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高中数学(苏教版必修5)2.3.1等比数列的概念(一)2.3.2等比数列的通项公式(一)

§ 2.3 2.3.1 2.3.2 一、基础过关 等比数列 等比数列的概念(一) 等比数列的通项公式(一) 1.在等比数列{an}中,a1=1,公比|q|≠1.若 am=a1a2a3a4a5,则 m=________. 2.已知 a,b,c,d 成等比数列,且曲线 y=x2-2x+3 的顶点是(b,c),则 ad=________. 3.已知等比数列{an}的前三项依次为 a-1,a+1,a+4,则 an=________. 4.如果-1,a,b,c,-9 成等比数列,那么 b=________. 5.一个数分别加上 20,50,100 后得到的三个数成等比数列,其公比为________. a c 6. 若 a, b, c 成等比数列, m 是 a, b 的等差中项, n 是 b, c 的等差中项, 则 + =________. m n 7.已知等比数列{an},若 a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求 an. 8.在四个正数中,前三个成等差数列,和为 48,后三个成等比数列,积为 8 000,求这四 个数. 二、能力提升 9.若数列{an}满足 an+1=? ? 2an?n为奇数? ,若 a1=1,则 a19=________. ? 2an+1?n为偶数? a3+a5 10.若正项等比数列{an}的公比 q≠1,且 a3,a5,a6 成等差数列,则 =________. a4+a6 11.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四 项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 12.已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0. (1)若 a,b,c 依次成等差数列且公差不为 0,求证:x,y,z 成等比数列; (2)若正数 x,y,z 依次成等比数列且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列. 三、探究与拓展 13.互不相等的三个数之积为-8,这三个数适当排列后可成为等比数列,也可排成等差数 列,求这三个数排成的等差数列. 答案 3 - 5 1.11 2.2 3.4· ( )n 1 4.-3 5. 2 3 6.2 3 7.解 方法一 ∵a1a3=a2 2,∴a1a2a3=a2=8,∴a2=2. ?a1+a3=5 ? 从而? ,解得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1. ? ?a1a3=4 1 当 a1=1 时,q=2;当 a1=4 时,q= . 2 故 an=2n -1 或 an=23 n. - 方法二 由等比数列的定义知 a2=a1q,a3=a1q2 代入已知得, ?a1+a1q+a1q2=7 ? ? , ?a1· a1q· a1q2=8 ? 2 ? ?a1?1+q+q ?=7, 即? 3 3 ?a1q =8, ? 2 ? ?a1?1+q+q ?=7, ? 即 ? ?a1q=2, ② ① 2 将 a1= 代入①得 2q2-5q+2=0, q 1 ∴q=2 或 q= , 2 ? ?a1=1 ? 1 ? 由②得? 或? 1 ? ?q=2 ?q= . ? 2 ∴an=2n -1 a =4, 或 an=23 n. - 8.解 设前三个数分别为 a-d,a,a+d, 则有 a-d+a+a+d=48, 即 a=16. b 设后三个数分别为 ,b,bq,则有 q b 3 · b· bq=b =8 000,即 b=20, q ∴这四个数分别为 m,16,20,n, 202 ∴m=2×16-20=12,n= =25. 16 即所求的四个数分别为 12,16,20,25. 5-1 9.1 023 10. 11.-9 2 12.证明 (1)∵a,b,c 成等差数列且 d≠0, ∴b-c=a-b=-d,c-a=2d, ∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)· logmz =2dlogmy-dlogmx-dlogmz =d(2logmy-logmx-logmz) y2 =dlogm( )=0. xz y2 y2 ∵d≠0,∴logm =0,∴ =1. xz xz ∴y2=xz,即 x,y,z 成等比数列. (2)∵x,y,z 成等比数列,且公比 q≠1, ∴y=xq,z=xq2, ∴(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)· logmz =(b-c)logmx+(c-a)logm(xq)+(a-b)logm(xq2) =(b-c)logmx+(c-a)logmx+(c-a)· logmq+(a-b)logmx+2(a-b)logmq =(c-a)logmq+2(a-b)logmq =(a+c-2b)logmq=0, ∵q≠1,∴logmq≠0, ∴a+c-2b=0,即 a,b,c 成等差数列. a 13.解 设三个数为 ,a,aq, q ∴a3=-8,即 a=-2, 2 ∴三个数为- ,-2,-2q. q 2 2 (1)若-2 为- 和-2q 的等差中项,则 +2q=4, q q ∴q2-2q+1=0,q=1,与已知矛盾; 2 1 (2)若-2q 为- 与-2 的等差中项,则 +1=2q, q q 1 2q2-q-1=0,q=- 或 q=1(舍去), 2 ∴三个数为 4,1,-2; 2 2 (3)若- 为-2q 与-2 的等差中项,则 q+1= ,∴q2+q-2=0, q q ∴q=-2 或 q=1(舍去), ∴三个数为 4,1,-2. 综合(1)(2)(3)可知,这三个数排成的等差数列为 4,1,-2 或-2,1,4.

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