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等比数列练习题


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等比数列
注意事项:1.考察内容:等比数列 2.题目难度:中等题型 3.题型方面:10 道选择,4 道填空,4 道解答。 4.参考答案:有详细答案 5.资源类型:试题/课后练习/单元测试

一、选择题
1.等比数列 {an } 的各项均为正数,且 a5 a6

+ a4 a7 =18,则 log 3 a1 + log 3 a2 + L + log 3 a10 =
C. 8 D.2+ log 3 5

A.12

B.10

2.在等比数列 {a n } 中, a 7

? a11 = 6, a 4 + a14 = 5 ,则
C.

a 20 =( a10



2 3 或 3 2 3.等比数列 {an } 中,已知 a1a2 a12 = 64 ,则 a4 a6 的值为(
A. B. A.16 B.24 C.48

2 3

3 2

D. - ) D.128

2 3 或- 3 2

4.实数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 依次成等比数列,其中 a1=2,a5=8,则 a3 的值为(

) D. 5

A. -4
5.设等比数列{

B.4

C. ±4 ,若

an }的前 n 项和为 Sn
B.

S6 =3 ,则 S3
C.

S9 = S6
D. 3 )

A. 2

7 3

8 3

6.等比数 列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 4

= 2S 2 ,则公比为(
C.

A.1

B.1 或-1

1 1 或? 2 2

D.2 或-2

7.已知等比数列{an }的公比为 2,前 4 项的和是 1,则前 8 项的和为

A .15

B.17

C.19

D .21 ( D、 S4 ) )

8.已知等比数列 { an } 的首项为 8,Sn 是其前 n 项的和,某同学经计算得 S2=20,S3=36,S4=65,

后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为 A、 S1 B、S2 C、 S3
9.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n

= aq n ( a ≠ 0 , q ≠ 1 , q 为非零常数),则数列 {an } 为(

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等比数列也不是等差数列 D.既是等差数列又是等比数列 10.某人为了观看 2008 年奥运会,从 2001 年起每年 5 月 10 日到银行 存入 a 元定期储蓄,若 年利率为 p 且保持不变,并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期,到 2008 年将 所有的存款和利息全部取回,则可取回的钱的总数(元)为( ) .
5

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A

a(1+p) 7

B a(1+p) 8

C

a [(1 + p ) 7 ? (1 + p )] p

D

a [(1 + p ) 8 ? (1 + p ) ] p

二、填空题
11.若各项均为正数的等比数列 {an } 满足 a2

= 2a3 ? 3a1 ,则公比 q =
a1 + a2 = ______. b2



12.已知 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则 13. 等比数列{ an }的公比 q

> 0 , 已知 a2 =1, an + 2 + an +1 = 6an ,则{ an }的前 4 项和 S4 = + a ? 2 ,则 a n =_______.

_____
14.等比数列 {a n } 的前 n 项和 S n = a ? 2
n

三、解答题
15.设二次方程 an x
2

? an +1 x + 1 = 0(n ∈ N ? ) 有两个实根 α 和 β ,且满足

6α ? 2αβ + 6 β = 3 .
(1)试用 an 表示 an +1 ; (2)求证: {an ? } 是等比数列; (3)当 a1 =

2 3

7 时,求数列 {an } 的通项公式. 6

?1 ? an + n, n为奇数 16.已知数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = ? 2 ,且 bn = a2 n ? 2 , n ∈ N * ?an ? 2n, n为偶数 ?
(Ⅰ)求 a2 , a3 , a4 ; (Ⅱ)求证数列 {bn } 为等比数列并求其通项公式; (Ⅲ)求和 Tn = a2 + a4 + a6 L + a2 n
5

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17.在等 比数列 {a n } 中, 1 a

> 1, 公比 q > 0 , bn = log 2 a n , b1 + b3 + b5 = 6, b1b3b5 = 0. 设 且

(1)求证:数列 {bn } 是等差数列; (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 S n 及数列 {a n } 的通项公式; (3)试比较 a n 与 S n 的大小.

