tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案29 等差数列及其前n项和


Go the distance

学案 29

等差数列及其前 n 项和

导学目标: 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.了解 等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系, 并能用等差数列 的有关知识解决相应的问题.

自主梳理 1.等差数列的有关定义 (1)一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的前一项的____等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为____________ (n∈N*,d 为常数). (2)数列 a, A, b 成等差数列的充要条件是__________, 其中 A 叫做 a, b 的__________. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=________,an=am+________ (m,n∈N*). (2)前 n 项和公式:Sn=__________=____________. 3.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 d? d Sn= n2+? ?a1-2?n. 2 数列{an}是等差数列的充要条件是其前 n 项和公式 Sn=__________. 4.等差数列的性质 (1)若 m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),则有__________,特别地,当 m+n=2p 时, ______________. (2)等差数列中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 成等差数列. (3) 等差数列的单调性:若公差 d>0 ,则数列为 ____________ ;若 d<0 ,则数列为 __________;若 d=0,则数列为________. 自我检测 1.(2010· 北京海淀区模拟)已知等差数列{an}中,a5+a9-a7=10,记 Sn=a1+a2+…+ an , 则 S13 的 值 为 ( ) A.130 B.260 C.156 D.168 2. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S3=6, a3=4, 则公差 d 等于 ( ) 5 A.1 B. C.2 D.3 3 a5 5 S9 3 . (2010· 泰 安 一 模 ) 设 Sn 是 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 若 = , 则 等 于 a3 9 S5 ( ) A.1 B.-1 1 C.2 D. 2 4.(2010· 湖南师大附中)若等差数列{an}的前 5 项之和 S5=25,且 a2=3,则 a7 等于 ( ) A.12 B.13 C.14 D.15 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S9=72,则 a2+a4+a9=________.

探究点一 等差数列的基本量运算 例 1 等差数列{an}的前 n 项和记为 Sn.已知 a10=30,a20=50,
第 1 页 共 8 页

Go the distance

(1)求通项 an; (2)若 Sn=242,求 n.

变式迁移 1 设等差数列{an}的公差为 d (d≠0),它的前 10 项和 S10=110,且 a1,a2, a4 成等比数列,求公差 d 和通项公式 an.

探究点二 等差数列的判定 例2 3 1 1 已知数列{an}中, a1= , a =2- (n≥2, n∈N*), 数列{bn}满足 bn= (n 5 n an-1 an-1

∈N*). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大值和最小值,并说明理由.

变式迁移 2 已知数列{an}中,a1=5 且 an=2an-1+2n-1(n≥2 且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值. an+λ (2)是否存在实数 λ,使得数列{ n }为等差数列?若存在,求出 λ 的值;若不存在,说 2 明理由.

探究点三 等差数列性质的应用 例 3 若一个等差数列的前 5 项之和为 34, 最后 5 项之和为 146, 且所有项的和为 360, 求这个数列的项数.

变式迁移 3 已知数列{an}是等差数列. (1)前四项和为 21,末四项和为 67,且前 n 项和为 286,求 n; (2)若 Sn=20,S2n=38,求 S3n; (3)若项数为奇数,且奇数项和为 44,偶数项和为 33,求数列的中间项和项数.

探究点四 等差数列的综合应用 例 4 (2011· 厦门月考)已知数列{an}满足 2an+1=an+an+2 (n∈N*), 它的前 n 项和为 Sn, 1 且 a3=10,S6=72.若 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. 2

第 2 页 共 8 页

Go the distance

变式迁移 4 在等差数列{an}中,a16+a17+a18=a9=-36,其前 n 项和为 Sn. (1)求 Sn 的最小值,并求出 Sn 取最小值时 n 的值. (2)求 Tn=|a1|+|a2|+…+|an|.

