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椭圆的简单几何性质导学案


椭圆的简单几何性质导学案
学科:高二数学 编写人:邓朝华 课型:新授课 课时: 2 课时 审核人:陈 平 班级: 编写时间:2013-1-18 姓名:

【导案】
【学习目标】
1.掌握椭圆简单的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率等。 2. 体会和运用代数方法研究曲线的几何性质。

【学习重点、难点】
重点:椭圆的简单几何性质 难点:用代数方法研究椭圆的几何性质

【学案】
1. 椭圆的简单几何性质

图形

标准方程 焦点 焦距 范围 性 对称性 顶点坐标 质 轴 离心率 准线方程

x2 a2



y2 =1(a>b>0) b2

x2 y2 + =1(a>b>0) b2 a2
F1_______,F2_______ |F1F2|=_______(c>0)

F1_______,F2_______ |F1F2|=_______(c>0)

对称轴___________ 对称中心:_______ A1_______, A2_______ B1, _______B2_______ 长轴_______的长为_______ 短轴_______的长为_______ e=_______∈_______ 其中 c=_______

对称轴___________ 对称中心:_______ A1_______, A2_______ B1, _______B2_______ 长轴_______的长为_______ 短轴_______的长为_______ e=_______∈_______ 其中 c=_______

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2. 直线和椭圆的位置关系 直线和椭圆的位置关系有三种:________、________、________。 直线与椭圆相交所得的弦长公式 设直线 y=kx+b 交椭圆于 P1(x1, y1), P2(x2, y2),
2 2 则|P1P2 = ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) = ( x1 ? x 2 ) [1 ? (

2

y1 ? y 2 2 ) ] x1 ? x2

2 2 = ( x1 ? x 2 ) (1 ? k )

所以|P1P2 =|x1-x2|? 1 ? k 2 ,或|P1P2 =|y1-y2|? 1 ?

1 (k≠0) k2

(3)方程的解与直线位置关系 将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数,得到一个一元二次方程,判断方程解的 情况 △>0,方程有两个不同的解,则直线与椭圆________; △=0,方程有两个相等的解,则直线与椭圆________; △<0,方程无解,则直线与椭圆________。 3. 例题分析 【例 1】求椭圆 16x2+25y2=400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。 【例 2】如图,一处电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一 周形成的曲面)的一部分。过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦 点 F1 上,片门位于另一个焦点 F2 上。由椭圆一个焦点 F1 发出的光线,经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点 F2。已知 BC⊥F1F2,|F1B|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm。试建立适当的坐 标系,求截口 BAC 所在椭圆的方程(精确到 0.1cm)

【例 3】点 M(x, y)与定点 F(4, 0)的距离和它到直线 l:x= 点 M 的轨迹。 【例 4】已知椭圆

25 4 的距离的比是常数 ,求 4 5

x2 y2 + =1,直线 l:4x-5y+40=0。椭圆上是否存在一点,它到 25 9

直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 【达标检测】教材 P48 T1—7

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椭圆的简单几何性质练案(一)
学科:数学 班级: 编写人:邓朝华 审核人:陈 平 编写时间:2013.1.18 姓名: 评分:

【A 级】
1. 已知椭圆 x2+(m+3)y2=m 的离心率 e= 坐标、顶点坐标,并画出草图。

3 ,求 m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点 2

2.已知椭圆

x2 a2



y2 =1(a>b>0),A,B 是其长轴的两个端点,若椭圆上存在一个点 Q, b2

使∠AQB=120°,求椭圆 C 的离心率 e 的取值范围。

3. (1)求与椭圆

x2 y2 5 + =1 有相同的焦点,且离心率为 的椭圆的标准方程; 9 4 5

(2)椭圆以直线 3x+4y-12=0 和两轴的交点分别作顶点和焦点,求椭圆的标准方程。

【B 级】 1.已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的左顶点为 A,上顶点为 B,左焦点 F1 到直线 AB 的距离为

