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导数高考知识点总结(最全)


导数知识点归纳及应用 ●知识点归纳 一、相关概念 1.导数的概念 函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ,那么函数 y 相应地有增量 ?y =f (x 0 + ?x )-f(x 0 ) ,比值 化率,即
?y 叫做函数 y=f(x)在 x 0 到 x 0 + ?x 之间的平均变 ?x

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = 。如果当 ?x ? 0 时, 有极限,我们就说函 ?x ?x ?x

数 y=f(x)在点 x 0 处可导,并把这个极限叫做 f(x)在点 x 0 处的导数,记作 f’ (x 0 )或 y’| x? x0 。即 f(x 0 )= lim 说明: (1)函数 f(x)在点 x 0 处可导,是指 ?x ? 0 时, 极限,就说函数在点 x 0 处不可导,或说无导数。 (2) ?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量, ?x ? 0 时,而 ?y 是函数值的改变量,可 以是零。 由导数的定义可知,求函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的步骤: ① 求函数的增量 ?y =f(x 0 + ?x )-f(x 0 ) ; ② 求平均变化率
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) = ; ?x ?x
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y = lim 。 ?x ?x ?x?0

?x ?0

?y ?y 有极限。如果 不存在 ?x ?x

?y 。 ?x ? 0 ?x 例:设 f(x)= x|x|, 则 f′ 0)= ( . f (0 ? ?x) ? f (0) f (?x) | ?x | ?x [解析]:∵ lim ? lim ? lim ? lim | ?x |? 0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x ?x

③ 取极限,得导数 f’(x 0 )= lim

∴f′ 0)=0 ( 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) ) 处的切线的斜率。也就是说,曲线 y=f(x)在点 p(x 0 ,f(x 0 ) )处的切线的
1/6

斜率是 f’(x 0 ) 。相应地,切线方程为 y-y 0 =f (x 0 ) (x-x 0 ) 。 例:在函数 y ? x 3 ? 8 x 的图象上,其切线的倾斜角小于 点的个数是 A.3 B.2 C.1

/

? 的点中,坐标为整数的 4 ( ) D.0

3.导数的物理意义 如果物体运动的规律是 s=s(t) ,那么该物体在时刻 t 的瞬间速度 v= s ? (t) 。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是 v=v(t) ,则该物体在时刻 t 的加速 度 a=v′(t) 。 例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中 汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数,其图像可能是( )
s s s s

O A.

t

O B.

t

O C.

t O D.

t

练习:已知质点 M 按规律 s ? 2t 2 ? 3 做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s) 。
?s ; ?t ?s (2) 当 t=2, ?t ? 0.001 时,求 ; ?t (3) 求质点 M 在 t=2 时的瞬时速度。 二、导数的运算 1.基本函数的导数公式:

(1) 当 t=2, ?t ? 0.01 时,求

① C? ? 0; (C 为常数) ② ? xn ?? ? nxn?1; ③ (sin x)? ? cos x ; ④ (cos x)? ? ? sin x ; ⑤ (e x )? ? e x ; ⑥ (a x )? ? a x ln a ;
1 ⑦ ? ln x ?? ? ; x 1 ⑧ ? l o g a x ?? ? log a e . x
2/6

例 1:下列求导运算正确的是 ( ) 1 1 1 A.(x+ )? ? 1 ? 2 B.(log2x)′= x x ln 2 x C.(3x)′=3xlog3e D. (x2cosx)′=-2xsinx 例 2:设 f0(x) = sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x) = fn′ (x),n∈N,则 f2005(x)= ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [解析]:f0(x) = sinx,f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)= -sinx, f3(x)=f2′(x)= -cosx, f4(x) = f3′(x)=sinx,循环了 则 f2005(x)=f1(x)=cosx 2.导数的运算法则 法则 1:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: ( u ? v) ' ? u ' ? v ' . 法则 2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一 个 函数乘以第二个函数的导数,即: (uv) ' ? u ' v ? uv' . 若 C 为常数,则 (Cu) ' ? C ' u ? Cu ' ? 0 ? Cu ' ? Cu ' .即常数与函数的积的导数等于常 数乘以函数的导数: (Cu) ' ? Cu ' . 法则 3:两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与 ? u ' v ? uv' ?u? 分子的积,再除以分母的平方: ? ? ? (v ? 0) 。 v2 ?v? 例 : 设 f(x) 、 g(x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x < 0 时 , f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) > 0. 且 g(3)=0. 则 不 等 式 f(x)g(x) < 0 的 解 集 是 ( ) A. (-3,0)∪(3,+∞) C. (-∞,- 3)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0, 3) D. (-∞,- 3)∪(0, 3)