1.等差数列的判断方法有: (1)定义法:an+1-an=d (d 是常数)?{an}是等差数列. (2)中项公式:2an+1=an+an+2 (n∈N*)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q (p,q 为常数)?{an}是等差数列. (4)前 n 项和公式:Sn=An2+Bn(A、B 为常数)?{an}是等差数列. 2.对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前 n 项和公式,在两个公式中共 五个量 a1、d、n、an、Sn,已知其中三个量可求出剩余的量,而 a 与 d 是最基本的,它可以 确定等差数列的通项公式和前 n 项和公式. 3.要注意等差数列通项公式和前 n 项和公式的灵活应用,如 an=am+(n-m)d,S2n-1 =(2n-1)an 等. 4.在遇到三个数成等差数列问题时,可设三个数为①a,a+d,a+2d;②a-d,a,a +d;③a-d,a+d,a+3d 等可视具体情况而定.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 . (2010·重 庆 ) 在 等 差 数 列 {an} 中 , a1 + a9 = 10 , 则 a5 的 值 为 ( ) A.5 B.6 C.8 D.10 a 2 . (2010· 全国Ⅱ ) 如果等差数列 { n} 中, a3 + a4 + a5 = 12 ,那么 a1 + a2 +…+ a7 = ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 3.(2010· 山东潍坊五校联合高三期中)已知{an}是等差数列,a1=-9,S3=S7,那么使 其 前 n 项 和 Sn 最 小 的 n 是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 1 4 . 在 等 差 数 列 {an} 中 , 若 a4 + a6 + a8 + a10 + a12 = 120 , 则 a9 - a11 的 值 为 3 ( ) A.14 B.15 C.16 D.17 5 . 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 满 足 S20 = S40 , 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ( ) A.S30 是 Sn 中的最大值 B.S30 是 Sn 中的最小值 C.S30=0 D.S60=0 1 2 3 4 5 题号 答案 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010· 辽宁)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S3=3,S6=24,则 a9=________. 7.(2009· 海南,宁夏)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-a2 m=0,S2m-1 =38,则 m=________. 8.在数列{an}中,若点(n,an)在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列{an}的前 9 项和 S9 =________.
第 3 页 共 8 页

Go the distance

三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)(2011· 莆田模拟)设{an}是一个公差为 d (d≠0)的等差数列,它的前 10 项和 S10 2 =110,且 a2=a1a4. (1)证明:a1=d; (2)求公差 d 的值和数列{an}的通项公式.

10.(12 分)(2010· 山东)已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1

11.(14 分)(2010· 广东湛师附中第六次月考)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1= 0(n≥2). 1 (1)证明数列{ }是等差数列; an (2)求数列{an}的通项; 1 (3)若 λan+ ≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. an+1

答案

自主梳理

a+b 1.(1)2 差 an+1-an=d (2)A= 等差中项 2 n(n-1) (a1+an)n 2.(1)a1+(n-1)d (n-m)d (2)na1+ d 3.An2+Bn 4.(1)am+an= 2 2 ap+aq am+an=2ap (3)递增数列 递减数列 常数列 自我检测 1.A 2.C 3.A 4.B 5.24 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)等差数列{an}中,a1 和 d 是两个基本量,用它们可以表示数列中的 任何一项,利用等差数列的通项公式与前 n 项和公式,列方程组解 a1 和 d,是解决等差数列 问题的常用方法;(2)由 a1,d,n,an,Sn 这五个量中的三个量可求出其余两个量,需选用 恰当的公式,利用方程组观点求解. 解 (1)由 an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50, ?a1+9d=30, ?a1=12, ? ? 得方程组? 解得? ?a1+19d=50, ?d=2. ? ? 所以 an=2n+10. n(n-1) (2)由 Sn=na1+ d,Sn=242. 2 n(n-1) 得 12n+ ×2=242. 2 解得 n=11 或 n=-22(舍去).
第 4 页 共 8 页

