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专题8 排列组合二项式定理


专题 8 排列组合二项式定理 0417 打印

排 列 组 合 二 项 定理 知 识 要 点
一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可 以有 重复 元素 的排列. . .. .. .. 从 m 个不同元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排, 那么第一、第二……第 n 位上选取元素的方法都是 m 个,所以从 m 个不同元素中,每次取 出 n 个元素可重复排列数 m·m·… m = mn.. 例如:n 件物品放入 m 个抽屉中,不限放法,共 有多少种不同放法? (解: m 种)
n

二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序 排成一列,叫做从 n 个不同 ...... 元素中取出 m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相 同. ?排列数. 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素排成一列, 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一
m 个排列. 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数,用符号 An 表示.

?排列数公式:
A m ? n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) ? n! ( m ? n, n, m ? N ) (n ? m)!

注意: n ? n! ? (n ? 1)!?n!

规定 0! = 1
m m?1 An ? nAn ?1

m m m m?1 m m?1 An ? 1 ? A n ? Am ?C n ? A n ?mA n

0 规定 C n ?C n n?1

2. 含有可重元素 的排列问题. ...... 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有 k 个不同元素 a1,a2,…...an 其中限重复数 为 n1、n2……nk,且 n = n1+n2+……nk , 则 S 的排列个数等于 n ?

n! . n1!n2 !...nk !

例如:已知数字 3、2、2,求其排列个数 n ? (1 ? 2)! ? 3 又例如:数字 5、5、5、求其排列个 1!2! 数?其排列个数 n ? 3! ? 1 .
3!

三、组合. 1. ?组合:从 n 个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出

m 个元素的一个组合. ?组合数公式: C m n?
m

Am n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! n ? Cm n? m m! m!(n ? m)! Am
n ?m n;

?两个公式:① C n ?C

②C

m?1 m m n ?C n ?C n ?1

①从 n 个不同元素中取出 m 个元素后就剩下 n-m 个元素,因此从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的, 因此是一样多的就是说从 n 个不同元素中取出 n-m 个元素的唯 一的一个组合. (或者从 n+1 个编号不同的小球中,n 个白球一个红球,任取 m 个不同小球其不同选法,分
m 1 m ?1 二类,一类是含红球选法有 C m ?n ?C1 1 ?C n 一类是不含红球的选法有 C n )

②根据组合定义与加法原理得;在确定 n+1 个不同元素中取 m 个元素方法时,对于某一元 素, 只存在取与不取两种可能, 如果取这一元素, 则需从剩下的 n 个元素中再取 m-1 个元素, 所以有 C
m ?1 如果不取这一元素, 则需从剩余 n,

n 个元素中取出 m 个元素, 所以共有 C n 种,

m

依分类原理有 C

m?1 m m n ?C n ?C n ?1 .

?排列与组合的联系与区别. 联系:都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素. 区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. m+1 m m ?①几个常用组合数公式Cm+n+1 =Cn +Cm+1
0 1 2 n Cn ?C n ?C n ??? n n ?2
0 2 4 1 3 5 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ?C n ? ? ? 2 n ?1 m m m m ?1 Cm n ? C m ?1 ? C m ? 2 ?C m ? n ?C m ? n ?1 k ?1 kC k n ? nC n ?1

1 1 ?1 Ck Ck n? n ?1 k ?1 n ?1
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
1 2 3 n 1 n ?1 1 1 ? ? ?? ? 1? (利用 ? ? ) 2! 3! 4! (n ? 1)! (n ? 1)! n! (n ? 1)! n!

ii. 导数法. iii. 数学归纳法.

iv. 倒序求和法.
3 3 3 3 4

m ?1 m C 3 ?C 4 ?C 5 ? ?C n ?C n ?1 . v. 递推法(即用 C m n ?C n ?C n ?1 递推)如:

vi. 构造二项式. 如: (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ?C 2n
0 2 1 2 n 2 n

