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十年全国高中数学联赛代数题


2001(湖北)二、 (本题满分 50 分)

?
设 xi≥0(I=1,2,3,…,n)且
(

n

xi ? 2
n

2

i ?1

1? k ? j ? n

?
n

k j

xk x j ? 1
,求

?

n

xi
的最大值与最小值。
?

i ?1

?

xi )

2

?

解:先求最小值,因为 等号成立当且仅当存在 i 使得 xi=1,xj=0,j=i

i ?1

?

xi ? 2
2

i ?1

1? k ? j ? n

?

k j

xk x j ? 1

?x
i ?1

n

i

≥1



?

n

xi

i ?1

最小值为 1.
xk ?

……………………………………………………………
k yk

10 分

再求最大值,令

? ky

k ?1

n

2 k

?2

1? k ? j ? n

? ky

k

y

j

?1



M ?

设 则①?

?
2

n

xk ?
2

k ?1

?

n

k ?1

? y1 ? y 2 ? ? ? y n ? a1 ? y2 ? ? ? yn ? a2 ? ? ?? ? k yk ? yn ? an , 令?
2

a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1
M ?

……………………………………………………

30 分

令 a n ?1 =0,则
?

?

n

k ( a k ? a k ?1 )

k ?1

?

n

k ak ?

k ?1

?

n

k a k ?1 ?

k ?1

?

n

k ak ?

k ?1

?

n

k ? 1ak ?

k ?1

?(
k ?1
2

n

k ?

k ? 1 )a k

由柯西不等式得:
M ?[

?

n

( k ?
2 a1

k ?1) ]2 (
2

1

k ?1

?

n

ak )

2

1 2

?[

k ?1

?(
k ?1

n

k ?

k ?1) ]2

1

?? ?
2 2

2 ak

等号成立?
?

1

( k ?
2

k ?1)

2

?? ?

an ( n ?
ak
2

2

n ?1)

2

a1 ? a 2 ? ? ? a n 1? ( 2 ?
2

1) ?? ? ( n ?
k ? k ?1 k ?1) ]2
2
1

n ?1)

2

?

( k ?

k ?1)

2

? ak ? [

?(
k ?1

n

k ?

(k=1,2,…,n)
y k ? a k ? a k ?1 ? 2 k ? ( k ?1 ? [ k ?1)
2
1 2

由于 a1≥a2≥…≥an,从而
[

?(
k ?1

n

? 0

k ?

k ?1) ]

,即 xk≥0

所求最大值为

?(
k ?1

n

k ?

k ?1) ]2
2

1

……………………………………………

50 分

2002 二、 (本题满分 50 分)

实数 a,b,c 和正数?使得 f(x)=x3+ax2+bx+c 有三个实根 x1,x2,x3,且满足 ① x2?x1=?,

② x3> 解:∵ ∴ ∵ ∴

1 2

(x1+x2) 求

2 a ? 27 c ? 9 ab
3

?

3

?

3 3 2

f(x)=f(x)?f(x3)=(x?x3)[x2+(a+x3)x+x32+ax3+b] x1,x2 是方程 x2+(a+x3)x+x32+ax3+b 的两个根 x2?x1=? (a+x)2?4(x32+ax3+b)=???? 2 2 2 ? 3x3 +2ax3+? +4b?a =0
1 2

∵x3>

(x1+x2)
1 3 [? a ? 4a
2

∴ x3 ?

? 12 b ? 3 ? ]
2

(Ⅰ) (Ⅱ) …………10 分

且 4a2?12b-3?2≥0 ∵ f(x)=x3+ax2+bx+c =(x ? ∵ f(x3)=0 ∴
1 3 ab ? 2 27 a ? c? ? ( x3 ?
3

a 3

) ?(
3

a

2

? b )( x ?

a 3

)?

2 27

a ?c?
3

1 3

ab

…………20 分

3

a 3

) ?(
3

a

2

3

? b )( x 3 ?

a 3
2

)

(Ⅲ)

由(Ⅰ)得 x 3 ?
2

a 3

?

1 3

4a

2

? 12 b ? 3 ? ] ?
2

2 3 3

a

?b?

?