Go the distance

变式迁移 1 解 由题意,知 10×9 ? ?2a1+9d=22, ?S10=10a1+ d=110, ? 2 即? ? 2 ?a1d=d . ? ? (a1+3d), ?(a1+d)2=a1· ∵d≠0,∴a1=d.解得 a1=d=2,∴an=2n. 例 2 解题导引 1.等差数列的判定通常有两种方法: 第一种是利用定义,即 an-an-1=d(常数)(n≥2),第二种是利用等差中项,即 2an=an+ 1+an-1 (n≥2). 2.解选择、填空题时,亦可用通项或前 n 项和直接判断. (1)通项法:若数列{an}的通项公式为 n 的一次函数,即 an=An+B,则{an}是等差数列. (2)前 n 项和法:若数列{an}的前 n 项和 Sn 是 Sn=An2+Bn 的形式(A,B 是常数),则{an} 为等差数列. 3.若判断一个数列不是等差数列,则只需说明任意连续三项不是等差数列即可. 1 1 (1)证明 ∵an=2- (n≥2,n∈N*),bn= , an-1 an-1 1 1 ∴当 n≥2 时,bn-bn-1= - an-1 an-1-1 1 1 = - ?2- 1 ?-1 an-1-1 ? an-1? an-1 1 = - =1. an-1-1 an-1-1 1 5 又 b1= =- . 2 a1-1 5 ∴数列{bn}是以- 为首项,以 1 为公差的等差数列. 2 7 1 (2)解 由(1)知,bn=n- ,则 an=1+ 2 bn 2 2 =1+ ,设函数 f(x)=1+ , 2n-7 2x-7 7 7 -∞, ?和? ,+∞?内为减函数. 易知 f(x)在区间? 2 ? ? ?2 ? ∴当 n=3 时,an 取得最小值-1; 当 n=4 时,an 取得最大值 3. 变式迁移 2 解 (1)∵a1=5,∴a2=2a1+22-1=13, a3=2a2+23-1=33. an+λ (2)假设存在实数 λ,使得数列{ n }为等差数列. 2 an+λ 设 bn= n ,由{bn}为等差数列,则有 2b2=b1+b3. 2 a2+λ a1+λ a3+λ ∴2× 2 = + 3 . 2 2 2 13+λ 5+λ 33+λ ∴ = + , 2 2 8 解得 λ=-1. an+1-1 an-1 事实上,bn+1-bn= n+1 - n 2 2 1 1 + = n+1[(an+1-2an)+1]= n+1[(2n 1-1)+1]=1. 2 2
第 5 页 共 8 页

Go the distance

an+λ 综上可知,存在实数 λ=-1,使得数列{ n }为首项为 2、公差为 1 的等差数列. 2 例 3 解题导引 本题可运用倒序求和的方法和等差数列的性质: 若 m+n=p+q (m, n, p,q∈N*),则 am+an=ap+aq,从中我们可以体会运用性质解决问题的方便与简捷,应注 n-1 意运用;也可用整体思想(把 a1+ d 看作整体). 2 解 方法一 设此等差数列为{an}共 n 项, 依题意有 a1+a2+a3+a4+a5=34,① an+an-1+an-2+an-3+an-4=146. ② 根据等差数列性质,得 a5+an-4=a4+an-3=a3+an-2=a2+an-1=a1+an. 将①②两式相加, 得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a4+an-3)+(a5+an-4)=5(a1+an) =180, ∴a1+an=36. n(a1+an) 36n 由 Sn= = =360,得 n=20. 2 2 所以该等差数列有 20 项. 方法二 设此等差数列共有 n 项,首项为 a1,公差为 d, 5×4 则 S5=5a1+ d=34,① 2 n(n-1)d (n-5)(n-6) Sn-Sn-5=[ +na1]-[(n-5)a1+ d] 2 2 =5a1+(5n-15)d=146.② ①②两式相加可得 10a1+5(n-1)d=180, n-1 ∴a1+ d=18, 2 n(n-1) 代入 Sn=na1+ d 2 n-1 ? =n?a1+ d =360, 2 ? ? 得 18n=360,∴n=20. 所以该数列的项数为 20 项. 变式迁移 3 解 (1)依题意,知 a1+a2+a3+a4=21, an-3+an-2+an-1+an=67, ∴a1+a2+a3+a4+an-3+an-2+an-1+an=88. 88 ∴a1+an= =22. 4 n(a1+an) ∵Sn= =286,∴n=26. 2 (2)∵Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等差数列, ∴S3n=3(S2n-Sn)=54. (3)设项数为 2n-1 (n∈N*),则奇数项有 n 项,偶数项有 n-1 项,中间项为 an,则 (a1+a2n-1)· n S 奇= = n· an=44, 2 (a2+a2n-2)· (n-1) S 偶= =(n-1)· an=33, 2 n 4 ∴ = . n-1 3 ∴n=4,an=11. ∴数列的中间项为 11,项数为 7.
第 6 页 共 8 页