证明:这里构造二项式 ( x ? 1) n (1 ? x) n ? (1 ? x) 2n 其中 x n 的系数,左边为
0 1 n ?1 2 n?2 n 0 0 2 1 2 n 2 ?C 2 n Cn ?C n n ?C n ?C n ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? (C n ) ?(C n ) ? ? ? (C n ) ,而右边

n

四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法. ②排除法. ③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再 考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,一般地,n 个不同元素排成
n ? m?1 ?m?1 m 一列,要求其中某 m(m ? n) 个元素必相邻的排列有 A n n ?m?1 ? A m 个.其中 A n ? m?1 是一个“整体排

列”,而 A m m 则是“局部排列”.
n ?1 2 又例如①有 n 个不同座位,A、B 两个不能相邻,则有排列法种数为An n ? A n ?1 . A 2
?1 2. ②有 n 件不同商品,若其中 A、B 排在一起有 An n?1 ? A2

2 ?1 . ③有 n 件不同商品,若其中有二件要排在一起有 An ? An n?1

注:①③区别在于①是确定的座位,有 A2 种;而③的商品地位相同,是从 n 件不同商品任 2 取的 2 个,有不确定性. ④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主 要解决“元素不相邻问题”.
?m m 例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素互不相邻,不同的排法种数为多少? An (插 n?m ? An?m?1

空法) ,当 n – m+1≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义.
2

⑤占位法: 从元素的特殊性上讲, 对问题中的特殊元素应优先排列, 然后再排其他一般元素; 从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先 特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将 n 个元素进行全排列有 A n n 种, m(m ? n) 个元素的全排列有 A m m 种,由于要求 m 个元素次序一定,因此只能取其中的某 一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若 n 个元素排成一列,其中 m 个元素次序 一定,共有
An n Am m

种排列方法.

例如:n 个元素全排列,其中 m 个元素顺序不变,共有多少种不同的排法? 解法一: (逐步插空法) (m+1) (m+2)…n = n!/ m! ;解法二: (比例分配法) A n / A m . ⑦平均法:若把 kn 个不同元素平均分成 k 组,每组 n 个,共有
n n C kn ?C ( k ?1)n n ?C n

n

m

Ak k

.

例如:从 1,2,3,4 中任取 2 个元素将其平均分成 2 组有几种分法?有

C2 4 ? 3 (平均分组 2!

就用不着管组与组之间的顺序问题了) 又例如将 200 名运动员平均分成两组, 其中两名种子 选手必在一组的概率是多少? ( P?
8 2 C18 C2 10 C 20 / 2!



注意:分组与插空综合. 例如:n 个元素全排列,其中某 m 个元素互不相邻且顺序不变,共 有多少种排法?有 An?m ? An?m?1 / Am ,当 n – m+1 ≥m, 即 m≤ n ? 1 时有意义. 2 ⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
n ?m m m

例如:x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 的正整数解的组数就可建立组合模型将 12 个完全相同的球排成一列, 在它们之间形成 11 个空隙中任选三个插入 3 块摸板,把球分成 4 个组.每一种方法所得球的 数目依次为 x1 , x 2 , x 3 , x 4 显然 x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 12 ,故( x1 , x 2 , x 3 , x 4 )是方程的一组解.反之,方 程的任何一组解 ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ,对应着惟一的一种在 12 个球之间插入隔板的方式(如图
x1 x2
3 11

x3

所示)故方程的解和插板的方法一一对应 . 即方程的解的组数等于插隔板的方 x4
a1 , a 2 ,... a n

法数 C . 注 意 : 若 为 非 负 数 解 的 x 个 数 , 即 用

中 ai 等 于

xi ? 1

, 有
n ?1

x1 ? x2 ? x3 ... ? xn ? A ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ...an ? 1 ? A , 进而转化为求 a 的正整数解的个数为 C A ? n .

