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(825)二次函数 最值问题解答题专项练习60题(有答案)32页 ok


825--1

二次函数最值专项练习 60 题
1.画出抛物线 y=4(x﹣3) +2 的大致图象,写出它的最值和增减性.
2

2.如图,二次函数 y=ax +bx+c 的图象经过 A(﹣1,0) 、B(2,3)两点,求出此二次函数的解析式;并通过配方 法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值.

2

3.已知二次函数 y=x ﹣x﹣2 及实数 a>﹣2,求 (1)函数在一 2<x≤a 的最小值; (2)函数在 a≤x≤a+2 的最小值.

2

4.已知函数 y=x +2ax+a ﹣1 在 0≤x≤3 范围内有最大值 24 最小值 3,求实数 a 的值.

2

2

5.我们知道任何实数的平方一定是一个非负数,即: (a+b) ≥0,且﹣(a+b) ≤0.据此,我们可以得到下面的推 理: 2 2 2 2 ∵x +2x+3=(x +2x+1)+2=(x+1) +2,而(x+1) ≥0 2 2 ∴(x+1) +2≥2,故 x +2x+3 的最小值是 2. 2 试根据以上方法判断代数式 3y ﹣6y+11 是否存在最大值或最小值?若有,请求出它的最大值或最小值.

2

2

第 1 页 共 1 页

825--1 6.如图所示,已知平行四边形 ABCD 的周长为 8cm,∠B=30°,若边长 AB=x(cm) . (1)写出?ABCD 的面积 y(cm )与 x 的函数关系式,并求自变量 x 的取值范围. (2)当 x 取什么值时,y 的值最大?并求最大值.
2

7.求函数 y=2x ﹣ax+1 当 0≤x≤1 时的最小值.

2

8.已知 m,n 是关于 x 的方程 x ﹣2ax+a+6=0 的两实根,求 y=(m﹣1) +(n﹣1) 的最小值.

2

2

2

9.当﹣1≤x≤2 时,求函数 y=f(x)=2x ﹣4ax+a +2a+2 的最小值,并求最小值为﹣1 时,a 的所有可能的值.

2

2

10.已知二次函数 y=x ﹣6x+m 的最小值为 1,求 m 的值.

2

第 2 页 共 2 页

825--1 11.已知函数 是关于 x 的二次函数.

(1)求 m 的值; (2)当 m 取什么值时,此函数图象的顶点为最低点? (3)当 m 取什么值时,此函数图象的顶点为最高点?

12.两个数的和为 6,这两个数的积最大可以达到多少?利用图象描述乘积与因数之间的关系.

13.将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.这两个正方形面积之和有 最值吗?如有,求出最值;如没有请说明理由.

14.关于自变量 x 的二次函数 y=x ﹣4ax+5a ﹣3a 的最小值为 m,且 a 满足不等式 0≤a ﹣4a﹣2≤10,则 m 的最大值 是多少?

2

2

2

15.求函数

的最小值.

16.当﹣1≤x≤1 时,函数 y=﹣x ﹣ax+b+1(a>0)的最小值是﹣4,最大值是 0,求 a、b 的值.

2

第 3 页 共 3 页

825--1 17.已知 a +b =1,
2 2

,求 a+b+ab 的取值范围.

18.如图,在矩形 ABCD 中,B(16,12) ,E、F 分别是 OC、BC 上的动点,EC+CF=8. 当 F 运动到什么位置时,△ AEF 的面积最小,最小为多少?

19.如图;AC,BD 是四边形 ABCD 的对角线,AC⊥BD 于点 O; (1)求证:S 四边形 ABCD= AC?BD; (2)若 AC+BD=10,当 AC,BD 的长是多少时,四边形 ABCD 的面积最大?

20.先画出函数图象,然后结合图象回答下列问题: (1)函数 y=3x 的最小值是多少? 2 (2)函数 y=﹣3x 的最大值是多少? 2 (3)怎样判断函数 y=ax 有最大值或最小值?与同伴交流.
2

第 4 页 共 4 页

825--1 21.将长为 156cm 的铁线剪成两段,每段都围成一个边长为整数(cm)的正方形,求这两个正方形面积和的最小 值.

22.已知函数 y=(a+2)x ﹣2(a ﹣1)x+1,其中自变量 x 为正整数,a 也是正整数,求 x 何值时,函数值最小.

2

2

23.设实数 a,b 满足:3a ﹣10ab+8b +5a﹣10b=0,求 u=9a +72b+2 的最小值.

2

2

2

24.若函数 y=4x ﹣4ax+a +1(0≤x≤2)的最小值为 3,求 a 的值.

2

2

25.说明:不论 x 取何值,代数式 x ﹣5x+7 的值总大于 0.并尝试求出当 x 取何值时,代数式 x ﹣5x+7 的值最小? 最小值是多少?

2

2

26.求经过点 A(0,2) 、B(2,0) 、C(﹣1,2)的抛物线的解析式,并求出其最大或最小值.

第 5 页 共 5 页

825--1 27.如图,在△ ABC 中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,两个动点 P,Q 同时从 A 点出发,点 P 沿 AC 运动,点 Q 沿 AB,BC 运动,两点同时到达点 C. (1)点 Q 的速度是点 P 速度的多少倍? (2)设 AP=x,△ APQ 的面积是 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围, (3)求出 y 的最大值.

28. 已知二次函数 y=x 与一次函数 y=2x+1 相交于 A、 B 两点, 点 C 是线段 AB 上一动点, 点 D 是抛物线上一动点, 且 CD 平行于 y 轴,求在移动过程中 CD 的最大值.

2

29.代数式 x ﹣3x﹣1 有最大值或最小值吗?若有,请求出:当 x 取何值时,最大(小)值是多少?

