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2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-1)作业:2.4.2抛物线的简单几何性质

2.4.2 抛物线的简单几何性质 课时目标 1.了解抛物线的几何图形,知道抛物线的简单几何性质,学会利用抛物线方 程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用. 1.抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0) (1)范围: 抛物线上的点(x, y)的横坐标 x 的取值范围是________, 抛物线在 y 轴的______ 侧,当 x 的值增大时,|y|也________,抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性:抛物线关于________对称,抛物线的对称轴叫做________________. (3)顶点: 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________. 抛物线的顶点为____________. (4) 离 心 率 : 抛 物 线 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 和 它 到 准 线 的 距 离 的 比 , 叫 做 抛 物 线 的 __________,用 e 表示,其值为______. (5)抛物线的焦点到其准线的距离为______,这就是 p 的几何意义,顶点到准线的距离为 p ,焦点到顶点的距离为________. 2 2.直线与抛物线的位置关系 直 线 y = kx + b 与 抛 物 线 y2 = 2px(p>0) 的 交 点 个 数 决 定 于 关 于 x 的 方 程 ________________________的解的个数.当 k≠0 时,若 Δ>0,则直线与抛物线有______ 个不同的公共点;当 Δ=0 时,直线与抛物线有______个公共点;当 Δ<0 时,直线与抛 物线________公共点.当 k=0 时,直线与抛物线的轴__________,此时直线与抛物线有 ______个公共点. 3.抛物线的焦点弦 设抛物线 y2=2px(p>0),AB 为过焦点的一条弦,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0, y0),则有以下结论. (1)以 AB 为直径的圆与准线________. (2)|AB|=________(焦点弦长与中点坐标的关系). (3)|AB|=x1+x2+______. (4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值,即 x1x2=________,y1y2=________. 一、选择题 1.顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线过点(-2,3),它的方程是( ) 9 4 A.x2=- y 或 y2= x 2 3 9 4 B.y2=- x 或 x2= y 2 3 9 C.y2=- x 2 2 4 D.x = y 3 2.若抛物线 y2=2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列,那么这三个点到抛物 线焦点 F 的距离的关系是( ) A.成等差数列 B.既成等差数列又成等比数列 C.成等比数列 D.既不成等比数列也不成等差数列 3.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为( ) 17 9 B.3 C. 5 D. 2 2 2 4. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( ) A.y2=± 4x B.y2=± 8x C.y2=4x D.y2=8x 5.设直线 l1:y=2x,直线 l2 经过点 P(2,1),抛物线 C:y2=4x,已知 l1、l2 与 C 共有三 个交点,则满足条件的直线 l2 的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 6.过抛物线 y =ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分 1 1 别为 p、q,则 + 等于( ) p q 1 4 A.2a B. C.4a D. 2a a 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.已知抛物线 C 的顶点为坐标原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2)为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为________. 8.已知 F 是抛物线 C:y2=4x 的焦点,A、B 是抛物线 C 上的两个点,线段 AB 的中点 为 M(2,2),则△ABF 的面积等于________. 9.过抛物线 x2=2py (p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30° 的直线,与抛物线分别交于 A、B 两 |AF| 点(点 A 在 y 轴的左侧),则 =________. |FB| 三、解答题 10.设抛物线 y=mx2 (m≠0)的准线与直线 y=1 的距离为 3,求抛物线的标准方程. A. 11.过点 Q(4,1)作抛物线 y2=8x 的弦 AB,恰被 Q 所平分,求 AB 所在的直线方程. 能力提升 12.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如 果直线 AF 的斜率为- 3,那么|PF|等于( ) A.4 3 B.8 C.8 3 D.16 13. 已知直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点. (1)若|AF|=4,求点 A 的坐标; (2)求线段 AB 的长的最小值. 1.抛物线上一点与焦点的距离问题,可转化为该点到准线的距离. 2. 直线与抛物线的位置关系, 可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判 定;“中点弦”问题也可使用“点差法”. 2.4.2 抛物线的简单几何性质 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p 知识梳理 1.(1)x≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 p 2 2.k2x2+2(kb-p)x+b2=0 两 一 没有 平行或重合 一 p p2 3.(1)相切 (2)2(x0+ ) (3)p (4) -p2 2 4 作业设计 1.B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左,利用待定系数法可求得方

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