2

3

4



p=

a

?b





(



)



(



)





p



?

2



3

4

1 3

ab ?

2 27

a ? c? ?
3

2 3 9

p?

?

2

(p ? ? )
2

4
1 2 27
2

令 y=

p?

?

2

,则 y≥0 且 ab ?
3

a ? c? ?
3

2 3 9

y( y

2

?

3 4

? )
2

…………30 分

4
3? 4
2

∵ y ?
3

y?

?

2

=y ?
3

3? 4

y?(

?
2

) ?
3

3? 4

2

?

?
2

4

=( y ? ≥0 ∴ ab ?
3 1 2 27 a ?c ? ?
3

?
2

) (y ? ?)
2

3 18

? ?
3

2 a ? 27 c ? 9 ab
3

?

3

?

3 3 2

…………40 分

∴取 a=2 3 ,b=2,c=0,?=2,则 f(x)=x3+ax2+bx+c 有根 ?

3 ?1,?

3 ? 1 ,0

显然假设条件成立,且
2 a ? 27 c ? 9 ab
3

?

3

?

1 8

( 48

3 ? 36

3) ?

3 3 2

综上所述

2 a ? 27 c ? 9 ab
3

?

3

的最大值是

3 3 2

…………50 分

2005(江西)二、 (本题满分 50 分) 设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy ? bz ? a , az ? cx ? b ; bx ? ay ? c .

求函数 f ( x , y , z ) ?

x

2

1? x

?

y

2

1? y

?

z

2

1? z

的最小值.

解:由条件得, b ( az ? cx ? b ) ? c ( bx ? ay ? c ) ? a ( cy ? bz ? a ) ? 0 , 即 2 bcx ? a ? b ? c ? 0 ,
2 2 2

? x ?

b

2

?c ?a
2

2

,同理,得 y ?

a

2

?c ?b
2

2

,z ?

a

2

?b ?c
2

2

.

2 bc

2 ac

2 ab

? a、b、c、x、y、z 为正数,据以上三式知,
b ?c
2 2

? a ,a
2

2

?c

2

? b ,a
2

2

?b

2

? c ,
2

故以 a、b、c 为边长,可构成一个锐角三角形 ABC,
? x ? cos A , y ? cos B , z ? cos C ,问题转化为:在锐角△ABC 中,
2 2 2

求函数 f (cos A 、 cos B 、 cos C )=

cos

A

1 ? cos A

?

cos

B

1 ? cos B

?

cos

C

1 ? cos C

的最小值.

令 u ? cot A , v ? cot B , w ? cot C , 则 u , v , w ? R , uv ? vw ? wu ? 1, 且 u ? 1 ? ( u ? v )( u ? w ), v ? 1 ? ( u ? v )( v ? w ), w ? 1 ? ( u ? w )( v ? w ).
2 2 2

?

u ? cos
2

2

A

1 ? cos A

? 1?

u

2

?1 u u
2

? u
2

u

2

?
2

u ( u

2

2

? 1 ? u) ?1

? 1( u

? 1 ? u)

u

2

?1
3 2

? u

2

?

u u
2

u ?1
v
3

?

u

3

( u ? v )( u ? w )
1 u ? w
3

? u

2

?

u

3

(

1 u ?v
w
3

?

1 u ? w
1

),

2
2

同理,

cos

2

B

1 ? cos B
2 2

? v ?
2

(

1 u ?v
3

?
3

),

cos

C

2
3 2

1 ? cos C
3 3

? w ?
2

(

2
2

u ? w
? 1 2 [( u

?

1 v? w

).

? f ? u
2

?v ? w
2

?

1 u ?v ( 2 u ?v
2

?

v ? w v? w

?

u ? w u ? w

) ? u

?v

2

? w

2

2

? uv ? v )
2

+ ( v ? vw ? w ) ? ( u ? uw ? w )] ?
2

1 2

( uv ? vw ? uw ) ? 1 2 .

1 2

. (取等号当且仅当 u ? v ? w ,

此时, a ? b ? c , x ? y ? z ?

1 2

), [ f ( x , y , z )] min ?