2

30.已知二次函数 y=2x ﹣4ax+a +2a+2 (1)通过配方,求当 x 取何值时,y 有最大或最小值,最大或最小值是多少? (2)当﹣1≤x≤2 时,函数有最小值 2.求 a 所有可能取的值.

2

2

第 6 页 共 6 页

825--1 31.设函数 y=|x ﹣x|+|x+1|,求﹣2≤x≤2 时,y 的最大值和最小值.
2

32.求函数 y=(k﹣1)x ﹣2(k﹣1)x﹣k 的最值,其中 k 为常数且 k≠1.

2

33.已知函数 y=﹣9x ﹣6ax+2a﹣a ,当

2

2

时,y 的最大值为﹣3,求 a.

34.求函数 y=x +5x+8 的最小值.

2

35.已知二次函数 y=(3﹣k)x +2,求: (1)当 k 为何值时,函数有最大值?最大值是多少? (2)当 k 为何值时,函数有最小值?最小值是多少?

2

36.求关于 x 的二次函数 y=x ﹣2tx+1 在﹣1≤x≤1 上的最大值(t 为常数) .

2

第 7 页 共 7 页

825--1 37.已知二次函数 y=﹣9x ﹣6ax﹣a +2a
2 2

有最大值﹣3,求实数 a 的值.

38. (1)求函数 y=|x ﹣4|﹣3x 在区间﹣2≤x≤5 中的最大值和最小值.

2

(2)已知:|y|≤1,且 2x+y=1,求 2x +16x+3y 的最小值.

2

2

39.已知 y=x ﹣2ax﹣3,﹣2≤x≤2. (1)求 y 的最小值; (2)求 y 的最大值.

2

40.当|x+1|≤6 时,求函数 y=x|x|﹣2x+1 的最大值?

41.用长 14m 的篱笆围成如图所示的鸡舍,门 MN 宽 2m,怎样设计才能使鸡舍的面积最大?

第 8 页 共 8 页

825--1 42.如图所示,在直角梯形 ABCD 中,AB=2,P 是边 AB 的中点,∠PDC=90°,问梯形 ABCD 面积的最小值是多 少?

43.有两条抛物线 y=x ﹣3x,y=﹣x +9,通过点 P(t,0)且平行于 y 轴的直线,分别交这两条抛物线于点 A 和 B, 当 t 在 0 到 3 的范围内变化时,求线段 AB 的最大值.

2

2

44.如图,半径为 1 的半圆内接等腰梯形,其下底是半圆的直径,试求: (1)它的周长 y 与腰长 x 之间的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围. (2)当腰长为何值时,周长有最大值?这个最大值为多少?

45.已知点 P,Q,R 分别在△ ABC 的边 AB,BC,CA 上,且 BP=PQ=QR=RC=1,求△ ABC 的面积的最大值.

46.已知:0≤x≤1,函数

的最小值为 m,试求 m 的最大值.

第 9 页 共 9 页

825--1 47.阅读下面的材料: 小明在学习中遇到这样一个问题:若 1≤x≤m,求二次函数 y=x ﹣6x+7 的最大值.他画图研究后发现,x=1 和 x=5 时的函数值相等,于是他认为需要对 m 进行分类讨论. 他的解答过程如下: 2 ∵二次函数 y=x ﹣6x+7 的对称轴为直线 x=3, ∴由对称性可知,x=1 和 x=5 时的函数值相等. ∴若 1≤m<5,则 x=1 时,y 的最大值为 2; 若 m≥5,则 x=m 时,y 的最大值为 m ﹣6m+7. 请你参考小明的思路,解答下列问题: 2 (1)当﹣2≤x≤4 时,二次函数 y=2x +4x+1 的最大值为 _________ ; 2 (2)若 p≤x≤2,求二次函数 y=2x +4x+1 的最大值; 2 (3)若 t≤x≤t+2 时,二次函数 y=2x +4x+1 的最大值为 31,则 t 的值为 _________ .
2 2

48.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动,同时 点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 P,Q 两点同时出发,分别到达 B,C 两点后就停止移 动. (1)设运动开始后第 t 秒钟后,五边形 APQCD 的面积为 Scm ,写出 S 与 t 的函数关系式,并指出自变量 t 的取值 范围. (2)t 为何值时,S 最小?最小值是多少?
2

49. 已知二次函数 y=x 与一次函数 y=2x+1 相交于 A、 B 两点, 点 C 是线段 AB 上一动点, 点 D 是抛物线上一动点, 且 CD 平行于 y 轴,求在移动过程中 CD 的最大值.

2

第 10 页 共 10 页

825--1 50.如图,在△ ABC 中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1,两个动点 P,Q 同时从 A 点出发,点 P 沿 AC 运动,点 Q 沿 AB,BC 运动,两点同时到达点 C. (1)点 Q 的速度是点 P 速度的多少倍? (2)设 AP=x,△ APQ 的面积是 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围, (3)求出 y 的最大值.

51.一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,BC=6.用这块废料剪出一个平行四边形 AGEF,其中,点 G, E,F 分别在 AB,BC,AC 上.设 CE=x (1)求 x=2 时,平行四边形 AGEF 的面积. (2)当 x 为何值时,平行四边形 AGEF 的面积最大?最大面积是多少?

52.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点 D 在 BC 上运动(不运动至 B,C) ,DE∥AC,交 AB 于 E,设 BD=x,△ ADE 的面积为 y. (1)求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2)x 为何值时,△ ADE 的面积最大?最大面积是多少?

