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微积分初步——变化率与导数的概念


微积分初步 变化率与导数的概念
艾森豪威尔

引入
? 微积分的创立是数学发展中的里程碑,它 的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 的新时期,为研究变量和函数提供了重要 的方法和手段。

微积分整体框架

1、函数的平均变化率
? 已知函数y=f(x),x0 , x1 是定义域内不同的两点,记 ?x = x1 ? x0 , ?y = y1 ? y0 = f ( x1 ) ? f ( x0 ) = f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) ,则当 ?x ≠ 0 时, 商 f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = ?y 称作函数y=f(x)在区间[ x0 , x0 + ?x](或[ x0 + ?x, x0 ])
?x ?x

的平均变化率。 例题1 求函数 y = 3x + 2在区间[2,2 + ?x] 内的平均变化率。 ? 解析: y = 3(2 + ?x) 2 + 2 ? (3 × 22 + 2) = 12?x + 3(?x) 2 , 所以平均变化率为 ?y = 12 + 3?x 。
2

?x

2、平均速率
设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),在t0 到 t0 + ?t 这段时间内,物 t 体运动的平均速度是 v = f (t + ??t) ? f (t ) = ?s ?t
0 0 0

?s [注意]在匀速直线运动过程中,此值?t 是恒定的。在非匀速直线运动中

比值 ?t 不是恒定的。要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在 一时刻运动的快慢程度。 例题2 已知某质点按规律s=(2t?+2t)m做匀速直线运动,求 (1)该质点在前3s内的平均速度; (2)该质点在2s到3s内的平均速度。 ?t = 3s, ?s = s (3) ? s (0) = 24m, 解析:(1)由题意知 ?s 24 v= = = 8m / s ?t 3 ∴平均速度为 ?t = 3 ? 2 = 1s, ?s = s (3) ? s (2) = 12m, (2)由题意知 ?s v= ∴平均速度为 ?t = 12m / s

?s

3、导(函)数
? 定义:如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x都是可导的, 则称f(x)在区间(a,b)内可导,在区间(a,b)内, f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数y=f (x)的导函数,简称导数。

? 导数公式:

f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) f ' ( x0 ) = lim ?x→0 ?x

3、导(函)数
? 区分导函数与函数在一点的导数,要明确以下 两点:
? (1)函数在一点的导数,就是在该点的函数改变量与

自变量的改变量的比值的极限,它是一个数值,不是 一个变数。 ? (2)函数的导数即是函数的导函数,是对某一区间内 任意一点x而言的函数f(x)在(a,b)内每一点都可 导,是指对于区间(a,b)内每一个确定的值 x0 ,都 对应着一个确定的导数值 f ' ( x0 ) ,根据函数定义,在 (a,b)内就构成了一个新的函数,即为函数的导函 数。

3、导(函)数
? 例题3 求函数 在x=2处的导数。 ? 解析:解法一:(导数定义法)
(?x) 2 + 4?x 4 4 4 ?y = ? = ?1 = ? (?x + 2)2 22 (?x + 2)2 (?x + 2) 2

y=

4 x2



?y ?x + 4 ?y ?x + 4 =? ,∴ lim = ? lim = ?1 ?x→0 ( ?x + 2) 2 ?x (?x + 2) 2 ?x→0 ?x

解法二:(导函数的函数值法)
?y = 4 4 4?x(2 x + ?x) ?y 4(2 x + ?x) ? 2 =? 2 =? 2 ,∴ ?x ( x + ?x) 2 x x ( x + ?x) 2 x ( x + ?x) 2 ?y 4( 2 x + ?x) 8 = ? lim 2 =? 3 ?x→0 ?x ?x→0 x ( x + ?x ) 2 x
x =2

∴ y ' = lim

∴ f ' ( 2) = y '

= ?1

END

?祝同学们寒假愉快! ?祝同学们学习进步!


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