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高考一轮复习 椭圆


高三总复习

数学 (大纲版)

第五节

椭圆

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考纲预览 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭 圆的参数方程. 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用.

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命题探究 1.圆锥曲线方程是历年高考命题的热点,考点要求掌握椭圆、 双曲线、抛物线的定义,标准方程以及它们的几何性质, 直线与圆锥曲线的位置关系.椭圆、双曲线、抛物线的定 义是每年必考的内容,多出现在选择题和填空题中.直线 和圆锥曲线的位置关系,多是综合题,分值大约12~13分, 考查综合能力的应用,近几年与平面向量知识相综合,体 现了较强的综合性. 2.考查曲线的几何性质、标准方程等基础知识,直线与圆 锥曲线的位置关系,求曲线的方程,关于圆锥曲线的最值 问题,考查数形结合、等价转换、分类讨论、函数与方程 、逻辑推理能力等数学思想方法.加强了与其他知识(如平 面向量)的综合,体现了学科间的综合应用.

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1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几 考纲要求 何性质. 2.了解椭圆的参数方程. 1.以选择题、填空题的形式考查椭圆的定义、 焦点坐标、离心率、标准方程等问题. 考试热点 2.以解答题的形式考查椭圆的性质、直线与椭 圆的位置关系.

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1.椭圆的定义 平面内到两定点F1,F2的距离的和
等于常数

(大于

|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.两定点F1,F2叫椭圆的焦点. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0, c>0,且a,c为常数.

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(1)当 2a>|F1F2| 时,P点的轨迹是椭圆; (2)当 2a=|F1F2| 时,P点的轨迹是线段; (3)当 2a<|F1F2| 时,P点不存在.

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2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程 x2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 + =1(a>b>0) a2 b2

图形

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标准方程 范围

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x2 y 2 a2+b2=1(a>b>0) y2 x 2 a2+b2=1(a>b>0)

-a

≤x≤ a

-b -a

≤x≤b ≤y≤a ;对称中心: 原点

-b ≤y≤ b 坐标轴

性 质

对称性 对称轴:

A1(-a,0),A2(a,0) 顶点 B1(0,-b), B2(0,b) 离心率 e=
c a

A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0)

,且e∈(0,1)

a,b,c的 关系

c2=a2-b2

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轴 长轴A1A2的长为2a,短轴B1B2的长为2b 离 心 e= 率 ∈ (0,1) ,其中c= 准线方程是

性 准 质 准线方程是 线

焦 P(x,y)是椭圆上任一点, P(x,y)是椭圆上任一点, a+ ey 则|PF1|= , |PF2| 半 则|PF1|= a+ex ,|PF2| a-ey = 径 = a-ex

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考向1 椭圆的定义与标准方程
x2 y2 2.(人教A版教材习题改编)设P是椭圆 + =1上的 25 16 点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( A.4 B.5 C.8 D.10 )

【解析】 依椭圆的定义知:|PF1|+|PF2|=2×5=10. 【答案】 D

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变式训练1

x2 y2 (2014· 苏州质检)已知椭圆的方程是 2 + = a 25

1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB(椭 圆上任意两点的线段)过点F1,则△ABF2的周长为________.
【解析】 ∵a>5,∴椭圆的焦点在x轴上, ∵|F1F2|=8,∴c=4, ∴a2=25+c2=41,则a= 41. 由椭圆定义,|AF1|+|AF2|=|BF2|+|BF1|=2a, ∴△ABF2的周长为4a=4 41.
【答案】 4 41

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椭圆定义的运用 x2 y2 [例 1] (2009· 上海高考)已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2 a b →1⊥PF →2, =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且PF 若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________.

[分析 ]

本题中,△ PF1 F2 是一个面积等于 9 的直角三

角形,分析这个三角形的特点解决.

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[ 解析 ] 设椭圆的焦点坐标为 (± c,0) ,根据椭圆定义和 △PF1F2 是一个面积等于 9 的直角三角形,有 ?|PF1|+ |PF2 |=2a, ? |PF2 |=18, ?|PF1|· ? |PF |2+ |PF |2=4c2. 2 ? 1 第一式两端平方并把第二、三两

式代入,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,即 b2=9,即 b =3.故填 3.