⑨定位问题:从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列规定某 r 个元素都包含在内, 并且都排在某 r 个指定位置则有
?r A rr A k n?r .

例如:从 n 个不同元素中,每次取出 m 个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固 定在)某一位置上,共有多少种排法?
m 1 m?1 固定在某一位置上: A n?1 ;不在某一位置上: A n ? A n?1 或 An? (一类是不取出 1 ? Am?1 ? A n?1

m?1

m

m?1

特殊元素 a,有 An?1 ,一类是取特殊元素 a,有从 m-1 个位置取一个位置,然后再从 n-1 个 元素中取 m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题. i. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同的元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都包含在
r k ?r k ?r k 内 。先 C 后 A 策略,排列 C rr C n ? r A k ;组合 C r C n ? r .

m

ii. 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定某 r 个元素都不包含在
k 内。先 C 后 A 策略,排列 C n ? rk A k k ;组合 C n ? r .

iii 从 n 个不同元素中每次取出 k 个不同元素作排列(或组合) ,规定每个排列(或组合)都 只包含某 r 个元素中的 s 个元素。先 C 后 A 策略,排列 C r C n ? r A k ;组合 C r C n ? r . II. 排列组合常见解题策略: ①特殊元素优先安排策略;②合理分类与准确分步策略;③排列、组合混合问题先选后排的 策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列) ;④正难则反,等价转化策略; ⑤相邻问题插空处理策略; ⑥不相邻问题插空处理策略; ⑦定序问题除法处理策略; ⑧分排问题直排处理的策略; ⑨“小 集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题. ①均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,假定其中 r 组元素个数相等,不管
s k ?s k

s

k ?s

是否分尽,其分法种数为 A / A r (其中 A 为非均匀不编号分组中分法数).如果再有 K 组均 r 匀分组应再除以 A k .(我以列说明:6 本书平均分给 3 个人,只需在 6 本书里任意分成 3 份后 k 分给三人。而 6 本书分给甲乙丙三人,除从 6 本书取出后,还要排列就是均匀编号分组.6 本 书安 3,2,1,本分给三人就是非均匀不编号分组这三人是任意不排列的) 例:10 人分成三组,各组元素个数为 2、4、4,其分法种数为 C 10 C 8 C 4 / A2 ? 1575.若分成
2 4 4 2
1 1 2 2 2 2 4 六组,各组人数分别为 1、1、2、2、2、2,其分法种数为 C10 C 9 C 8 C 6 C 4 C 2 / A2 2 ? A4

②非均匀编号分组: n 个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其 分法种数为 A ? Am m 例: 10 人分成三组,各组人数分别为 2 、 3 、 5 ,去参加不同的劳动,其安排方法为:
2 3 3 C10 ?C 8 ?C 5 5 ? A3 种.

若从 10 人中选 9 人分成三组,人数分别为 2 、3、 4 ,参加不同的劳动,则安排方法有
2 3 4 C 10 C 8 C 5 ? A3 3种

③均匀编号分组:n 个不同元素分成 m 组,其中 r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其
m 分法种数为 A / Ar . r ? Am

2 4 4 C 10 C 8C 4 3 ? A3 例:10 人分成三组,人数分别为 2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为 A2 2

④非均匀不编号分组:将 n 个不同元素分成不编号的 m 组,每组元素数目均不相同,且不 考虑各组间顺序,不管是否分尽,其分法种数为 A
m2 mk 1 ? Cm n C n - m1 … C n -(m1 ? m2 ?... ? mk -1 )

例:10 人分成三组,每组人数分别为 2、3、5,其分法种数为 C 102C 83C 5 若从 10 人中选 5 ? 2520
3 出 6 人分成三组,各组人数分别为 1、2、3,其分法种数为 C 101C 92C 7 ? 12600 .