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825--1 53.如图,将两张长为 8,宽为 2 的矩形纸条交叉放置. (1)求证:重叠部分的图形是菱形; (2)求重叠部分图形的周长的最大值和最小值. (要求画图﹑推理﹑计算)

54.如图,设点 P 是边长为 a 的正三角形 ABC 的边 BC 上一点,过点 P 作 PQ⊥AB,垂足为 Q,延长 QP 交 AC 的 延长线于点 R.当点 P 在何处时,△ BPQ 与△ CPR 的面积之和取最大(小)值?并求出最大(小)值.

55. (2012?杭州)当 k 分别取﹣1,1,2 时,函数 y=(k﹣1)x ﹣4x+5﹣k 都有最大值吗?请写出你的判断,并说 明理由;若有,请求出最大值.

2

56. (2003?黄石)二次函数 y=x +bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C(0,3) ,若△ ABC 的面积为 9,求此二次函数的最小值.

2

第 12 页 共 12 页

825--1 57. (2013?南岗区一模)如图,在 Rt△ AOB 中,∠AOB=90°,且 AO=8,BO=6,P 是线段 AB 上一个动点,PE⊥A0 于 E,PF⊥B0 于 F.设 PE=x,矩形 PFOE 的面积为 S (1)求出 S 与 x 的函数关系式; (2)当 x 为何值时,矩形 PFOE 的面积 S 最大?最大面积是多少?

58. (2013?资阳)在关于 x,y 的二元一次方程组 (1)若 a=3.求方程组的解; (2)若 S=a(3x+y) ,当 a 为何值时,S 有最值.

中.

59. (2010?漳州)如图,在△ ABC 中,∠C=90°,AC=4cm,BC=5cm,点 D 在 BC 上,且 CD=3cm.动点 P、Q 分 别从 A、C 两点同时出发,其中点 P 以 1cm/s 的速度沿 AC 向终点 C 移动;点 Q 以 cm/s 的速度沿 CB 向终点 B 移 动.过 P 作 PE∥CB 交 AD 于点 E,设动点的运动时间为 x 秒. (1)用含 x 的代数式表示 EP; (2)当 Q 在线段 CD 上运动几秒时,四边形 PEDQ 是平行四边形; (3)当 Q 在线段 BD(不包括点 B、点 D)上运动时,求四边形 EPDQ 面积的最大值.

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825--1

60.(2010?长春)如图,梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠ABC=90°,∠A=45°.AB=30,BC=x,其中 15<x <30.作 DE⊥AB 于点 E,将△ADE 沿直线 DE 折叠,点 A 落在 F 处,DF 交 BC 于点 G. (1)用含有 x 的代数式表示 BF 的长. (2)设四边形 DEBG 的面积为 S,求 S 与 x 的函数关系式. (3)当 x 为何值时,S 有最大值,并求出这个最大值.

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825--2

二次函数最值解答题 60 题参考答案:
1.解:因为顶点坐标为(3,2) ,对称轴为 x=3, 与 y 轴交点为(0,38) , 因为△ =144﹣4×2×19=144﹣152=﹣8<0, 所以与 x 轴无交点. 作图得:最值 2. 增减性:当 x≥3 时,y 随 x 的增大而增大; 当 x≤3 时,y 随 x 的增大而减小

2.解:由函数图象可得二次函数图象过点 C(0,3) , 将 A,B,两点代入函数解析式得 a=﹣1,b=2,c=3, 可得二次函数解析式为: y=﹣x +2x+3; 2 配方得:y=﹣(x﹣1) +4, ∴对称轴 x=1,最大值为 4 3.解:二次函数 y=x ﹣x﹣2= 顶点坐标为( , ) ,
2 2

解得:

﹣ 的图象如图:

(1)当﹣2<a< 时,函数为减函数, 最小值为当 x=a 时,y=a ﹣a﹣2. 当 a≥ 时,ymin=﹣ , (2)当 a>﹣2,且 a+2< , 即:﹣2<a<﹣ 时,函数为减函数, 最小值为:yx=a+2=(a+2) ﹣(a+2)﹣2, 当 a< ≤a+2,即﹣ ≤a< 时, 函数的最小值为 y=﹣
2 2

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825--2

4.解:配方 y=(x+a) ﹣1, 函数的对称轴为直线 x=﹣a, 顶点坐标为(﹣a,﹣1) . ①当 0≤﹣a≤3 即﹣3≤a≤0 时, 函数最小值为﹣1,不合题意; ②当﹣a<0 即 a>0 时, ∵当 x=3 时,y 有最大值;当 x=0 时,y 有最小值, ∴ ,解得 a=2;

2

③当﹣a>3 即 a<﹣3 时, ∵当 x=3 时,y 有最小值;当 x=0 时,y 有最大值, ∴ ,解得 a=﹣5.

∴实数 a 的值为 2 或﹣5 2 5.解:原式=3(y﹣1) +8, 2 ∵(y﹣1) ≥0, 2 ∴3(y﹣1) +8≥8, ∴有最小值,最小值为 8 6.解: (1)过 A 作 AE⊥BC 于 E,如图, ∵∠B=30°,AB=x, ∴AE= x, 又∵平行四边形 ABCD 的周长为 8cm, ∴BC=4﹣x, ∴y=AE?BC= x(4﹣x)=﹣ x +2x(0<x<4) ; (2)y=﹣ x +2x =﹣ (x﹣2) +2, ∵a=﹣ , ∴当 x=2 时,y 有最大值,其最大值为 2
2 2 2

7.解:对称轴 x=﹣

=﹣

= ,

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825--2 ① ≤0,即 a≤0 时,0≤x≤1 范围内,y 随 x 的增大而增大, 当 x=0 时,y 最小,最小值 y=2×0 ﹣a×0+1=1, ②0< <1,即 0<a<4 时, 当 x= 时有最小值,最小值 y=2×( ) ﹣a× +1=1﹣
2 2



