐标运算为载体考查三角函 数的化简求值,考查正弦函数的性质,是三角中的综合题,属于中档题. 17. (12 分)已知数列{an}是非常数列的等差数列,Sn 为其前 n 项和,S5=25,且 a1,a3,a13 * 成等比数列;数列{bn}满足 2log2bn=an+1(n∈N ) ,{bn}的前 n 项和为 Tn. (I)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ){bn}的前 n 项和为 Tn,求使 Tn>2014 成立的最小正整数 n.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)设等差数列{an}的公差为 d≠0,S5=25,可得 由于 a1,a3,a13 成等比数列,可得 , =5a3,a3=5, ,解得

d.利用等差数列的通项公式可得 an.由于 2log2bn=an+1,可得 2log2bn=2n﹣1+1,解出 bn. n+1 (II)利用等比数列的前 n 项和公式可得 Tn.Tn>2014 即 2 ﹣2>2014,即可得出. 解答: 解: (I)设等差数列{an}的公差为 d≠0,S5=25, ∴ =5a3,a3=5,

∵a1,a3,a13 成等比数列, ∴ ∴
2

, ,

∴5 =(5﹣2d) (5+10d) ,d≠0,解得 d=2. ∴an=a3+(n﹣3)d=5+2(n﹣3)=2n﹣1. ∵2log2bn=an+1, ∴2log2bn=2n﹣1+1, ∴ .

(II){bn}的前 n 项和为 Tn=
n+1 n

=2

n+1

﹣2.

Tn>2014 即 2 ﹣2>2014,化为 2 >1013,∴n≥10. ∴使 Tn>2014 成立的最小正整数 n=10. 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质及其前 n 项和公式, 考查了推理能 力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分)如图,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点 D 是 AB 的中点, (1)求证:AC⊥BC1; (2)求证:AC1∥平面 CDB1; (3)求三棱锥 C1﹣CDB1 的体积.

考点: 直线与平面垂直的性质;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1) 先根据 AC=3, BC=4, AB=5 得到 AC⊥BC; 再结合其为直棱柱得到 AC⊥CC1, 即可证明 AC⊥平面 BCC1B1,进而得到 AC⊥BC1; (2)先设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE;跟怒边长相等得到 E 为正方形对角线的交点, E 为中点;再结合点 D 是 AB 的中点可得 DE∥AC1,进而得到 AC1∥平面 CDB1; (3)直接根据等体积转化,把问题转化为求三棱锥 D﹣C1CB1 的体积再代入体积计算公式 即可. 解答: 解: (1)直三棱柱 ABC﹣A1B1C1, 底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴AB =AC +BC , ∴AC⊥BC. ∵CC1⊥平面 ABC,AC?平面 ABC, ∴AC⊥CC1,又 BC∩CC1=C. ∴AC⊥平面 BCC1B1,BC1?平面 B1C1CB, ∴AC⊥BC1…(5 分) (2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE, 因为;BC=AA1=4, 所以 BCC1B1 为正方形, 故 E 是 C1B 的中点, ∵D 是 AB 的中点,E 是 C1B 的中点, ∴DE∥AC1, ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. . …(10 分) (3)因为 AC⊥平面 BCC1B1, ,D 为中点 所以 D 到平面 BCC1B1 的距离等于 AC, ∵ = = AC
2 2 2

= ×( ×4×4)× ×3 =4.…(14 分)

点评: 本题是对立体几何知识的综合考查. 一般在求三棱锥的体积直接不好找时, 常用等 体积转化求解. (转化为高好找的三棱锥) 19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a1=1,an+1=Sn+n+1,n∈N , (I)求证:数列{an+1}是等比数列; (Ⅱ)求 a1+2a2+3a3+…+nan. 考点: 数列的求和;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)首先根据递推关系式,构造出新数列,进一步证明结果. (Ⅱ)首先利用恒等变换,进一步求出数列的通项公式,然后利用乘公比错位相减法求数列 的和. * 解答: 解: (Ⅰ)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 a1=1,an+1=Sn+n+1,n∈N ①, 则:an=Sn﹣1+n② 则:①﹣②得:an+1=2an+1 整理得:an+1+1=2(an+1) 所以: (常数) ,
*