五、二项式定理.
0 n 0 1 n ?1 r n ?r r n 0 n 1. ?二项式定理: (a ? b) n ?C n a b ?C n a b ? ? ?C n a b ? ? ?C n a b .

展开式具有以下特点: ① 项数:共有 n ? 1 项;
0 1 2 r ② 系数:依次为组合数 C n ,C n ,C n , ?,C n , ?,C n n;

③ 每一项的次数是一样的,即为 n 次,展开式依 a 的降幕排列,b 的升幕排列展开. ?二项展开式的通项.
(a ? b) n 展开式中的第 r ? 1 项为: T r ?1?C n a
r n ?r r

b (0 ? r ? n, r ? Z ) .

?二项式系数的性质. ①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;

②二项展开式的中间项二项式系数 最大. .....
n I. 当 n 是偶数时,中间项是第 ? 1 项,它的二项式系数 C 2 n 最大; 2
n

II. 当 n 是奇数时, 中间项为两项, 即第 最大. ③系数和:
0 1 n Cn ?C n ? ? ?C n n ?2 0 2 4 1 3 Cn ?C n ?C n ? ? ?C n ?C n ? ? ?2 n?1

n ?1 n ?1 项和第 它们的二项式系数 C ? 1 项, 2 2

n ?1 n ?1 2 ?C 2 n n

附:一般来说 (ax ? by) n (a, b 为常数)在求系数最大的项或最小的项 时均可直接根据性质二 ...........
?A ? A , ?A ? A 求解. 当 a ? 1或 b ? 1 时,一般采用解不等式组 ? k k ?1 或? k k ?1 ( A k 为T k ?1 的系数或系 ? A k ? A k ?1 ? A k ? A k ?1

数的绝对值)的办法来求解. ?如 何来求 (a ? b ? c) n 展 开式中含 a p b q c r 的系 数呢?其 中 p, q, r ? N , 且 p ? q ? r ? n 把
r (a ? b ? c) n ? [(a ? b) ? c] n 视 为二项 式, 先找出 含有 C r 的 项 C n (a ? b) n?r C r , 另一方 面在
p q r n q n ?r ?q q q p q (a ? b) n ?r 中 含 有 b q 的 项 为 C n?r a b ?C n?r a b , 故 在 ( a ? b ? c) 中 含 a b c 的 项 为

r q p q r Cn C n?r a b c .其系数为 C nr C n ?q r?

(n ? r )! n! n! p q r ? ? ?C n C n? p Cr . r! (n ? r )! q! (n ? r ? q )! r! q! p!

高考提高练习:
4 在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
2 5

1 x

)

A. ?10 C. ? 5 答案 解析 B

B. 10 D. 5

对于 Tr ?1 ? C5 ( x )
r

2 5? r

1 r 4 (? ) r ? ? ?1? C5r x10?3r , 对于 10 ? 3r ? 4,? r ? 2 , 则x x

2 的项的系数是 C5 (?1)2 ? 10

若 (1 ? 2)5 ? a ? b 2(a, b 为有理数) ,则 a ? b ? A.45 答案 解析 B.55 C.70



) D.80

C 本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.

∵ 1? 2

?

?

5

0 ? C5

? 2?

0

1 ? C5

? 2? ?C ? 2?
1 2 5

2

3 ? C5

? 2? ?C ? 2?
3 4 5

4

5 ? C5

? 2?

5

? 1 ? 5 2 ? 20 ? 20 2 ? 20 ? 4 2 ? 41 ? 29 2 ,
由已知,得 41 ? 29 2 ? a ? b 2 ,∴ a ? b ? 41 ? 29 ? 70 .故选 C.