③ ≥1,即 a≥4 时,0≤x≤1 范围内,y 随 x 的增大而减小, 当 x=1 时,y 最小,最小值 y=2×1 ﹣a×1+1=3﹣a, 综上所述,a≤0 时,最小值为 1, 0<a<4 时,最小值为 1﹣ ,
2

a≥4 时,最小值为 3﹣a 2 8.解:依题意△ =4a ﹣4(a+6)≥0, 2 即 a ﹣a﹣6≥0, ∴a≤﹣2 或 a≥3, (3 分) 由 m+n=2a,mn=a+6, 2 2 y=m +n ﹣2(m+n)+2 2 =(m+n) ﹣2mn﹣2(m+n)+2 2 =4a ﹣6a﹣10, =4(a﹣ ) ﹣
2



∴a=3 时,y 的最小值为 8. (12 分) 故 y 的最小值为 8 9.解:对称轴 x=﹣ =﹣ =a,

①a≤﹣1 时,﹣1≤x≤2 范围内,y 随 x 的增大而增大, 2 2 2 当 x=﹣1 时,y 最小,最小值 y=2×(﹣1) ﹣4a×(﹣1)+a +2a+2=a +6a+4, ②﹣1<a<2 时, 当 x=a 时,有最小值,最小值 y=2×a ﹣4a×a+a +2a+2=﹣a +2a+2, ③a≥2 时,﹣1≤x≤2 范围内,y 随 x 的增大而减小, 2 2 2 当 x=2 时,y 最小,最小值 y=2×2 ﹣4a×2+a +2a+2=a ﹣6a+10, 2 综上所述,a≤﹣1 时,最小值为 a +6a+4, 2 ﹣1<a<2 时,最小值为﹣a +2a+2, 2 a≥2 时,最小值为 a ﹣6a+10; ∵最小值为﹣1, ∴a +6a+4=﹣1,整理得 a +6a+5=0, 解得 a1=﹣1,a2=﹣5, 2 2 ﹣a +2a+2=﹣1,整理得,a ﹣2a﹣3=0, 解得 a3=﹣1,a4=3(舍去) , 2 2 a ﹣6a+10=﹣1,整理得,a ﹣6a+11=0, 2 △ =(﹣6) ﹣4×1×11=﹣8<0,方程无解, 综上所述,a 的所有可能值为﹣1、﹣5 10.解:根据抛物线顶点坐标公式得: =1, 解得:
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2 2 2 2 2

825--2 m=10 11.解: (1)根据二次函数的定义可知:m +2m﹣6=2,m+2≠0, 解得:m=2 或﹣4. (2)当 m=2 时,抛物线的开口向上,有最小值,此函数图象的顶点为最低点; (3)当 m=﹣4 时,抛物线的开口向下,有最大值,此函数图象的顶点为最高点 12.解:设两数为 x、y,两数的积为 s,根据题意列方程组得, , 整理得,s=x(6﹣x)=﹣x +6x, 2 配方得,s=﹣(x﹣3) +9, 可见,s 的最大值为 9. 如图:由于函数为抛物线, 其与 x 轴的交点坐标为: (0,0) , (6,0) , 顶点为(3,9) , 对称轴为直线 x=3, 画出函数图象
2 2

13.解:设一段铁丝的长度为 x,另一段为(20﹣x) , 则 S= x+
2

(20﹣x) (20﹣x)= (x﹣10) +12.5,
2

2

∴由函数当 x=10cm 时,S 最小,为 12.5cm 2 14.解:由 0≤a ﹣4a﹣2≤0, 解得:﹣2≤a≤2﹣ 或 2+ ≤a≤6. 2 2 2 2 由 y=x ﹣4ax+5a ﹣3a 可得 y=(x﹣2a) +a ﹣3a, 则最小值 m=a ﹣3a=(a﹣ ) ﹣ , 它的图象的对称轴为 a= . 在上述 a 的取值范围内的 a 值中 6 与 的距离最大. ∴a=6 时,原函数的最小值 m 有最大值 m=6 ﹣3×6=18 15.解:根据 x ﹣x﹣6≥0 且 x ﹣x﹣6≠6 时,函数才有意义, 解得:x≤﹣2 且 x≠﹣3 或 x≥3 且 x≠4, 2 此时函数 y=x ﹣4x﹣9, 图象如图:
2 2 2 2 2

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825--2

在 x≤﹣2 且 x≠﹣3 或 x≥3 且 x≠4 的范围内可知, 当 x=3 时,这个函数的最小值为﹣12 16.解:由题意:对称轴为 x=﹣ . 其次这是一个定区间(﹣1≤x≤1)动对称轴(x=﹣ )的函数,所以需要对对称轴所在位置进行分类讨论. 第一种情况:0<﹣ ≤1,不可能. 因对称轴在区间内故函数最大值在 x=﹣ 时取到, 因对称轴在区间左半段故函数最小值在 x=1 时取到. 联立 x=﹣ 时 y=﹣4 与 x=﹣1 时 y=0 两个方程解得 a=2±2 第二种情况,﹣ <﹣1,即对称轴在区间外, 此时 a>2,在区间内函数单调递减,故 x=﹣1 时 y=0,x=1 时 y=﹣4,解得 a=2,b=﹣2,满足 a>0 的条件. 解得:a=2,b=﹣2 17.解:∵a +b =(a+b) ﹣2ab,a +b =1, ∴ab= 设 a+b=t,则﹣ ∴y=a+b+ab= , ≤t≤ , +a+b= (t ﹣1)+t= t +t﹣ = (t+1) ﹣1,
2 2 2 2 2 2 2 2

,均不符合条件,故舍去.