[答案 ] 3

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3.(2013· 广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为 1 F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( 2 x2 y2 A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2 x2 y2 B. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3 )

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【解析】 右焦点为F(1,0)说明两层含义:椭圆的焦点 在x轴上;c=1. c 1 又离心率为 = ,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭 a 2 x2 y2 圆的方程为 + =1,故选D. 4 3

【答案】 D

答案:+=1

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4. (教材习题改编 )已知椭圆中心在 原点,一个焦点为 F (-2 3,0), 且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭 圆的标准方程是________.
x2 y2 答案: + =1 16 4

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1 12 2 已知 A(- ,0),B 是圆 F:(x- ) +y =4(F 为圆心) 2 2 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P,则动点 P 的 轨迹方程为__________. 解析:由已知,动点 P 在线段 AB 的垂直平分线上,则 |PA |+ |PF|= |PB |+ |PF|=2>|OA |+ |OF|=1,动点 P 的轨迹是椭 1 1 圆,这个椭圆的焦点是 A(- ,0)和 F( ,0),定长 2a=2, 2 2 4 2 2 因而动点 P 的轨迹方程为 x +3y =1.

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x2 y2 【例2】 如图8-5-1所示,已知椭圆 2 + 2 =1(a>b a b >0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点, 直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90° ,求椭圆的离心率; → =2F → (2)若椭圆的焦距为2,且AF 2 2B,求椭圆的方程.

考向2 椭圆的几何性质

图8-5-1

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【思路点拨】 由△AF1F2为等腰直角三角形找a,c的等 c → =2F → 量关系→计算e= ;利用AF 2 2B把点B的坐标用点A(0,b) a 表示→代入椭圆求a,b的值→写出椭圆方程.
【尝试解答】 (1)∵|AF1|=|AF2|=a, 且∠F1AF2=90° ,|F1F2|=2c, c 2 ∴2a =4c ,∴a= 2c,∴e= = . a 2
2 2

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(2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y), 3 b → → 由AF2=2F2B,解得x= ,y=- , 2 2 9 b2 4 4 x 2 y2 代入 2+ 2=1,得 2+ 2=1, a b a b 9 1 即 2+ =1,解得a2=3, 4a 4 ∴b2=a2-c2=2. x2 y2 所以椭圆方程为 + =1. 3 2

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x2 y2 4.(2013· 课标全国卷Ⅱ)设椭圆C: 2+ 2=1(a>b>0)的 a b 左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠ PF1F2=30° ,则C的离心率为( 3 A. 6 1 C. 2 1 B. 3 3 D. 3 )

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【解析】 如图,在Rt△PF1F2中,∠PF1F2=30° , ∴|PF1|=2|PF2|, 3 且|PF2|= |F1F2|, 3 又|PF1|+|PF2|=2a, 2 2 3 ∴|PF2|= a,于是|F1F2|= a, 3 3 c 3a 3 因此离心率e= = = . a 3a 3

【答案】 D

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例4

(解题示范)(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0,- 3), (0, 3)的距离之 和等于 4,设点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程; (2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A, → → B 两点,则 k 为何值时OA⊥OB?此 时|A B |的值是多少?



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课堂互动讲练

【解】 (1)设 P(x , y), 由椭圆定义可知, 点 P 的轨迹 C 是以(0 ,- 3), (0 , 3)为焦 点,长半轴为 2 的椭圆,它的短半轴 b= 22-( 3)2=1, 2 y 故曲线 C 的方程为 x 2+ =1. 4分 4

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课堂互动讲练

(2)设 A (x 1,y1),B (x 2,y2), y2 2 x + =1, 4 其坐标满足 y=kx +1, 消去 y 并整理,得(k 2+4)x 2+2kx -3=0, 2k 3 故 x 1+x 2=- 2 , x 1x 2=- 2 . 8分 k +4 k +4 → → 若OA ⊥OB ,则 x 1x 2+y1y2=0.

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课堂互动讲练

→ |AB |= (x 2-x 1)2+(y2-y1)2 = (1+k 2)(x 2-x 1)2, 而(x 2-x 1)2=(x 2+x 1)2-4x 1x 2 42 12 43×13 = 2 +4 × = . 2 17 17 17 → 4 65 所以|AB |= . 12 分 17

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规律方法3 1.解答直线与椭圆的题目时,常把两个曲线 的方程联立,消去x(或y)得到一元二次方程,然后利用根与 系数的关系,并结合已知条件建立有关参数的等量关系(如本 例建立参数k的等量关系). 2.直线与椭圆相交的弦长公式:|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2].

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2.(2011· 课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C 2 的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为 .过F1的直 2 线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程 为 .

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x2 y2 【解析】 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 因为AB过F1且A、B在椭圆上,则△ABF2的周长为|AB|+ |AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16. c 2 ∴a=4.由e= = ,得c=2 2,则b2=8, a 2 x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 16 8
x2 y2 【答案】 + =1 16 8


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