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高考数学选择题神乎其神的简捷解法专题(1)


高考数学选择题神乎其神的简捷解法专题(1)
湖南长沙宁乡一中 黎国之 13574820168





高考数学选择题,知识覆盖面宽,概括性强,小巧灵活,有一定深度与综合性,而且分值大,能否 迅速、准确地解答出来,成为全卷得分的关键。 选择题的解答思路不外乎两条:一是直接法,即从题干出发,探求结果,这类选择题通常用来考核 考生最起码的基础知识和基本技能,这一般适用于题号在前 1~6 的题目;二是间接法,即从选项出发, 或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项,又无须写出解答过程,因此存在一些特 殊的解答方法,可以快速准确地得到结果,这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质, 包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性;同 直接法相比,间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一,是节约解题时间的重要手 段。 然而,有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心,认为这样做“不可靠” ,以至于在用间接 法做过以后又用直接法再做一遍予以验证;甚至有思想不解放的,认为这样做“不道德” ,而不明白这 其实正是高考命题者的真实意图所在,高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重 要手段。 解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉 判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作,等等。考生应该有意识地积累一些经典 题型,分门别类,经常玩味,以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之,并配备 足够的对应练习题,每题至少提供有一种解法。

例题与题组
一、数形结合 画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思维难度,是解决数学问题 的有力策略,这种方法使用得非常之多。 【例题】 、 (07 江苏 6)设函数 f ( x ) 定义在实数集上,它的图象关于直线 x ? 1 对称,且当 x ? 1 时,

f ( x) ? 3x ? 1,则有(

) 。 B、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

A、 f ( ) ? f ( ) ? f ( )

1 3 2 3 2 3 2 1 3 C、 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2

2 3 1 3 2 3 3 2 1 D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 3

x 【解析】 、当 x ? 1 时, f ( x) ? 3 ? 1, f ( x ) 的

图象关于直线 x ? 1 对称,则图象如图所示。 这个图象是个示意图,事实上,就算画出

f ( x) ?| x ? 1| 的图象代替它也可以。由图知,
符合要求的选项是 B, 【练习 1】 、若 P(2,-1)为圆 ( x ?1) ? y ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(
2 2



A、 x ? y ? 3 ? 0

B、 2 x ? y ? 3 ? 0 C、 x ? y ? 1 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0
用心 爱心 专心

(提示:画出圆和过点 P 的直线,再看四条直线的斜率,即可知选 A)

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 【练习 2】 、 (07 辽宁)已知变量 x 、 y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是( x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
A、 ? , 6 ? 5 (提示:把



?9 ?

? ?

B、 ? ??, ? ? ? 6, ?? ? 5

? ?

9? ?

C、 ? ??,3? ? ?6, ???

D、 ?3,6?

y 看作可行域内的点与原点所在直线的斜率,不难求得答案 ,选 A。 ) x
2

【练习 3】 、曲线 y ? 1 ? 4 ? x ( x ? ? ?2, 2?) 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个公共点时,

k 的取值范围是( ) 5 1 1 A、 (0, ) B、 ( , ) 12 4 3 5 5 3 C、 ( , ?? ) D、 ( , ) 12 12 4
( 提 示 : 事 实 上 不 难 看 出 , 曲 线 方 程

y ? 1 ? 4 ? x 2 ( x ? ? ?2, 2?) 的 图 象 为

x2 ? ( y ?1)2 ? 4(?2 ? x ? 2,1 ? y ? 3) ,表示以( 1 , 0 )为圆心, 2 为半径的上半圆,如图。直线
y ? k ( x ? 2) ? 4 过定点(2,4) ,那么斜率的范围就清楚了,选 D)]
【练习 4】 、函数 y ?| x | (1 ? x) 在区间 A 上是增函数,则区间 A 是( A、 ?? ?,0? B、 ?0, ? 2 D、 ? ,?? ? )

? 1? ? ? ? ?

C、 ?0,???

?1 ?2

(提示:作出该函数的图象如右,知应该选 B)

【练习 5】 、曲线

|x| | y| ? ? 1 与直线 y ? 2 x ? m 2 3

有两个交点,则 m 的取值范围是( ) A、 m ? 4 或 m ? ?4 B、 ? 4 ? m ? 4 C、 m ? 3 或 m ? ?3 D、 ? 3 ? m ? 3 (提示:作出曲线的图象如右,因为直线

y ? 2 x ? m 与其有两个交点,则 m ? 4 或 m ? ?4 ,选 A)
用心 爱心 专心

【练习 6】 、 (06 湖南理 8)设函数 f ( x) ?

M ? P ,则实数 a 的取值范围是(
A、 (??,1) B、 (0,1)

x?a ' ,集合 M ? ?x | f ( x) ? 0? , P ? ? x | f ( x) ? 0? ,若 x ?1
D、 [1, ??)



C、 (1, ??)

(提示:数形结合,先画出 f ( x ) 的图象。 f ( x) ? 如左;当 a ? 1 时图象如右。

x ? a x ?1?1? a 1? a ? ? 1? 。当 a ? 1 时,图象 x ?1 x ?1 x ?1

由图象知, 当 a ? 1 时函数 f ( x ) 在 (1, ??) 上递增, f ' ( x) ? 0 , 同时 f ( x) ? 0 的解集为 (1, ??) 的 真子集,选 C) 【练习 7】 、 ( 06 湖 南 理 10 ) 若 圆 x2 ? y2 ? 4x ? 4 y ?10 ? 0 上 至 少 有 三 个 不 同 的 点 到 直 线

l : ax ? by ? 0 的距离为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角 ? 的取值范围是( )
A、 ?