∴t=﹣1 时,y 有最小值为﹣1, t= 时,y 有最大值,此时 y= ( , +1) ﹣1=
2



∴﹣1≤y≤

即 a+b+ab 的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤ 18.解:在矩形 ABCD 中,B(16,12) ,EC+CF=8; 则 AB=OC=16,BC=OA=12; 设 CF=x,则 EC=8﹣x; S△ AEF=S□ABCO﹣S△ AOE﹣S△ ABF﹣S△ ECF=OA×OC﹣ ×OE×OA﹣ ×AB×BF﹣ ×CE×CF =12×16﹣ ×[16﹣(8﹣x)]×12﹣ ×16×(12﹣x)﹣ ×x×(8﹣x)= x ﹣2x+48
2

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825--2 = (x﹣2) +46; 因此,当 x=2 时,S△ AEF 取得最小值 46. 故当 F 运动到 CF 为 2 时,△ AEF 的面积最小,最小为 46 19. (1)证明:∵AC⊥BD, ∴S 四边形 ABCD=S△ ABC+S△ ACD, = AC?OB+ AC?OD, = AC(OB+OD) = AC?BD;
2

(2)解:设 AC=x,∵AC+BD=10, ∴BD=10﹣x, ∴四边形 ABCD 的面积= x(10﹣x)=﹣ (x ﹣10x)=﹣ (x﹣5) + ∵﹣ <0, ∴当 x=5 时,四边形 ABCD 的面积有最大值 此时 AC=5,BD=5 20.解: (1)根据图象得:它的最小值是 0; (2)根据图象得:它的最大值是 0; (3)当 a>0 时,y=ax 有最小值,当 a<0 时,y=ax 有最大值
2 2 2 2





21.解:设其中一段铁丝的长度为 xcm,另一段为(156﹣x)cm, 则两个正方形面积和 S= x+
2

(156﹣x) = (x﹣78) +761,
2

2

2

∴由函数当 x=78cm 时,S 最小,为 761cm . 2 答:这两个正方形面积之和的最小值是 761cm 2 2 22.解:∵y=(a+2)x ﹣2(a ﹣1)x+1, ∴y=(a+2) +1﹣ ,其对称轴为 ,

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825--2 因为 a 为正整数,故因 , ,

因此,函数的最小值只能在 x 取 a﹣2,a﹣1,

时达到,

(1)当 a﹣1=

时,a=1,此时,x=0 使函数取得最小值,由于 x 是正整数,故应舍去;

(2)a﹣2<

<a﹣1 时,即 a>1 时,由于 x 是正整数,而
2 2

为小数,故 x=

不能达到最小值,

当 x=a﹣2 时,y1=(a+2) (a﹣2) ﹣2(a ﹣1) (a﹣2)+1, 2 2 当 x=a﹣1 时,y2=(a+2) (a﹣1) ﹣2(a ﹣1) (a﹣1)+1, 又 y1﹣y2=4﹣a, ①当 4﹣a>0 时,即 1<a<4 且 a 为整数时,x 取 a﹣1,使 y2 为最小值; ②当 4﹣a=0 时,即 a=4 时,有 y1=y2,此时 x 取 2 或 3; ③当 4﹣a<0 时,即 a>4 且为整数时,x 取 a﹣2,使 y1 为最小值;

综上,
2 2

(其中 a 为整数)

23.解:由 3a ﹣10ab+8b +5a﹣10b=0 可得(a﹣2b) (3a﹣4b+5)=0, (6 分) 所以 a﹣2b=0,或 3a﹣4b+5=0. (8 分) ①当 a﹣2b=0,即 a=2b 时, u=9a +72b+2=36b +72b+2=36(b+1) ﹣34, 于是 b=﹣1 时,u 的最小值为﹣34,此时 a=﹣2,b=﹣1. (13 分) ②当 3a﹣4b+5=0 时,u=9a +72b+2=16b +32b+27=16(b+1) +11, 于是 b=﹣1 时,u 的最小值为 11,此时 a=﹣3,b=﹣1. (18 分) 综上可知,u 的最小值为﹣34 24.解:∵y=4x ﹣4ax+a +1(0≤x≤2) , ∴y=4 +1,
2 2 2 2 2 2 2 2

(1)当 0≤ ≤2,即 0≤a≤4 时,最小值为 1,不符合题意,舍去; (2)当 <0 即 a<0 时,令 f(0)=3 得:a +1=3,解得:a=±
2 2

,故 a=﹣

; ;

(3)当 >2 即 a>4 时,令 f(2)=3,即 a ﹣8a+14=0,解得;a=4± 综上有;a=﹣ 或 4+ )+ .
2

,故 a=4+

25.解:原式=(x ∵(x ) ≥0.
2

∴原式>0 恒成立; 当 x= 时,原式有最小值为 26.解:由题意设二次函数解析式为:y=ax +bx+c, 把 A(0,2) 、B(2,0) 、C(﹣1,2)分别代入二次函数解析式,
第 21 页 共 21 页
2

825--2

得:

解得

所以函数解析式为:y=﹣ x ﹣ x+2, 配方得:y=﹣ (x﹣ ) +
2

2



所以二次函数有最大值且最大值为: 27.解: (1)∵在△ ABC 中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1, ∴BC=2,AC= , 而两个动点 P,Q 同时从 A 点出发,点 P 沿 AC 运动,点 Q 沿 AB,BC 运动,两点同时到达点 C ∴Q 的速度是 P 的速度的(2+1)÷ = 倍; (2)∵设 AP=x,△ APQ 的面积是 y, ①当 Q 在 AB 上,



时,



②当 Q 在 BC 上,

即 即:

时, ;



(3)对于 当 对于 当 时, 时,







≤x≤ ,



第 22 页 共 22 页

825--2 ∵ ∴当 , 时, .