若 (1 ? 2x)2009 ? a0 ? a1x ? ?? a2009 x2009 ( x ? R) ,则 A. 2 B.0 答案 C 解析 由题意容易发现 C. ?1

a a1 a2 ? 2 ? ? ? 2009 的值为 2 2 22009 D. ?2

1 2008 a1 ? C2009 (?2)1 ? ?2 ? 2009 , a2008 ? C2009 (?2)2008 ? (?2)2008 ? 2009 ,则

a a1 a a ? ?2009, 2008 ? 2009, 即 1 + 2008 =0 , 同理可以得出 2008 2 2 2 22008 a a2006 a2 a2007 + 2007 =0 , 3 + =0 ……… 2 2 2 23 22006
2009 (?2)2009 a2009 a2009 C2009 a1 a2 ? ?1 故选 C. 亦即前 2008 项和为 0, 则原式= ? 2 ? ? ? 2009 = 2009 ? 2 2 2 2 22009

(2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答)

答案 -20 解析

Tr ?1 ? (?1) r C 6r (2 x) 6? r (
3 3

1 r ) ? (?1) r C 6r 2 6? 2 r x 6? 2 r ,令 6 ? 2r ? 0 ,得 r ? 3 2x

故展开式的常数项为 (?1) C6 ? ?20 在 (1 ? x)3 ? (1 ? x )2 ? (1 ? 3 x ) 的展开式中, x 的系数为___7__(用数 字作答) 答案 解析 7 由条件易知 (1 ? x) ,(1 ? x ) ,(1 ? 3 x ) 展开式中 x 项的系数分别是 C3 ,C3 ,C3 ,
3 3 3 1 2 3

即所求系数是 3 ? 3 ? 1? ? 7 ) x y?y x

? 的展开式中 x y 的系数为 6 解:? x y ? y x ? ? x y ( x ? y ) , 只需求 (
4

?

3 3



4

2

2

4

x ? y )4 展开式中的含 xy 项的系数:

2 C4 ?6

高考解答题集锦第二期 (1) 立体几何 (1) (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A 的中 1B 1C1 中, E 、 F 分别是 A 1B 、 AC 1 点,点 D 在 B1C1 上, A 1D ? B 1C 求证: (1)EF∥平面 ABC; 。

? 平面 BB1C1C . (2)平面 A 1FD
【解析】 本小题主要考查直线与平面、平面与平面得位置关系,考查 空间想象能力、推理论证能力。满分 14 分。

(2) . (本小题满分 14 分)

E 是正方形 BCC1B1 的中心,点 如图 6,已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 2,点 F 、 G 分别是棱 C1D1 , AA1 的中点.设点 E1, G1 分别是点 E , G 在平面 DCC1D1 内的
正投影. (1) 求以 E 为顶点, 以四边形 FGAE 在平面 DCC1D1 内的正投影为底面边界的棱锥的体 积; (2)证明:直线 FG1 ? 平面 FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正弦值. 解: (1)依题作点 E 、G 在平面 DCC1D1 内的正投影 E1 、G1 ,则 E1 、G1 分别为 CC1 、

DD1 的中点,连结 EE1 、 EG1 、 ED 、 DE1 ,则所求为四棱锥 E ? DE1 FG1 的体积,其
底面 DE1 FG1 面积为

?

1 1 ? 2 ? 2 ? ? 1? 2 ? 2 , 2 2 1 2 S DE1FG1 ? EE1 ? . 3 3

又 EE1 ? 面 DE1 FG1 , EE1 ? 1 ,∴ V E ? DE1FG1 ?

(2) 以 D 为坐标原点,DA 、DC 、DD1 所在直线分别作 x 轴,y 轴,z 轴, 得 E1 (0,2,1) 、

G1 (0,0,1) ,又 G(2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) ,则 FG1 ? (0,?1,?1) , FE ? (1,1,?1) ,

FE1 ? (0,1,?1) ,
∴ FG1 ? FE ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , FG1 ? FE1 ? 0 ? (?1) ? 1 ? 0 , 即 FG1 ? FE ,

FG1 ? FE1 ,
又 FE1 ? FE ? F ,∴ FG1 ? 平面 FEE1 . ( 3 ) E1G1 ? (0,?2,0) , EA ? (1,?2,?1) ,则 cos ? E1G1 , EA ??