Go the distance

例 4 解题导引 若{an}是等差数列, 求前 n 项和的最值时, ? ?an≥0 (1)若 a1>0,d<0,且满足? ,前 n 项和 Sn 最大; ?an+1≤0 ?
?an≤0 ? (2)若 a1<0,d>0,且满足? ,前 n 项和 Sn 最小; ?an+1≥0 ? (3)除上面方法外,还可将{an}的前 n 项和的最值问题看作 Sn 关于 n 的二次函数最值问 题,利用二次函数的图象或配方法求解,注意 n∈N*. 解 方法一 ∵2an+1=an+an+2,∴{an}是等差数列. 设{an}的首项为 a1,公差为 d,由 a3=10,S6=72, ?a1+2d=10 ?a1=2 ? ? 得? ,∴? . ? ? ?6a1+15d=72 ?d=4 1 ∴an=4n-2.则 bn= an-30=2n-31. 2 ?2n-31≤0, ? 29 31 解? 得 ≤n≤ . 2 2 ? 2( n + 1) - 31 ≥ 0 , ?

∵n∈N*,∴n=15.∴{bn}前 15 项为负值. ∴S15 最小. 可知 b1=-29,d=2, 15×(-29+2×15-31) ∴S15= =-225. 2 方法二 同方法一求出 bn=2n-31. n(-29+2n-31) 2 ∵Sn= =n -30n=(n-15)2-225, 2 ∴当 n=15 时,Sn 有最小值,且最小值为-225. 变式迁移 4 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, ∵a16+a17+a18=3a17=-36, a17-a9 ∴a17=-12,∴d= =3, 17-9 ∴an=a9+(n-9)· d=3n-63, an+1=3n-60, ? ?an=3n-63≤0 令? ,得 20≤n≤21, ? ?an+1=3n-60≥0 ∴S20=S21=-630, ∴n=20 或 21 时,Sn 最小且最小值为-630. (2)由(1)知前 20 项小于零,第 21 项等于 0,以后各项均为正数. 3 123 当 n≤21 时,Tn=-Sn=- n2+ n. 2 2 3 2 123 当 n>21 时,Tn=Sn-2S21= n - n+1 260. 2 2 3 123 - n2+ n (n≤21,n∈N*) 2 2 综上,Tn= . 3 2 123 * n - n+1 260 (n>21,n∈N ) 2 2

? ? ?

课后练习区 1.A 2.C 3.B 4.C 5.D 6.15 7.10 8.27 2 9.(1)证明 ∵{an}是等差数列,∴a2=a1+d,a4=a1+3d,又 a2 2=a1a4,于是(a1+d)
第 7 页 共 8 页

Go the distance

=a1(a1+3d),即

(d≠0).化简得 a1=d.…………………………(6 分) 10×9 (2)解 由条件 S10=110 和 S10=10a1+ d,得到 10a1+45d=110. 2 由(1)知,a1=d,代入上式得 55d=110, 故 d=2,an=a1+(n-1)d=2n. 因此,数列{an}的通项公式为 an=2n,n∈N*.…………………………………………(12 10.解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由于 a3=7,a5+a7=26, 所以 a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3, d=2.…………………………………………………………………………(4 分) n(a1+an) 由于 an=a1+(n-1)d,Sn= , 2 所以 an=2n+1, Sn=n(n+2). …………………………………………………………(6 分) (2)因为 an=2n+1,所以 a2 n-1=4n(n+1), 1 1 1 1 因此 bn= = ?n-n+1?.………………………………………………………(8 分) ? 4n(n+1) 4? 故 Tn=b1+b2+…+bn 1 1 1 1 1 1 = ?1-2+2-3+…+n-n+1? 4? ? 1 1 n = ?1-n+1?= 4? ? 4(n+1). n 所以数列{bn}的前 n 项和 Tn= .…………………………………………………(12 4(n+1)

2 2 a2 1+2a1d+d =a1+3a1d

分)

分) 1 1 11.(1)证明 将 3anan-1+an-an-1=0(n≥2)整理得 - =3(n≥2). an an-1 1 所以数列{ }为以 1 为首项, 3 为公差的等差数列. …………………………………(4 分) an 1 (2)解 由(1)可得 =1+3(n-1)=3n-2, an 1 所以 an= .…………………………………………………………………………… (7 3n-2 分) (3)解 若 λan+ 即 1 ≥λ 对 n≥2 的整数恒成立, an+1