2006 二、 (本题满分 50 分) 已知无穷数列{an}满足 a0=x, 1=y,a n ? 1 ? a

a n a n ?1 ? 1 a n ? a n ?1

, n=1、 …。 2、

(1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正整数 n0,使当 n0≥n 时 an 恒为常数? (2)求数列{an}的通项公式。

解: (1)我们有 a n ? a n ? 1 ? a n ?

a n a n ?1 ? 1 a n ? a n ?1

?

an ? 1
2

a n ? a n ?1

,n=1、2、…。

(2.1)

所以,如果对某个正整数 n,有 an+1=an,则必有(an)2=1,且 an+an?1≠0。 如果该 n=1,我们得|y|=1 且 x≠?y。 如果该 n>1,我们有 a n ? 1 ? 和 an ? 1 ?
a n ?1 a n ? 2 ? 1 a n ?1 ? a n ? 2 ?1? a n ?1 a n ? 2 ? 1 a n ?1 ? a n ? 2 ?1 ? ( a n ? 1 ? 1)( a n ? 2 ? 1) a n ?1 ? a n ? 2

(2.2) (2.3) (2.4)

,n≥2,

( a n ? 1 ? 1)( a n ? 2 ? 1) a n ?1 ? a n ? 2
2 n

,n≥2。
2

将式(2.3)和(2.4)两端相乘,得 a ? 1 ?

a n ?1 ? 1 a n ?1 ? a n ? 2

?

an?2 ? 1
2

a n ?1 ? a n ? 2

,n≥2。

(2.5)

由(2.5)递推,必有(2.2)或|x|=1 且 y≠?x。 (2.6) 反之,如果条件(2.2)或(2.6)满足,则当 n≥2 时,必有 an=常数,且常数是 1 或-1。 (2)由(2.3)和(2.4) ,我们得到 记 bn ?
an ? 1 an ? 1
an ? 1 an ? 1 ? a n ?1 ? 1 a n ? 2 ? 1 ? ,n≥2。 a n ?1 ? 1 a n ? 2 ? 1

(2.7)

,则当 n≥2 时,
2 2 3 2

b n ? b n ?1b n ? 2 ? ( b n ? 2 b n ? 3 ) b n ? 2 ? b n ? 2 b n ? 3 ? ( b n ? 3 b n ? 4 ) b n ? 3 ? b n ? 3 b n ? 4 ? ?

由此递推,我们得到

an ? 1 an ? 1

?(

y ?1 y ?1

)

F n ?1

?(

x ?1 x ?1

)

Fn ? 2

,n≥2,

(2.8) (2.9)

这里 Fn=Fn?1+Fn?2,n≥2,F0=F1=1。 由(2.9)解得 F n ?
1 5 [( 1? 2 5 )
n ?1

?(

1? 2

5

)

n ?1

]。

(2.10)

上式中的 n 还可以向负向延伸,例如 F?1=0,F?2=1。 这样一来,式(2.8)对所有的 n≥0 都成立。由(2.8)解得
an ? ( x ? 1) ( x ? 1)
Fn ? 2 Fn ? 2

( y ? 1) ( y ? 1)

F n ?1 F n ?1

? ( x ? 1) ? ( x ? 1)

F n ?1 F n ?1

( y ? 1) ( y ? 1)

Fn ? 2 Fn ? 2

,n≥0。

(2.11)

式(2.11)中的 F?1、F?2 由(2.10)确定。
?x ? y ? z ? w ? 2 ? 2 2 2 2 ?x ? y ? z ? w ? 6 2006 三、 (本题满分 50 分)解方程组 ? 3 3 3 3 ? x ? y ? z ? w ? 20 ? x 4 ? y 4 ? z 4 ? w 4 ? 66 ?