28.解:设 C(m,2m+1) ,D(m,m ) , 2 2 2 则 CD=2m+1﹣m =﹣m +2m+1=﹣(m﹣1) +2, 当 m=1 时,CD 有最大值 2 29.解:原式=(x﹣ ) ﹣
2

2



∴当 x= 时,原式有最小值为﹣ 30.解: (1)y=2x ﹣4ax+a +2a+2, 2 2 y=2(x﹣a) ﹣a +2a+2, 2 当 x=a 时,y 有最小值为 3﹣(a﹣1) ; (2)当﹣1≤x≤2 时,3﹣(a﹣1) =2, 解得 a=0 或 a=2, 当 x<﹣1 时,则当 x=﹣1 时 y=2, 解得 , 当 x>2 时,则当 x=2 时 y=2, 解得 a=4, 所以:a=0 或 a=2 或 或 a=4 2 2 31.解: (1)当 1≤x≤2 时,y=x ﹣x+x+1=x +1, 当 x=1 时取最小值为 2, x=2 时取最大值为 5; (2)当﹣2≤x≤﹣1 时,y=x ﹣2x﹣1=(x﹣1) ﹣2, 当 x=﹣1 时,y 取得最小值为 2, 当 x=﹣2 时,y 取得最大值为 7; 2 2 (3)当﹣1≤x≤0 时,y=x ﹣x+x+1=x +1, 当 x=﹣1 时,y 取最大值为 2, 当 x=0 时,y 取最小值为 1; 2 2 (4)当 0≤x≤1 时,y=x﹣x +x+1=﹣(x﹣1) +2, 当 x=1 时 y 取最大值为 2, 当 x=0 时 y 取最小值为 1; 综上所述:y 的最大值为 7,最小值为 1 2 32.解:∵y=(k﹣1)x ﹣2(k﹣1)x﹣k, 2 =(k﹣1) (x﹣1) ﹣2k+1, ∴当 k>1 时,函数有最小值为﹣2k+1, 当 k<1 时,函数有最大值为﹣2k+1 33.解: (1)若 ∵二次函数最大值﹣3,即 (2)若 当 时,y 随 x 增大而减小,当 时,y 最大值=﹣a +4a﹣1,
2 2 2 2 2 2

,即﹣1≤a≤1,抛物线开口向下,当 与﹣1≤a≤1 矛盾,舍去.

时,y 最大值=2a,

第 23 页 共 23 页

825--2 由 又 a>1,∴ (3)若 当 由 又 a<﹣1,∴ 综上所述, 34.最小值= 时,y 随 x 增大而增大,当 时,y 最大值=﹣a ﹣1,
2

或 = = .

35.解: (1)3﹣k<0,即 k>3 时,函数有最大值 2; (2)3﹣k>0,即 k<3 时,函数有最大小 2 36.解:二次函数的对称轴为直线 x=﹣
2

=t,
2

①﹣1≤t≤1 时,x=t 时,函数有最大值 y=t ﹣2t?t+1=﹣t +1, 2 ②t<﹣1 时,x=1 时,函数有最大值 y=1 ﹣2t?1+1=﹣2t+2, 2 ③t>1 时,x=﹣1 时,函数有最大值 y=(﹣1) ﹣2t?(﹣1)+1=2t+2 37.解: (1)若 ∵二次函数最大值﹣3,即 (2)若 当 由 又 a>1,∴ (3)若 当 由 又 a<﹣1,∴ 综上所述,
2

,即﹣1≤a≤1,抛物线开口向下,当 与﹣1≤a≤1 矛盾,舍去.

时,y 最大值=2a,

时,y 随 x 增大而减小,当

时,y 最大值=﹣a +4a﹣1,

2

时,y 随 x 增大而增大,当

时,y 最大值=﹣a ﹣1,

2


2

38.解: (1)若 x ﹣4≥0,即|x|≥2,则 y=x ﹣3x﹣4∴ 若 x ﹣4≤0,即|x|≤2,则 y=﹣x ﹣3x+4∴ ∴ (2≤x≤5) ,
2 2

, ,

当 x=5 时,y 最大值=6;当 x=2 时,y 最小值=﹣6, 对 (﹣2≤x≤2) ,

第 24 页 共 24 页

825--2 当 时, ;x=2 时,y 最小值=﹣6, 时, ;