λ +3n+1≥λ 对 n≥2 的整数恒成立. 3n-2 (3n+1)(3n-2) 整理得 λ≤ ………………………………………………………………(9 分) 3(n-1) (3n+1)(3n-2) 令 cn= 3(n-1) (3n+4)(3n+1) (3n+1)(3n-2) (3n+1)(3n-4) cn+1-cn= - = .………………………(11 分) 3n 3(n-1) 3n(n-1) 因为 n≥2,所以 cn+1-cn>0, 28 即数列{cn}为单调递增数列,所以 c2 最小,c2= . 3 28 所以 λ 的取值范围为(-∞, ].……………………………………………………(14 分) 3

第 8 页 共 8 页


推荐相关:

...理)总复习学案:学案29 等差数列及其前n项和.doc

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案29 等差数列及其前n项和 - 学案 29 等差数列及其前 n 项和 导学目标: 1.理解等差数列的概念.2....


...理)总复习学案:学案28 数列的概念与简单表示法.doc

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案28 数列的概念与简单表示法_数学_高中教育_教育专区。第六章 数列 学案 28 数列的概念与简单表示法...


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案....doc

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案...最大的项. 变式迁移 3 (1)在(x+y)n 的展开...成等差数列, 求展开式中二项式系数的最大项的...


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案....doc

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案...叫做这组数据的中位数. (3)如果有 n 个数 x1,...后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 a...


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案....doc

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案...n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=___种不...;当 d=± 9 时,可以组成 4 组不同的...


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案....pdf

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案...+8+4 =180(组)不同的等差数列.[12 分] 【...n>m,n 有 3 种选择; 第五类:m=5 时,使...


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案....pdf

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案75 坐标系与参数...?θ-3?=1,M、N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. (1)写出 C 的直角...


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案....pdf

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案35 简单的线性


【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案....pdf

【步步高】2015届高三数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案6 函数的奇偶性


【步步高】届高三数学大一轮复习 等差数列及其前n项和....doc

【步步高】届高三数学大一轮复习 等差数列及其前n项学案 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。学案 29 等差数列及其前 n 项和 导学目标: 1.理解等差数列...


高考数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案32 数列的综....doc

高考数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案32 数列...(原创题)若 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,且...【步步高】2015届高三数... 暂无评价 9页 1下载券...


【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.2等差数列及....ppt

【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.2等差数列及其前n项和课件 理 北师大版_数学_高中教育_教育专区。数学 北(理) §6.2 等差数列及其前n项和第六...


【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.3等比数列及....ppt

【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.3等比数列及其前n项和课件 理 北师大版 - 数学 北(理) §6.3 等比数列及其前n项和 第六章 数列 基础知识自主...


高考数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案68 离散型随....doc

高考数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案68 离散...(X))2pi = i 1 n 数学期望 算术 平均偏离程度...【步步高】2015届高三数... 暂无评价 10页 1下载...


【步步高】(人教A版,文科)2015届高三数学第一轮大练习....doc

【步步高】(人教A版,文科)2015届高三数学第一轮大练习复习学案:6.3 等比数列及其前n项和 - § 6.3 等比数列及其前 n 项和 1.等比数列的定义 如果一个数列从...


【步步高】高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和....doc

【步步高】高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项学案 理 苏教版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。【步步高】高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项...


...届高三数学大一轮复习 等差数列及其前n项和学案 理 ....doc

【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 等差数列及其前n项学案 理 新人教A版 - 等差数列及其前 n 项和 导学目标: 1.理解等差数列的概念.2.掌握...


【步步高】(人教A版,文科)2015届高三数学第一轮大练习....doc

【步步高】(人教A版,文科)2015届高三数学第一轮大练习复习学案:6.4 数列求和 - § 6.4 数列求和 1.求数列的前 n 项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前 n...


【步步高】届高三数学大一轮复习 等比数列及其前n项和....doc

【步步高】届高三数学大一轮复习 等比数列及其前n项学案 理 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。学案 30 等比数列及其前 n 项和 导学目标: 1.理解等比数列...


...数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第二节等差数列及其前n项....doc

【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第五章 第二节等差数列及其前n项和 理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第二节 等差数列及其前 n 项和...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com