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抛物线焦点弦的一组性质与高考题

抛物线焦点弦的一组性质与高考题
过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段叫抛物线的焦点弦.与此相关 的问题在普通高中教科书(实验修订本·必修)第二册(上) (以下简称教科书) 中较为频繁,高考中也经常考查,经归纳总结得:

性质 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A(x1,y1) 、
B(x2,y2)两点,O 为坐标原点,过点 A 作直线 AA1 垂直于准线 L 于点 A1, 过点 B 作直线 BB1 垂直于准线 L 于点 B1,则

p2 1. x1·x2= ; 4
2. 3. 4. 5. y1·y2= - p2; (教科书 P119 习题 8.5 第 7 题)

Y
L A1 A

P

M

N O F Q

kOA·kOB= - 4; 焦点弦:|AB|=x1+x2+p; (教科书 P118 例 3)
(C)B1

X

B

最短焦点弦:特别地,当 AB 垂直于 x 轴时,|AB|=2p,

即为通径; (教科书 P121) 6. 7.
8.

1 1 2 ? ? ; | AF | | BF | p

以弦 AB 为直径的圆与准线 L 相切于线段 A1B1 的中点 M,即∠AMB=90°; 以线段 A1B1 为直径的圆与直线 AB 相切于焦点 F,即 ∠A1FB1=90°;
(教科书 P133 复习参考题八(B 组)第 2 题)

9.

设直线 OA 交准线 L 于点 C,则 BC∥x 轴; (教科书 P123 习题 8.6 第 6 题) ;

p2 p2 ? 10. 设直线 AB 的倾斜角为α ,则 SΔ AOB = 2 sin ? 2
11.

当 AB 垂直于 x 轴时,过抛物线上任一点 P 作 PQ 垂直于 x 轴于点 Q,则

|PQ|2=|OQ|·|AB|; (教科书 P133 复习参考题八(A 组)第 15 题)

1

与上述性质类似或相关的高考题 1. (1995 年全国高考试题)直线 L 过抛物线 y2=a(x+1) (a>0)的焦点,并 且与 x 轴垂直,若 L 被抛物线截得的线段长为 4,则 a=——————; 略解:由性质 4 知 a=4.

2. (2000 年全国高考试题)过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 作一直线交抛 物线于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则 1 ? 1 等于(
p q



A.2a

B.

1 4a

C. 4a

D.

4 a

略解:由性质 5 知,选(C). 3. (2001 年全国高考试题)设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的 直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴. 证明直线 AC 经过原点 O. 注:本题是性质 8 的逆命题. 解题思路:本题的解法很多,采用坐标方法进行代数推理,可以证明直线 OA 与直线 OC 的斜率相等,证明|AO|+|OC|=|AC|,证明直线 OC 与直线 BF 的交点 A 在抛物线上,证明直线 AC 的方程形如 y=φ (p)x,等等.每种证明又有不同 的表述形式,甚至可以用极坐标法或参数方程法,采用平面几何方法进行推理, 主要是运用抛物线的几何性质,可以有同一法、对顶角法、面积法等等.选用什么 样的解题途径,体现出考生的知识基础、思维水平和表现技巧. 证法 1 如上图所示, 因为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F(
P ,0) ,所以经 2

过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x=my+

P , 代入抛物线方程得 y2-2pmy-p2=0, 2
y1y2=-p2 .

若记 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,则 y1,y2 是该方程的两个根,所以

2

因为 BC∥x 轴,且点 C 在准线 x=故直线 CO 的斜率为
k?

P P 上,所以点 C 的坐标为(- ,y2 ) , 2 2

y2 y 2p ? ? 1 . p y1 x1 ? 2

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O. 证法 2 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2),因为 BC∥x 轴,所以 C(-

P ,y2 ). 2

因为 A、B 在抛物线上,所以 y12=2px1 ,y22=2px2 . 又因为直线 AB 过焦点 F,所以 kAF=kBF , 即 即
y1 x1 ? p 2 ?
1 ? 2 22 2 2 p , 所以 y1 ? p y2 ? p x2 ?

y2

2 py

2 py

2

y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2) .因为 y1≠y2,所以
?

y1y2=-p2 .

p2 y1 y 2p 因为 kOC= y 2 ? ? ? 1 ? k OA p p y1 x1 ? ? 2 2

所以直线 AC 经过原点 O. 证法 3 同证法 1 得 y1y2=-p2.