解: p=x+z、 令 q=xz, 我们有 p2=x2+z2+2q, 3=x3+z3+3pq, 4=x4+z4+4p2q?2q2。 p p 同样, s=y+w、 令 2 2 2 3 3 3 4 4 4 2 2 t=yw,有 s =y +w +2t,s =y +w +3st,s =y +w +4s t?2t 。 在此记号系统下,原方程组的第一个方程为 p=s+2。 (3.1) 于是 p2=s2+4s+4,p3=s3+6s2+12s+8,p4=s4+8s3+24s2+32s+16。现在将上面准备的 p2、p3、p4 和 s2、s3、s4 的表达式代入,得 x2+z2+2q=y2+w2+2t+4s+4,x3+z3+3pq=y3+w3+3st+6s2+12s+8, x4+z4+4p2q?2q2=y4+w4+4s2t?2t2+8s3+24s2+32s+16。 利用原方程组的第二至四式化简,得 q=t+2s?1, (3.2) pq=st+2s2+4s?4, (3.3) 2p2q?q2=2s2t?t2+4s3+12s2+16s?25。 (3.4) 将(3.1)和(3.2)代入(3.3) ,得 t ?
s 2 ?1 ,

(3.5)

将(3.5)代入(3.2) ,得 q ?

5s 2

?2,

(3.6)

将(3.1) (3.5) (3.6)代入(3.4) ,得 s=2。所以有 t=0,p=4,q=3。 这样一来,x、z 和 y、w 分别是方程 X ? 4 X ? 3 ? 0 和 Y ? 2 Y ? 0 的两根,即
2 2

?x ? 3 ?x ? 1 ?y ? 2 ?y ? 0 或? ,且 ? 或? 。详言之,方程组有如下四组解:x=3,y=2,z=1, ? ?z ? 1 ?z ? 3 ?w ? 0 ?w ? 2

w=0;或 x=3,y=0,z=1,w=2;或 x=1,y=2,z=3,w=0;或 x=1,y=0,z=3,w=2。 2008 三、 (本题满分 50 分) 设 a k ? 0 ,k ? 1, 2, ? , 2 0 0 8 .证明:当且仅当 ? a k ? 1 时,存在数列 { x n } 满足以下条件:
k ?1 2008

(ⅰ) 0 ? x 0 ? x n ? x n ?1 , n ? 1, 2, 3, ? ; (ⅱ) lim x n 存在;
n? ?

(ⅲ) x n ? x n ? 1 ?

2008

?

2007

ak xn? k ?

k ?1

?

a k ?1 x n ? k

, n ? 1, 2, 3, ? .

k ?0

[证] 必要性:假设存在 { x n } 满足(ⅰ)(ⅱ)(iii) , , .注意到(ⅲ)中式子可化为
2008

x n ? x n ?1 ?

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 )

,n ? N* ,

k ?1

其中 x 0 ? 0 . 将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x 0 ? 0 得
x n ? a1 ( x n ? 1 ? x1 ) ? a 2 ( x n ? 2 ? x 2 ) ? ? ? a 2008 ( x n ? 2008 ? x 2008 )



…10 分

由(ⅱ)可设 b ? lim x n ,将上式取极限得
n? ?

b ? a1 ( b ? x1 ) ? a 2 ( b ? x 2 ) ? ? ? a 2008 ( b ? x 2008 )
? b ? ? a k ? ( a 1 x1 ? a 2 x 2 ? ? ? a 2 0 0 8 x 2 0 0 8 ) ? b ? ? a k
k ?1 k ?1 2008 2008

, …20 分

因此 ? a k ? 1 .
k ?1

2008

充分性:假设 ? a k ? 1 .定义多项式函数如下:
k ?1 2008

2008

f (s) ? ?1 ?

?

ak s

k

, s ? [0,1] ,

k ?1

则 f ( s ) 在[0,1]上是递增函数,且
f (0 ) ? ? 1 ? 0

, f (1) ? ? 1 ?

2008

?

ak ? 0



k ?1

因此方程 f ( s ) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s 0 ,且 0 ? s 0 ? 1 ,即 f ( s 0 ) ? 0 .…30 分 下取数列 { x n } 为 x n ?
xn ?

,且 ? s , n ? 1, 2, ? ,则明显地 { x } 满足题设条件(ⅰ)
k 0
n

n

k ?1

?s
k ?1

n

k 0

?

s0 ? s0

n ?1

1 ? s0


s0 ? s0
n ?1

因 0 ? s 0 ? 1 ,故 lim s 0n ? 1 ? 0 ,因此 lim x n ? lim
n? ?
n? ?

n? ?