7 |OB|,求椭圆的离心率。 7

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2.已知椭圆

x2 a2



y2 =1(a>b>0)与 x 轴的正半轴交于点 A,O 是原点,若椭圆上存在一 b2

点 M,使 MA⊥MO,求椭圆的离心率 e 的取值范围。

3.已知椭圆的对称轴是坐标轴,O 是坐标原点,F 是一个焦点,A 是一个顶点,若椭圆长 轴长是 6,且 cos∠OFA=

2 ,求椭圆方程。 3

4.椭圆过(3,0) ,离心率 e=

6 ,求椭圆的标准方程。 3

【C 级】 1.P 是椭圆

x2 a2



y2 =1(a>b>0)上且位于第一象限的一点,F 是椭圆的右焦点,O 是椭 b2 a2 (c 为椭圆的半焦距)与 x 轴的交点,若 c

圆中心,B 是椭圆的上顶点,H 是直线 x=- PF⊥OF,HB∥OP,试求椭圆的离心率 e.

2. 已知椭圆 C:

x2 a2



y2 =1,以正三角形 ABC 的顶点 A,B 为焦点,且 AC,BC 的中点 b2

M,N,求椭圆 C 的离心率 e。

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椭圆的简单几何性质练案(二)
学科:数学 班级: 编写人:邓朝华 审核人:陈 平 编写时间:2013.1.18 姓名: 评分:

【A 级】
1.椭圆的两个焦点和中心将两条准线间的距离四等分,则一焦点与其短轴二端点连线的夹 角是( ) A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 2. 已知椭圆 C:

x2

a2



y2 x2 y2 =1 与椭圆 + =1 有相同离心率, 则圆 C 的方程可能是 ( 4 8 b2
B.



A.

x2 y2 + =m2(m≠1) 8 4

x2 y2 + =1 16 64

x2 y2 C. + =1 8 2
3.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e=

D. 以上都不可能

2 ,长轴为 6,那么椭圆的方程为( 3
B.



A.

x2 y2 + =1 36 20
x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1 20 36 36 20

x2 y2 + =1 9 5 x2 y2 x2 y2 + =1 或 + =1 9 5 5 9

C.

D.

4.设 F1、F2 是椭圆的两个焦点,点 P 是椭圆短轴的一个顶点,且∠F1PF2=120°,则椭圆 的离心率 e 的值是( ) A.

3 2

B.

2 3

C.

3 -1

D.

2 -1

5.点 P 是椭圆

x2 y2 + =1 上一点,以点 P 及焦点 F1、F2 为顶点的三角形的面积为 1,则 5 4
) B. (

P 的坐标为( A. (±

15 ,1) 2

15 ,±1) 2

C. (

15 , 1) 2

D. (±

15 ,±1) 2


6.已知点(m, n)在椭圆 8x2+3y2=24 上,则 2m+4 的取值的范围是( A. [4-2 3 , 4+2 3 ]
第 5 页 共 10 页

B. [4- 3 , 4+ 3 ]

C. [4-2 2 , 4+2 2 ]

D. [4- 2 , 4+ 2 ]

7. 已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF 1 ? MF2 =0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离 心率的取值范围是( A.(0,1) 【B 级】 8.已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 )

B. (0,

1 ] 2

C. (0,

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2

3 ,且 G 上一点到 G 的两 2

个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为________________________。 9.椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列,则离心率等于_____________________。 10.F1,F2 是椭圆

x2 a2



y2 =1 的左、右两焦点,P 为椭圆的一个顶点,若△PF1F2 是等边 9

三角形,则 a2=________________________。 【C 级】 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆

x2 a2



y2 =1(a>b>0)的四 b2

个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,求该椭圆的离心率。

12.椭圆

x2 a2



y2 =1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两端点的连续互相垂直,且此焦点和 b2

长轴上较近的端点距离为 4 3 -2 6 ,求此椭圆方程。

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椭圆的简单几何性质练案(三)
学科:数学 班级: 编写人:邓朝华 审核人:陈 平 编写时间:2013.1.18 姓名: 评分:

【A 级】
1.如图,椭圆

x2 a2



y2 =1(a>b>0)与过点 A(2,0) 、B(0,1)的直线有且只有一个公 b2

共点 T,且椭圆的离心率 e= (1)求椭圆的方程;

3 . 2
1 |AF1|?|AF2|。 2

(2)设 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点,求证:|AT|2=

2.过点 A(2,1)引直线与椭圆 的中点,求直线 PQ 的方程。

x2 y2 + =1 相交于 P、Q 两点,若点 A 恰好是线段 PQ 16 9

3.如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右端 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这 四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D。 (1)设 e=

1 ,求|BC|与|AD|的比值; 2

(2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由。

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【B 级】 1.已知椭圆 4x2+y2=1 直线 y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数 m 的取值范围。 (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程。

2.已知椭圆

x2 y2 + =1。求 16 4

(1)以 P(2,-1)为中点的弦所在直线的方程; (2)斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程; (3)过 Q(8,2)的直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程。

3.设椭圆 C:

x2 a2



y2 =1(a>b>0)过点 M( 2 ,1) ,且左焦点为 F1(- 2 ,0) 。 b2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)当过点 P(4,1)的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A,B 时,在线段 AB 上取点 Q,满足| AP |?| QB |=| AQ |?| PB |。证明:点 Q 总在某定直线上。

【C 级】 1.已知椭圆 x2+

y2 =1,过点 A(1,1)能否作一直线 l 与所给椭圆交于两点 Q1、Q2,且 2

点 A 恰好为线段 Q1Q2 的中点?

2.过点 P(0,2)作直线 l 交椭圆 C: 求直线 l 的方程。

x2 +y2=1 于 A、B 两点,当△AOB 的面积最大时, 2

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椭圆的简单几何性质练案(四)
学科:数学 班级: 编写人:邓朝华 审核人:陈 平 编写时间:2013.1.18 姓名: 评分:

【A 级】
1. 若直线 y=x+t 与椭圆

x2 +y2=1 相交于 A、 B 两点, 当 t 变化时, |AB|的最大值为 ( 4
B.



A. 2

4 5 5

C.

4 5

10

D.

8 10 5

y2 2.已知椭圆 + 2 =1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x b a2
轴,直线 AB 交 y 轴于点 P。若 AP =2 PB ,则椭圆的离心率是( A. )

x2

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2


3. 若椭圆

x2 y2 + =1 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在的直线的斜率为( 16 9
B. -2 C.

A. 2

1 3

D. -

1 2

4. 设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1F2P 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2- 2

D.

2 -1

5. 已知椭圆

1 x2 y2 + =1,F 是其右焦点,过 F 作椭圆的弦 AB,设|AF|=m, |BF|=n,则 + m 4 3
) B.

1 的值为( n 2 A. 3

4 3

C.

3 2

D.

3 4

6. 已知 F1、F2 为椭圆

x2 y2 + =1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点。若|F2A| 25 9

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+|F2B|=12,则|AB|=___________________。 【B 级】 7. 过椭圆左焦点 F 倾斜角为 60°的直线交椭圆于 A、B 两点,若|FA|=2|FB|,则椭圆的离 心率为_____________________。 8.椭圆

x2 +y2=1 上的点到直线 x-y+6=0 的距离的最小值是______________。 3
3 ) ,两个焦点为(-1,0) , (1,0) 。 2

【C 级】 9.已知,椭圆 C 过点 A(1,

(1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 的椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值。

10. 已知直线 l 交椭圆

x2 y2 + =1 于 M、 N 两点, B (0, 4) 是椭圆的一个顶点, 若△BMN 20 16

的重心恰是椭圆的右焦点,求直线 l 的方程。

11.已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1。 (1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形 ABCD 面积的最大值。

x2 y2 12.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶点,过坐标原 4 2
点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C。 连接 AC,并延长交椭圆于点 B。设直线 PA 的斜率为 k。 (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)为对任意的 k>0,求证:PA⊥PB。

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