综上所述,x=2 时,y 最小值=﹣6;当

(2)由 2x+y=1 得

,y=1﹣2x,

由|y|≤1 得﹣1≤x≤1 故 0≤x≤1, ∴ 虽然有最小值 ,但 z 为开口向上,对称轴为 不在 0≤x≤1 的范围内,因此不是所求的最值. 的抛物线,

又 x=0 时,z=3;x=1 时,z=21. ∴所求的最小值为 3 39.解:对称轴为直线 x=﹣ =a,
2

①a<﹣2 时,x=﹣2 时,y 有最小值,最小值=(﹣2) ﹣2a×(﹣2)﹣3=4+4a﹣3=4a+1, 2 x=2 时,y 有最大值,最大值=2 ﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1; 2 2 ②﹣2≤a≤0 时,x=a 时 y 有最小值,最小值=a ﹣2a?a﹣3=﹣a ﹣3, 2 x=2 时,y 有最大值,最大值=2 ﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1; 2 2 ③0<a≤2 时,x=a 时 y 有最小值,最小值=a ﹣2a?a﹣3=﹣a ﹣3, 2 x=﹣2 时,y 有最大值,最大值=(﹣2) ﹣2a×(﹣2)﹣3=4+4a﹣3=4a+1; 2 ④a>2 时,x=2 时,y 有最小值,最小值=2 ﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1, 2 x=﹣2 时,y 有最大值,最大值=(﹣2) ﹣2a×(﹣2)﹣3=4+4a﹣3=4a+1 40.解:∵|x+1|≤6, 解得:﹣7≤x≤5, ∴当﹣7≤x<0 时,y=﹣x ﹣2x+1=﹣(x+1) +2, 当 x=﹣1 时,取得最大值为 2; 2 2 当 0≤x≤5 时,y=x ﹣2x+1=(x﹣1) , 故当 x=5 时,y 取得最大值为 16. 综合上述,原函数式最大值为 16 41.解:设鸡舍的长为 x, 则宽为 (14﹣2x+2)=8﹣x, 所以,鸡舍的面积=x(8﹣x)=﹣x +8x=﹣(x﹣4) +16, 2 所以,当 x=4,即长与宽都是 4 时,鸡舍的面积最大,最大值是 16m . 答:鸡舍的长与宽都是 4m 时,鸡舍的面积最大 42.解:设梯形上底为 x,下底为 y, ∵AB=2,P 是边 AB 的中点,∠PDC=90°, 2 2 2 ∴1+y ﹣(1+x )=4+(y﹣x) , 解得:y= +x, 梯形 ABCD 面积= ×(x+y)×2 =x+y =x+x+ =2x+ ≥4 =4,
2 2 2 2

第 25 页 共 25 页

825--2 当 x= 时,即 x=1,y=3 时,梯形 ABCD 面积取得最小值为 4 43.解:将直线 x=t,代入 y=x ﹣3x,y=﹣x +9 中,得 2 2 A 和 B 的纵坐标分别为 t ﹣3t,﹣t +9, ∴AB= ∴当 时,线段 AB 取得最大值 ,
2 2

44.解: (1)作 OE⊥AD,DF⊥AO,垂足分别为 E、F, 由垂径定理可知 AE= AD= x, 易证 Rt△ ADF∽Rt△ AOE, ∴ = ,即 = ,解得 AF= x ,
2 2

∴CD=AB﹣2AF=2﹣x , 2 2 ∴y=2x+2+2﹣x =﹣x +2x+4, ∵OA=1,AF= x , ∴ x <1 ∴0<x< ;
2 2 2 2

(2)∵y=﹣x +2x+4=﹣(x﹣1) +5, ∴x=1 时,周长最大为 5

45.解:由正弦定理得:BQ=2cosB,CQ=2cosC, 由上可推出 BC=2(cosB+cosC) , AB=BC ,AC=BC ,

∴S△ ABC= ×AB×AC×sinA, ∵三边固定,当面积最大时,sinA=1,∠A=90°, 又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP 所以△ APR 相似于△ QPR 因为 PR 边公用,所以 AP=AR=QP=QR=1 AB=AC=2, ∴S△ ABC= ×AB×AC×sinA=2

第 26 页 共 26 页

825--2 46.解:函数 ∴y= + ﹣ , , ,

(1)当 0≤ ≤1 时,m= ﹣ (2)当 <0 时,m= ,

(3)当 >1 时,m=1﹣a+ , 综上知:a=1 时,m 有最大值 0.25 47.解: (1)∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣1, ∴当﹣2≤x≤4 时,二次函数 y=2x +4x+1 的最大值为:2×4 +4×4+1=49; (2)∵二次函数 y=2x +4x+1 的对称轴为直线 x=﹣1, ∴由对称性可知,当 x=﹣4 和 x=2 时函数值相等, ∴若 p≤﹣4,则当 x=p 时,y 的最大值为 2p +4p+1, 若﹣4<p≤2,则当 x=2 时,y 的最大值为 17; (3)t<﹣2 时,最大值为:2t +4t+1=31, 2 整理得,t +2t﹣15=0, 解得 t1=3(舍去) ,t2=﹣5, 2 t≥﹣2 时,最大值为:2(t+2) +4(t+2)+1=31, 2 整理得, (t+2) +2(t+2)﹣15=0, 解得 t1=1,t2=﹣7(舍去) , 所以,t 的值为 1 或﹣5 48.解: (1)第 t 秒钟时,AP=tcm,故 PB=(6﹣t)cm,BQ=2tcm, 故 S△ PBQ= ?(6﹣t)?2t=﹣t +6t ∵S 矩形 ABCD=6×12=72. 2 ∴S=72﹣S△ PBQ=t ﹣6t+72(0<t<6) ; (2)∵S=t ﹣6t+72=(t﹣3) +63, 2 ∴当 t=3 秒时,S 有最小值 63cm 49.解:设 C(m,2m+1) ,D(m,m ) , 2 2 2 则 CD=2m+1﹣m =﹣m +2m+1=﹣(m﹣1) +2, 当 m=1 时,CD 有最大值 2 50.解: (1)∵在△ ABC 中,∠A=90°,∠C=30°,AB=1, ∴BC=2,AC= , 而两个动点 P,Q 同时从 A 点出发,点 P 沿 AC 运动,点 Q 沿 AB,BC 运动,两点同时到达点 C ∴Q 的速度是 P 的速度的(2+1)÷ = 倍; (2)∵设 AP=x,△ APQ 的面积是 y, ①当 Q 在 AB 上,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

第 27 页 共 27 页

825--2



时,



②当 Q 在 BC 上,

即 即:

时, ;



(3)对于 当 对于 当 ∵ ∴当 时, , 时, 时,







≤x≤ ,



51.解:设平行四边形 AGEF 的面积是 S. ∵四边形 AGEF 是平行四边形, ∴EF∥AG; ∵∠A=30°,∠C=90°,CE=x,BC=6, ∴∠A=∠CFE=30°, ∴CF= x,AC=6 , ∴AF=6 ﹣ x; 2 ∴S=AF?CE=(6 ﹣ x)x=﹣ x +6 x,即 S=﹣ (1)当 x=2 时,S=﹣4 +12 =8 ,即 S=8 . 答:平行四边形 AGEF 的面积为 (平方单位)…4 分 2 (2)由 S=﹣ x +6 x,得 , ∴ ,

x +6

2

x;

∴当 x=3 时,平行四边形 AGEF 的面积最大,最大面积是 52.解: (1)在 Rt△ ABC 中,AC=

(平方单位)…9 分 =6,

第 28 页 共 28 页

825--2 ∴tanB= .