P P y12 p2 因为 A( ,y1) ,C(- ,y2) ,即 C(- , ? ) , 2 2 2p y1
所以直线 AC 方程为
p y? 2 ? 2 y1 p y1 ? ? 2p 2 x? p2 y1 p2 y1

, 化简得

y=

2P x. y1

显然,原点 O(0,0)适合此方程,所以原点 O 在直线 AC 上. 4. (1987 年广东省高考题)直线 L 过抛物线 y2=2px(p>0) 的焦点,且与这 抛物线相交于 A(x1,y1)和 B(x2,y2)两点, ① 求证:4x1x2=p2;

3

② 求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦 CD,直线 L 不是CD 的垂直平分线.. ① 证明:抛物线 y2=2px 的焦点为 F (
P ,0) , 2

若过点 F 的直线 L⊥x 轴,则直线 L 的方程为 x=

P P , x1=x2= ,4x1x2=p2. 2 2 P ) ,代入抛物线方 2

若过点 F 的直线不垂直于 x 轴,则可设 L 的方程为 y=k(x-

2p p2 程 y =2px 得 x -p(1+ 2 )x+ =0 , k 4
2 2

由韦达定理得 x1x2= ②

p2 , 即 4xx=p2. 4

证法(一) 分两种情况讨论:

(ⅰ)当直线 L⊥x 轴时,由于 C 和 D 在抛物线 y2=2px 上,所以直线 CD 与 x 轴既不平行也不重合,从而 CD 的垂直平分线不垂直于 x 轴,所以 L 不是 CD 的垂直平分线. (ⅱ)当直线 L 不垂直于 x 轴时,L 的方程为 y=k(x如果 L 与 CD 不垂直,则 L 不是 CD 的垂直平分线.

P ) (k≠0), 2

c2 d2 如果直线 L⊥CD,依题意可知 C( ,c) 、D( ,d) ,且有 c≠d,这时 2p 2p
有 k= ?

1 c2 ? d 2 c?d ? ?? , 2p c?d 2p

因为 k≠0,所以 c+d≠0 .

c2 ? d 2 c ? d , 又线段 CD 的中点坐标为( ), 4p 2
由于

c2 ? d 2 p c?d 1 p ? )?? [ (c 2 ? d 2 ) ? ] 4p 2 2p 4p 2 1 1 1 ? (c ? d )[ ? (c 2 ? d 2 )] ? (c ? d ) 2 4 8p 2 4 k(

这是因为 c+d≠0,

1 1 1 ? 2 (c 2 ? d 2 ) ? , 所以 CD 的中点不在直线 L 上, 4 8p 2

从而直线 L 不是 CD 的垂直平分线. 证法(二) 反证法 设 C、D 的坐标分别为(x3,y3)(x4,y4) , ,则有 y3≠y4,若 L 是 CD 的垂 直平分线,则 L 与 CD 的方程分别为 y ? k ( x ? )( k ? 0), y ? ? ( x ? q) , 2 k x ? x4 y3 ? y 4 CD 的中点为 Q ( 3 , y3+y4=k(x3+x4-p), , ) 2 2

p

1

y??
由于 C(x3,y3) ,D(x4,y4)的坐标是方程组 y2=2px 的解,则方程 y2+2pky-2pq=0 的判别式大于 0,即 Δ =4p2k2+8pq>0 ——① 又由于 y3+y4=-2pk , 从而 x3+x4=(-ky3+q)+(-ky4+q)=2q+2pk2 ,

1 ( x ? q) k

1 –2pk=k(2q+2pk2-p), q= -p( +k2), 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 所以 4p k +8pq=4p k -8p ( +k )=-4p (1+k )<0, 与①式矛盾, 2 所以直线 L 不是 CD 的垂直平分线.

由 y3+y4=k(x3+x4-p)得

5


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