由于:a1=1,所以 a1+1≠0 则:数列{an+1}是等比数列 (Ⅱ)由(Ⅰ)得到: a1+2a2+3a3+…+nan=(a1+1)+2(a2+1)+…+n(an+1)﹣(1+2+…+n) = 设 则:2 所以:①﹣②得: =(n﹣1)?2
n+1

① ②

+2

所以:a1+2a2+3a3+…+nan=(n﹣1)?2

n+1

+2﹣

= 点评: 本题考查的知识要点: 利用递推关系式构造新数列求数列的通项公式. 恒等变换的 应用,乘公比错位相减法的应用.属于基础题型.

20. (13 分)已知点 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,曲线 C 上的动点 P 满足

?

=﹣3.

(I)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若过定点 M(0,﹣2)的直线 l 与曲线 C 有公共点,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (Ⅲ)若动点 Q(x,y)在曲线上,求 u= 的取值范围.

考点: 平面向量数量积的运算;点到直线的距离公式. 专题: 计算题;平面向量及应用;直线与圆. 分析: (I)设 P(x,y) ,运用向量的数量积的坐标表示,化简即可得到曲线 C 的方程; (Ⅱ)可设直线 l:y=kx﹣2,运用直线和圆有公共点的条件:d≤r,运用点到直 线的距离公 式,解不等式即可得到取值范围; (Ⅲ)由动点 Q(x,y) ,设定点 N(1,﹣2) ,u= 由直线和圆相交的条件 d≤r,解不等式即可得到范围. 解答: 解: (I)设 P(x,y) ,
2 2 2

的几何意义是直线 QN 的斜率,再

=(x+2,y)?(x﹣2,y)=x ﹣4+y =﹣3,
2

2

2

即有 x +y =1,P 点 的轨迹为圆 C:x +y =1; (Ⅱ)可设直线 l:y=kx﹣2,即为 kx﹣y﹣2=0,当直线 l 与曲线 C 有交点,得, ,解得,k 或k .

即有直线 l 的斜率 k 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪ 点评: 本题考查平面向量的数量积的坐标表示, 考查直线和圆的位置关系, 考查直线斜率 的公式的运用,考查运算能力,属于中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ax ﹣2x+lnx. (I)函数 f(x)在 x=1 与 x= 处的切线平行,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 a≥0,划分函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)函数 f(x)在区间上为增函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出原函数的导函数由 求得 a 的值;
2

(Ⅱ)求出原函数的导函数 种情况由导函数的符号判断原函数的单调期间; (Ⅲ)把函数 f(x)在区间上为增函数,转化为 恒成立, 即 在上恒成立, 令
2

,分 a=0,0<a

,a



在上

换元后得到 t ﹣2t+2a≥0 在区间上恒成立. 然

后由函数的单调性求得最小值得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 f(x)=ax ﹣2x+lnx,得 由题意, (Ⅱ) ①当 a=0 时, ,即 2a﹣1=a,解得 a=1; , ,在区间(0, ]上 f′(x)≥0,f(x)为增函数;
2



在区间上 f′(x)≥0,f(x)为增函数;在区间上 f′(x)≤0, f(x)是减函数;在区间上为增函数,则 等价于 在上恒成立, 令 ,则等价于 t ﹣2t+2a≥0 在区间上恒成立.
2 2

在上恒成立,

∵g(x)=t ﹣2t+2a 在区间上为减函数, ∴ ,即 .

点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程, 考查了利用导数研究函数的 单调性考查了利用导数求函数的最值,考查了数学转化思想方法,是压轴题.


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