3.复合函数的导数 形如 y=f ?? ( x ) ? 的函数称为复合函数。复合函数求导步骤: 分解——>求导——>回代。 法则:y'| X = y'| U ·u'| X 或者 f ?[? ( x)] ? f ?(? )*? ?( x) . 练习:求下列各函数的导数: (1) y ?
3/6

x ? x5 ? sin x x2

;

(2) y ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3);

(3) y ? ? sin x ?1 ? 2 cos2 x ?; ? ?
2? 4?

(4) y ?

1 1? x

?

1 1? x

.

三、导数的应用 1.函数的单调性与导数 (1)设函数 y ? f (x) 在某个区间(a,b)可导,如果 f ' (x) ? 0 ,则 f (x) 在此区 间上为增函数;如果 f ' ( x) ? 0 ,则 f (x) 在此区间上为减函数。 (2)如果在某区间内恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f (x) 为常数。 例:函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 1 是减函数的区间为 A. (2,??) B. (??,2) C. (??,0) D. (0,2) ( )

2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0;曲线在极大值点左 侧切线的斜率为正, 右侧为负; 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负, 右侧为正; 例: 函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x)在x ? ?3 时取得极值, a = ( 则 A.2 3.最值: B.3 C.4 D.5 )

在区间[a,b]上连续的函数 f (x) 在[a,b]上必有最大值与最小值。但在开区间 (a,b)内连续函数 f(x)不一定有最大值,例如 f ( x) ? x3 , x ? (?1,1) 。 (1)函数的最大值和最小值是一个整体性的概念,最大值必须是整个区间上所 有函数值中的最大值,最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 (2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极 值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少,但最值只有 一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值, 有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。 例: 函数 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 在闭区间[-3, 0]上的最大值、 最小值分别是 ●经典例题选讲 例 1. 已知函数 y ? xf ?(x) 的图象如图所示(其中 f ?(x) 是函数 f (x) 的导函 数) ,下面四个图象中 y ? f (x) 的图象大致是 ( ) .

4/6

例 2.设 f ( x) ? ax3 ? x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求其单调区 间。 例 3. 已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? ax ? d 的图象过点 P (0,2) ,且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0 . (Ⅰ)求函数 y ? f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f (x) 的单调区间. 例 4. 设函数 f ? x ? ? x3 ? bx 2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。 (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。 2 例 5. 已知 f(x)= x 3 ? ax 2 ? bx ? c 在 x=1,x= ? 时,都取得极值。 3 (1)求 a、b 的值。 1 (2)若对 x ? [?1,2] ,都有 f ( x) ? 恒成立,求 c 的取值范围。 c 例 6. 已 知 x ? 1 是 函 数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x 2 ? nx ? 1 的 一 个 极 值 点 , 其 中
m, n ? R, m ? 0 ,

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。

(I)求 m 与 n 的关系式; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)当 x ? ? ?1,1? 时,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3 m , 求 m 的取值范围. 例 7:已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (1) 当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2) 当 a ?
5/6

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3

(3) 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究 函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的 思想方法。满分 12 分。 解: (I) 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x,故f ' (1) ? 3e.
所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 e. 3

(II) f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .
令f ' ( x) ? 0,解得x ? ?2a,或x ? a ? 2.由a ? 2 知, 2a ? a ? 2. ? 3

?

?

以下分两种情况讨论。 2 (1) 若a > ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?, 2a ? ?
+ ↗

? 2a
0 极大值

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ?? ?
+ ↗

所以f ( x)在(??, 2a), ? 2, ?)内是增函数,在(?2a,a ? 2)内是减函数. ? (a ?
函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a ?2 .

(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

a?2
0 极大值

?a ? 2, 2a ? ?
— ↘

? 2a
0 极小值

?? 2a, ?? ?
+ ↗

所以f ( x)在(??,a ? 2), 2a, ?)内是增函数,在(a ? 2, 2a)内是减函数。 (? ? ?
函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a ?2 .

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