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高中数学人教A版必修5课件:第二章2.2.1等差数列(1)_图文

2.2.1等差数列 【课标要求】 1.通过实例,理解等差数列和等差中项的概念,深化认识并 能运用. 2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式 解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一次函数的关系. 在过去的三百 多年里,人们 分别在下列时 间里观测到了 哈雷慧星: 相差76 (1)1682,1758,1834,1910,1986,( 2062 ) 你能预测出下一次的大致 时间吗? 通常情况下,从地面到10公 里的高空,气温随高度的变 化而变化符合一定的规律, 请你根据下表估计一下珠穆 朗玛峰峰顶的温度。 8844.43米 减少6.5 高度(km) 温度(℃) 1 2 3 4 8.5 5 2 6 -4.5 7 -11 … … 9 -24 28 21.5 15 (2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24. 请观察: (2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24 d=76 (1)1682,1758,1834,1910,1986,2062 d=-6.5 (3)1,1,1,1, · · ·. d=0 定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的 前一项 的差都等于 同一个常数,那么这个数列 请问: 它们有什么共同特点? 共同特点: 从第 2项起,每一项与 就叫做等差数列 . 它的前一项的差等于同一个常 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用 d 数。 表示. 即an ? an?1 ? d (n ? 2)或an?1 ? an ? d (n ? 1) 它们是等差数列吗? (5) (6) (7) 【说明】 数列{ an }为等差数列? 1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10 × 公差 d= 2x 5,5,5,5,5,5,…公差 d=0 常数列 x,3x,5x, 7 x,9 x, an+1-an=d(n≥1) 思考:根据规律填空? 你能求出该数列的通项公式吗? (3) 1,4,7,10,13,16,( 19),( 22)…… a4 ? 10 ? 7 ? 3 ? 1 ? 3? 3 an ? 1 ? (n ?1) ? 3 a3 ? 7 ? 4 ? 3 ? 1 ? 2 ? 3 a2 ? 4 ? 1 ? 3 a20 ? a5 ? … 13… ? 10 ? 3 ? 1 ? 4 ? 3 a20 ? 58 学做思一 求等差数列的通项公式 导学:请同学们思考,如何求一个等差数列的通 项公式 可得: a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d …… 等差数 列的通 项公式 a2=a1+d a3=a2+d=a1+2d a4=a3+d=a1+3d …… an-an-1=d an=a1+(n-1)d an=a1+(n-1)d 当n=1时,等式也成立。 方法二 已知等差数列{an}的首项是a1,公差是d 累差迭加法 a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d …… (1) (2) (3) an-an-1=d (1)式+(2)式+…+(n-1)式得: (n-1) 即 an=a1+(n-1)d an-a1=(n-1)d, 例题讲解 导学:请同学们独立思考完成例1,小组展示 例1:(1)求等差数列8,5,2,…的第20项 (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13,… 的项?如果是,是第几项? 解: (1)由a1=8, d=5-8=-3, n=20,得 (-3) =-49 a20= 8 + (20-1)× (2) 由a1=8, d=-9-(-5)=-4, 得到这个数列的通项公式为 an=-5-4(n-1) 由题意知,问是否存在正整数n,使得 -401= -5-4(n-1) 成立 解关于n的方程, 得n=100 即-401是这个数列的第100项。 例2 在等差数列{an}中,已知a5=10, a12=31,求首项a1 与公差d. 导学:利用通项公式转化成首项和公差 联立方程求解 解:由题意知, a5=10=a1+4d a12=31=a1+11d a1=-2 d=3 解得: 即等差数列的首项为-2,公差为3 导思: 求等差数列通项公式的关键步骤: 求基本量a1和d :根据已知条件列方程, 由此解出a1和d ,再代入通项公式。 像这样根据已知量和未知量之间的关系, 列出方程求解的思想方法,称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。 思考:数列 an ? 3n ? 5 是等差数列吗? 由定义,判断一个数列是不是等差数列只需 要判断 an ? an?1 (n ? 2) 是不是一个与n无关 的常数 an ? an?1 ? 3n ? ?3(n ?1) ? 5? ? 3 所以数列 an ? 3n ? 5 是等差数列 已知数列{ an }的通项公 式 an ? pn ? q ,其中p、q为常 数,这个数列是等差数列吗? an ? an?1 ? ( pn ? q) ? ? p(n ? 1) ? q? ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 所以数列 an ? pn ? q 是等差数列 问:这个数列的首项和公差分别是多少? a1 ? p ? q 数列是一种特殊的函数,那么由此题启示,等差数列 是哪一类函数? 等差数列是关于正整数n的一次函数或常函数(d=0 时) 等差数列的图像是什么样子的? 均匀分布在一条直线上的一 群孤立的点 d?p 接轨高考 (此题为2003年全国高考题) 1 等差数列{an}中,已知 a1 ? , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 3 则n的值为(C ) A.48 B.49 C.50 D.51 古题今解 我国古代算书《孙子算经》卷中第25题记 有:“今有五等诸侯,共分橘子六十颗。 人分加三颗。问:五人各得几何?” 分析: 此题已知a1+a2+a3+a4+a5=60

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