∵DE∥AC, ∴∠BDE=∠BCA=90°. ∴DE=BD?tanB= x,CD=BC﹣BD=8﹣x. 设△ ADE 中 DE 边上的高为 h,∵DE∥AC,∴h=CD. ∴y= DE?CD= ?(8﹣x) ,即 y= +3x.

自变量 x 的取值范围是 0<x<8;

(2)x=

=4 时,y 最大=

=6.

即当 x=4 时,△ ADE 的面积最大为 6 53. (1)证明:过点 A 作 AE⊥BC 于 E,AF⊥CD 于 F, ∵两条纸条宽度相同(对边平行) , ∴AB∥CD,AD∥BC,AE=AF, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵S?ABCD=BC?AE=CD?AF, 又∵AE=AF, ∴BC=CD, ∴四边形 ABCD 是菱形; (2)解:当两张纸条如图所示放置时,菱形周长最大,设这时菱形的边长为 xcm, 由勾股定理:x =(8﹣x) +2 , 得:4x=17, 即菱形的最大周长为 17cm. 当两张纸条如图所示放置时,即是正方形时取得最小值为:2×4=8.
2 2 2

第 29 页 共 29 页

825--2 54.解:在 Rt△ BPQ 中,设 PB=x,由∠B=60°,得: BQ= ,PQ= ,从而有 PC=CR=a﹣x,

∴△BPQ 与△ CPR 的面积之和为: S= x+
2

(a﹣x) =

2

(x﹣ a) +

2

a,

2

∵0≤x≤a, ∴当 x=0 时,S 取最大值 当 x= a 时,S 取最小值 a, a
2 2

55.解:k 可取值﹣1,1,2 (1)当 k=1 时,函数为 y=﹣4x+4,是一次函数(直线) ,无最值; 2 (2)当 k=2 时,函数为 y=x ﹣4x+3,为二次函数.此函数开口向上,只有最小值而无最大值; 2 (3)当 k=﹣1 时,函数为 y=﹣2x ﹣4x+6,为二次函数.此函数开口向下,有最大值. 2 2 因为 y=﹣2x ﹣4x+6=﹣2(x+1) +8,则当 x=﹣1 时,函数有最大值为 8 2 56.解:设 A(m,0) ,B(n,0) ,则 m,n 是方程 x +bx+c=0 的两个根, 2 ∵y=x +bx+c 过点 C(0,3) , ∴c=3, 又∵S△ ABC= |AB|?|OC|= |AB|?3=9, ∴|AB|=6, ∴|m﹣n|=6, 2 即(m+n) ﹣4mn=36, 而
2



∴b ﹣12=36,b=±4 , 2 2 ∴y=x ±4 x+3=(x±2 ) ﹣9, ∴所求的最小值为﹣9 57.解: (1)在矩形 PFOE 中,OF=PE=x, ∵AO=8,BO=6, ∴tanB= 即 = = , ,

解得 PF= (6﹣x) , ∴矩形 PFOE 的面积为 S=PE?PF=x? (6﹣x)=﹣ x +8x, 即 S=﹣ x +8x;
2 2

第 30 页 共 30 页

825--2 (2)∵S=﹣ x +8x=﹣ (x ﹣6x+9)+12=﹣ (x﹣3) +12, ∴当 x=3 时,矩形 PFOE 的面积 S 最大,最大面积是 12 58.解: (1)当 a=3 时,方程组为 ②×2 得,4x﹣2y=2③, ①+③得,5x=5, 解得 x=1, 把 x=1 代入①得,1+2y=3, 解得 y=1, 所以,方程组的解是 ; ,
2 2 2

(2)方程组的两个方程相加得,3x+y=a+1, 所以,S=a(3x+y)=a(a+1)=(a+ ) ﹣ , 所以,当 a=﹣ 时,S 有最小值﹣ 59.解: (1)∵PE∥CB, ∴∠AEP=∠ADC, 又∵∠EAP=∠DAC, ∴△AEP∽△ ADC, (2 分) ∴ ∴ ∴ = ,
2

= , (3 分) . (4 分)

(2)由四边形 PEDQ1 是平行四边形,可得 EP=DQ1. (5 分) 即 x=3﹣ x,所以 x=1.5. (6 分) ∵0<x<2.4(7 分) ∴当 Q 在线段 CD 上运动 1.5 秒时,四边形 PEDQ 是平行四边形. (8 分) (3)S 四边形 EPDQ2= ( x+ x﹣3)?(4﹣x) (9 分) =﹣x +
2

x﹣6=﹣(x﹣

)+

2

, (10 分)

又∵2.4<x<4, (12 分) ∴当 x= 时,S 取得最大值,最大值为

第 31 页 共 31 页

825--2

60.解 : (1)由题意,得 EF=AE=DE=BC=x,AB=30, ∴BF=2x-30. (2)∵∠F=∠A=45°,∠CBF=∠ABC=90°, ∴∠BGF=∠F=45°. ∴BG=BF=2x-30, 1 1 ∴S=S △DEF ? S △GBF = DE?? BF? 2 2 1 1 = x?? (2x? 30)? 2 2 3 =? x?+60x? 450. 2 3 3 (3)S=? x?+60x? 450=? (x? 20)?+150. 2 2 3 ∵a=? <0,15<20<30, 2 ∴当 x=20 时,S 有最大值,最大值为 150。

第 32 页 共 32 页


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