1 ? s0

?

s0 1 ? s0

,即 { x n } 的极限存在,满

足(ⅱ) .

…40 分
2008 k ?1

最后验证 { x n } 满足(ⅲ) ,因 f ( s 0 ) ? 0 ,即 ? a k s 0k ? 1 ,从而

x n ? x n ?1 ? s 0 ? ( ? a k s 0 ) s 0 ?
n k n k ?1

2008

2008

?

a k s0

n?k

2008

?

k ?1

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 ) .

k ?1

综上,存在数列 { x n } 满足(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ) , , . 2009 二、求证不等式: ? 1 ? ? ?
? ?
n k ?1

…50 分
? 1 ,2,…

k ? 1 ? ? ln n ≤ 2 k ?1? 2

,n

【解析】 ⑴
x 1? x

证明:首先证明一个不等式: ,x
?0

? ln (1 ? x ) ? x


ln (1 ? x ) ? x 1? x

事实上,令 h ( x ) ? x ? ln(1 ? x ) , g ( x ) ? 则对 x
?0


2

, h ?( x ) ? 1 ?

1 1? x

?0

, g ?( x ) ?

1 1? x

?

1 (1 ? x )
? 1 n

?

x (1 ? x )
2

?0



于是 h ( x ) ? h (0) ? 0 , g ( x ) ? g (0 ) ? 0 .在⑴中取 x ⑵
1 n ?1 ? 1? 1 ? ? ln ? 1 ? ? ? n? n ?




? 1 2

令 xn

?

n

k k ?1
2

? ln n

,则 x1



k ?1

x n ? x n ?1 ?

1 1 ? n 1 ? ? ? 2 ? 0 ? ln ? 1 ? ? ? ? 2 ( n ? 1) n n ?1 n ?1? n ?1 n ?
n
2

因此 x n 又因为

? x n ? 1 ? ? ? x1 ?

1 2



ln n ? (ln n ? ln ( n ? 1)) ? (ln ( n ? 1) ? ln ( n ? 2 )) ? ? ? (ln 2 ? ln 1) ? ln 1 ?

? ln ? 1 ?
k ?1

n ?1

? ?

1? ? k ? ?

.从而
1? ? k ?

xn ?

?

n

k k ?1
2

?

k ?1

? ln ? 1 ?
k ?1

n ?1

? ?

1? ? ? k ?

??k
k ?1

n ?1

? ?

k
2

1 ?? n ? ? ? ln ? 1 ? ? ? ? 2 ?1 k ?? n ?1 ?
1 n ? ?1 .

??k
k ?1

n ?1

? ?

k
2

?1

? ??

n ?1 2

1 (k ? 1 k )

k ?1

≥ ??

n ?1

1 (k ? 1 k )

? ?1 ?

k ?1

2010 三、 (本题满分 50 分)给定整数 n ? 2 ,设正实数 a 1 , a 2 ,…, a n 满足 a k ? 1 ,
n 记 k ?1, , 2 …, , A k ?
a1 ? a 2 ? ? ? a k k
k 2 …, 求证:? a k ? , ?1, , n .
k ?1 n

?

n

Ak ?

n ?1 2

k ?1

注意到当 x , y ? 0 时,有 x ? y ? m ax ? x , y ? ,于是对 1 ? k ? n ? 1 ,有
k 1 ?1 1? An ? Ak ? ? ? ? ? a i ? n ? n k ? i ?1

i ? k ?1

?

n

ai

?

1

k ?1 1? ai ? ? ? ? ? ai ? n i ? k ?1 ? k n ? i ?1 n

?1 ? m ax ? ?n

k ? ?1 1? ai , ? ? ? ? ai ? ? ? k n ? i ?1 ? i ? k ?1 n

?1 ?1 1? ? ? m ax ? ( n ? k ), ? ? ? k ? ?k n? ? ?n

? 1?
n n

k n





?a
k ?1

k

?

?

Ak ? n An ?

k ?1

?

n

Ak

k ?1

?
n ?1

? ? An
k ?1

n ?1

? Ak

?

?

?

n ?1

An ? Ak

k ?1

?

? ?1 ? n ?
k ?1

? ?

k ? ?

?

n ?1 2




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