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高一(人教A版)第二章数学课件:2.1.2 指数函数及其性质(第2课时 指数函数及其性质的应用)


2.1.2 指数函数及其性质(第2课时 指数函数及其性质的应用)

1.指数函数是形如 y=ax 的函数.
2.指数函数的定义域为R,值域为(0,+∞) 且过 (0,1) 点. 增函数 ;当底数0<a<1时,指 3.当a>1时,指数函数在R上为

数函数在R上为 减函数 .

a>1 1.已知am>an(a>0,且a≠1),如果m>n,则a的取值范围是 ;如果m<n,则a的取值范围是 0<a<1 .

2.复合函数y=af(x)单调性的确定: 当a>1时,单调区间与f(x)的单调区间相同 ; 当0<a<1时,f(x)的单调增区间是y的单调减区间.f(x)的单调减 区间是y的单调增区间 .

1.复合函数y=af(x)的单调性应注意哪些问题?
【提示】 复合函数y=af(x)单调性的判定需注意: (1)函数定义域;

(2)底数a的大小.
2.解含参数的指数不等式应注意哪些问题? 【提示】 解含参数的指数不等式应注意底数的分类讨论.

比较下列幂值的大小. 1? -0.5, (1)0.6 0.6 ,(2) 3? 1 ? ?
0.1, 0.2
? ? ? ?

(3)2

-0.01,

1,(4)2.3

-0.28,

0.67

-3.1

【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息: ①都是两个指数幂比较大小; ②找出相应的指数函数,确定其单调性.

【解析】 (1)考察函数 y=0.6x. ∵0<0.6<1, ∴函数 y=0.6x 在 R 上是减函数. 又∵0.1<0.2,∴0.60.1>0.60.2. 1? x (2)考察函数 y= 3? ? , ?
? ? ? ? ? 1? 1 ?x ∵0<3<1,∴函数 y=? ? ? 在 R 上是减函数. ?3 ? ? ? 1? ?-0.5 ?1?0 又∵-0.5<0,∴ 3? >?3? =1. ? ? ? ? ? ? ?

(3)考察函数y=2x.

∵2>1,∴函数y=2x在R上是增函数.
∵-0.01<0,∴2-0.01<20=1. (4)由指数函数的性质,知

2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,
∴2.3-0.28<0.67-3.1.

指数式的大小比较问题,主要有以下几种: ①同底数幂大小的比较:构造指数函数,利用单调性比较大小.

②指数幂ax与1的比较:当x<0,0<a<1或x>0,a>1时,ax>1;当x<0
,a>1或x>0,0<a<1时,ax<1. ③比较不同底数幂的大小,利用中间量法,常借助中间值0或1进行

比较.
④对于底数不同,指数相同的指数幂,利用图象来比较大小.

? ? 2? ?a ?2?b 1.(1)已知 5? >?5? ,比较 a,b 的大小; ? ? ? ? ? ? ?

4 4 (2)比较 65与 75的大小.

1? 讨论函数 f(x)= 3? ?x2-2x 的单调性: ?
? ? ? ?

【解析】 ∵函数 f(x)的定义域是 R. 1? u 令 u=x -2x,则 f(u)= 3? ? ?
2
? ? ? ?

∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上是减 函数, 1? u f(u)= 3? ? 在其定义域内是减函数, ?
? ? ? ?

∴函数 f(x)在(-∞,1]上是增函数; 又 u=x2-2x=(x-1)2-1 在[1, +∞)上是增 函数, 1? u f(u)= 3? ? 在其定义域内是减函数, ?
? ? ? ?

∴函数 f(x)在[1,+∞)上是减函数.

对于形如y=af(x)(a>0,且a≠1)一类的函数,有以下结论:

①函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同,如y=21/x与y=1/x的
定义域都是{x|x≠0}; ②先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的单调性确定y=af(x)的

值域;
③当a>1时,函数y=af(x)与函数f(x)的单调性相同;当0<a<1时,函 数y=af(x)与函数f(x)的单调性相反.

2.求函数y=22x-x2的单调区间.

【解析】 由题意得,函数的定义域是R,
令u=2x-x2,则y=2u, ∵u=2x-x2=-(x-1)2+1在(-∞,1]上是增函数,

y=2u在定义域上是增函数,
∴函数y=22x-x2在(-∞,1]上是增函数; 又u=-x2+2x在[1,+∞)上是减函数,

y=2u在定义域上是增函数,
∴y=22x-x2在[1,+∞)上是减函数, ∴函数y=22x-x2的单调增区间为(-∞,1],单调减区间为[1,+∞).

如果a2x+3≥ax-1(a>0且a≠1),求x的取值范围. 【思路点拨】 讨论a的取值―→得关于x的不等式―→解不等式 求x范围. 【解析】 (1)当0<a<1时,∵a2x+3≥ax-1, ∴2x+3≤x-1,解得x≤-4, (2)当a>1时,∵a2x+3≥ax-1, ∴2x+3≥x-1,∴x≥-4. 综上所述, 当0<a<1时,x的取值范围是{x|x≤-4}, 当a>1时,x的取值范围是{x|x≥-4}.

解af(x)>ag(x)(a>0且a≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性,它 的一般步骤为

3.设 3

-5x

1? x+6 > 3? ,则 x 的取值范围是什么? ? ?
? ? ? ?
-5x

【解析】 ∵3
? ? 1? ?5x ?1?x+6 ∴ 3? >?3? , ? ? ? ? ? ? ?

1? x+6 > 3? , ? ?
? ? ? ?

∴5x<x+6, 3 ∴x<2. 3 ∴x 的取值范围是{x|x< }. 2

1.使用指数函数的单调性时,如何讨论底数的取值范围? 使用指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性时,要首先讨论底数a与 1的关系.(1)a>1时,y=ax在R上单调递增:①x>0时ax>1;②x=0时, ax=1;③x<0时,0<ax<1;(2)0<a<1时,y=ax在R上单调递减:①x>0 时,0<ax<1;②x=0时,ax=1;③x<0时,ax>1.

1? 2 求函数 y= 3? ?2x-x 的值域. ?
? ? ? ?

【错解】 令 u=2x-x2=-(x-1)2+1, 则 u≤1, 1? 1 1 u 故 y= 3? ≤ ,即函数的值域为 ( -∞, ]. ? 3 3 ?
? ? ? ?

1? u 【错因】 忽略了 y= 3? ? 的单调性. ?
? ? ? ?

【正解】 令 u=2x-x2=-(x-1)2+1≤1. 1? u 又 y= 3? ? 为减函数, ?
? ? ? ? ?1 ? 1 ? ∴y≥3,即函数的值域为?3,+∞? ?. ? ?


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