18.等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列.

(1)求 {a n } 的公比 q ; (2)若 a1 ? a3 = 3 ,求 S n .

答案
一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 二、填空题

3 2 5 12. ;解析 解析:∵1, a1, a2, 4 成等差数列,∴ a1 + a2 = 1 + 4 = 5 ;∵1, b1, b2, b3, 4 成等比数列, 解析 2
11.
5

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∴ b2 = 1× 4 = 4 ,又 b2 = 1× q > 0 ,∴ b2 = 2 ;∴
2 2

a1 + a2 5 = ; b2 2

13.

15 2
n ?1

14. 2

三、解答题 15.(1)解析: α 解析: 解析

+β =

an +1 6a 1 2 , αβ = ,而 6α ? 2αβ + 6 β = 3 ,得 n +1 ? = 3 , an an an an

1 1 an + ; 2 3 1 1 2 1 2 2 (2)证明 证明:由(1) an +1 = an + ,得 an +1 ? = ( an ? ) ,所以 {an ? } 是等比数列; 证明 2 3 3 2 3 3 7 2 7 2 1 1 (3)解析:当 a1 = 时, {an ? } 是以 ? = 为首项,以 为公比的等比数列, 解析: 解析 6 3 6 3 2 2 2 1 1 2 1 an ? = × ( ) n ?1 ,得 an = + ( ) n (n ∈ N ? ) . 3 2 2 3 2
即 6an +1 ? 2 = 3an ,得 an +1 =
16.解析 (Ⅰ) a2 解析:

3 5 7 = , a3 = ? , a4 = 2 2 4

1 a2 n ?1 + (2n ? 1) ? 2 2 1 1 1 = [a2 n ? 2 ? 2(2n ? 2)] + (2n ? 1) ? 2 = [a2( n ?1) ? 2] = bn ?1 2 2 2 1 1 1 n ?1 1 n ∴ 又b1 = a2 ? 2 = ? ∴ bn = ? ? ( ) = ?( ) 2 2 2 2
(Ⅱ)当 n ≥ 2时, bn = a2 n ? 2 = a(2 n ?1) +1 ? 2 = (Ⅲ)∵ a2 n = bn + 2 ∴ Tn = a2 + a4 L + a2 n

1 1 [1 ? ( )n ] 2 + 2n = ( 1 ) n + 2n ? 1. = (b1 + b2 + L + bn + 2n) = ? 2 1 2 1? 2
17.解析 (1)由已知 bn +1 解析:

? bn = log 2

a n +1 = log q 为常数.故数列 {bn }为等差数列, an
4分

且公差为 d = log 2 q.

(先求 q 也可)

(2)因 a1 > 1, ? b1 = log 2 a1 > 0 ,又 b1 + b3 + b5 = 6 ? b3 = 2 ,所以 b5 = 0.

5

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由?

?b3 = b1 + 2d = 2, 9n ? n 2 ? b1 = 4, d = ?1 ? S n = . 2 ? b5 = b1 + 4d = 0
8分

由?

? d = log 2 q = ?1 1 ? a1 = 16, q = ? a n = 2 5?n , n ∈ N * . 2 ?b1 = log 2 a1 = 4

(3)因 a n > 0, 当 n ≥ 9 时, S n ≤ 0 ,所以 n ≥ 9 时, a n > S n ; 又可验证 n = 1,2 是时, a n > S n ; n = 3,4,5,6,7,8 时, a n < S n .
18.解析 (1) 解析: 由题意有 a1

12 分

1 + (a1 + a1 q ) = 2(a1 + a1 q + a1 q 2 ) , a1 ≠ 0, q ≠ 0 , q = ? . 又 故 2 1 n 4[1 ? (? ) ] 1 2 8 1 2 = [1 ? (? ) n ]. (2)由已知得 a1 ? a1 ( ? ) = 3 ? a1 = 4. 从而 S n = 1 2 3 2 1 ? (? ) 2

5


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