E1G1 ? EA E1G1 EA

?

2 6

,设

异面直线 E1G1与EA 所成角为 ? ,则 sin ? ? 1 ?

2 3 ? . 3 3

(本题满分 15 分)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,E, F , O 分别为 PA ,

PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; ( II )证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面

BOE ,并求点 M 到 OA , OB 的距离.
证明: (I) 如图, 连结 OP, 以 O 为坐标原点, 分别以 OB、 OC、 OP 所在直线为 x 轴, y 轴,

z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz ,
则 O ? 0,0,0? , A(0, ?8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0,0,6), E (0, ?4,3), F ? 4,0,3? ,由题意得,

??? ? ??? ? G ? 0, 4,0? , 因 OB ? (8,0,0), OE ? (0, ?4,3) ,因此平面 BOE 的法 ? ??? ? ? ??? ? 向量为 n ? (0,3, 4) , FG ? (?4, 4, ?3 得 n ? FG ? 0 ,又直线 FG 不
在平面 BOE 内,因此有 FG / / 平面 BOE (II)设点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ,0? ,则 FM ? ( x0 ? 4, y0 , ?3) ,因为

z

???? ?

y

x

???? ? ? 9 9 ? ? FM ? 平面 BOE, 所以有 FM // n , 因此有 x0 ? 4, y0 ? ? , 即点 M 的坐标为 ? 4, ? , 0 ? , 4 4 ? ?
?x ? 0 ? 在平面直角坐标系 xoy 中, ?AOB 的内部区域满足不等式组 ? y ? 0 ,经检验,点 M 的 ?x ? y ? 8 ?
坐标满足上述不等式组,所以在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,由点 M 的 坐标得点 M 到 OA , OB 的距离为 4,

9 . 4
n ?1 2n

在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? ) an ? (I)设 bn ?

1 n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(II)求数列 {an } 的前 分析: (I)由已知有

n 项和 Sn

an ?1 an 1 1 ? ? n ? bn ?1 ? bn ? n n ?1 n 2 2 1 * ( n? N ) 2 n ?1

利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式: bn ? 2 ? (II)由(I)知 an ? 2n ?

n , 2n ?1

? Sn = ? (2k ?
k ?1 n

n

n n k k ) ? ? (2k ) ? ? k ?1 k ?1 2 k ?1 k ?1 2



? (2k ) ? n(n ? 1) ,又 ?
k ?1

k 是一个典型的错位相减法模型, k ?1 k ?1 2

n

易得

?2
k ?1

n

k
k ?1

? 4?

n?2 n?2 ? Sn = n(n ? 1) ? n ?1 ? 4 n ?1 2 2

评析: 本题考查构造新数列和利用错位相减法求前 n 项和, 一改往年的将数列结合不等式放缩法问 题作为押轴题的命题模式。 具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、 基本方法基本技能, 重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 设 ?an ? 是公差不为零的等差数列, Sn 为其前 (1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 (2)试求所有的正整数 m ,使得

n 项和,满足 a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。

n 项和 Sn ;
am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。满

分 14 分。 (1)设公差为 为
2 2 2 2 d ,则 a2 ,由性质得 ?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因 ? a5 ? a4 ? a3

d ? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又由 S7 ? 7 得 7a1 ?

7?6 d ? 7, 2

解得 a1

? ?5 , d ? 2 ,

(2) (方法一) 则

am am ?1 (2m ? 7)(2m ? 5) = ,设 2m ? 3 ? t , 2m ? 3 am ? 2
所以 t 为 8 的约数

8 am am ?1 (t ? 4)(t ? 2) ? t ? ? 6, = t t am ? 2

(方法二)因为

am am?1 (am? 2 ? 4)(am? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2



8 a m+2

为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 。


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