?? ? ? , ?12 4 ? ?

B、 ?

? ? 5? ? , ?12 12 ? ?

C、 ?

?? ? ? , ?6 3? ?

D、 ? 0,

? ?? ? 2? ?

(提示:数形结合,先画出圆的图形。圆方程化为

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? (3 2)2 ,由题意知,圆心到直线
的距离 d 应该满足 0 ? d ? 2 ,在已知圆中画一个半 径为 2 的同心圆,则过原点的直线 l : ax ? by ? 0 与小圆有公共点,∴选 B。 ) 【练习 8】 、 (07 浙江文 10)若非零向量 a,b 满足|a-b|=| b |,则( ) A、|2b| > | a-2b | B、|2b| < | a-2b | C、|2a| > | 2a-b | D、|2a| < | 2a-b | (提示:关键是要画出向量 a,b 的关系图,为此
2

先把条件进行等价转换。|a-b|=| b | ? |a-b| = 2 2 2 2 | b | ? a +b -2a·b= b ? a· (a-2b)=0 ? a⊥(a-2b) ,又 a-(a-2b)=2b,所以|a|,| a-2b |, |2b|为边长构成直角三角形,|2b|为斜边,如上图, ∴|2b| > | a-2b |,选 A。 另外也可以这样解:先构造等腰△OAB,使 OB=AB, 再构造 R△OAC,如下图,因为 OC>AC,所以选 A。 )

用心

爱心

专心

【练习 9】 、方程 cosx=lgx 的实根的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 (提示:在同一坐标系中分别画出函数 cosx 与 lgx 的图象,如图,

由两个函数图象的交点的个数为 3,知应选 C) 【练习 10】 、(06 江苏 7)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有( ) A、 A ? C B、 C ? A C、 A ? C D、 A ? ? (提示:若 A ? B ? C ? ? ,则 A ? B ? A, B ? C ? B ? A 成立,排除 C、D 选项,作出 Venn 图,可知 A 成立) 【练习 11】 、(07 天津理 7)在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x) ? f (2 ? x) 。若 f ( x ) 在区间 [1,2]上是减函数,则 f ( x ) ( )

A、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 B、在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 C、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 D、在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数 (提示:数形结合法, f ( x ) 是抽象函数,因此画出其简单图象即可得出结论,如下左图知选 B)

【练习 12】 、 (07 山东文 11 改编)方程 x ? ( )
3

1 2

x?2

的解 x0 的取值区间是( )

A、 (0,1)

B、 (1,2)

C、 (2,3)

D、 (3,4)
3

(提示:数形结合,在同一坐标系中作出函数 y ? x , y ? ( )

1 2

x?2

的图象,则立刻知选 B,如上右图)

二、特值代验 包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形,代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫 做特值代验法,是一种使用频率很高的方法。 【例题】 、 ( 93 年 全 国 高 考 ) 在 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 ?an ? 中 , 若 a5a6 ? 9 , 则 ( log g a 2?? ? l o3a g 10 ? 3 a 1? l o 3 A、12 B、10 ) C、8 D、 2 ? log3 5
用心 爱心 专心

【解析】 、思路一(小题大做) :由条件有 9 ? a5a6 ? a1q4 ? a1q5 ? a12q9 , 从而
10 a1 ? a2 ? a3 ? ?? a10 ? a1 ? q1?2???9 ? (a12q9 )5 ? 310 ,

所以原式= log3 (a1a2 ?a10 ) ? log3 310 ? 10 ,选 B。 思路二(小题小做) :由 9 ? a5a6 ? a4 a7 ? a3a8 ? a2a9 ? a1a10 知原式= log3 (a5a6 )5 ? log3 310 ? 3 , 选 B。 思路三(小题巧做) :因为答案唯一,故取一个满足条件的特殊数列 a5 ? a6 ? 3, q ? 1 即可,选 B。 【练习 1】 、 (07 江西文 8)若 0 ? x ? A、 sin x ?

?
2

,则下列命题中正确的是(



2

?

x

B、 sin x ?

2

(提示:取 x ?

? ?

?

x

C、 sin x ?

3

?

x

D、 sin x ?

3

?

x

, 验证即可,选 B) 6 3


【练习 2】 、 (06 北京理 7)设 f (n) ? 2 ? 24 ? 27 ? 210 ? ? ? 23n?10 (n ? N ) ,则 f (n) ? (

2 n?4 (n ? 1) 7 (提示:思路一:f(n)是以 2 为首项,8 为公比的等比数列的前 n ? 4 项的和,
A、 B、 C、 D、 所以 f (n) ?

2 n (8 ? 1) 7

2 n ?1 (8 ? 1) 7

2 n ?3 (8 ? 1) 7

2(1 ? 8n? 4 ) 2 n? 4 ? (n ? 1) ,选 D。这属于直接法。 1? 8 7
4 7 10 3 4 2? ?1 ? (2 ) ? ?

思路 2: 令n ? 0, 则 f (0) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

1? 2

2 对照选项, 只有 D 成立。 ) ? (84 ? 1) , 7

【练习 3】 、 (06 全国 1 理 9)设平面向量 a1、a2、a3 的和 a1+a2+a3=0,如果平面向量 b1、b2、b3 满足 | bi|=2| ai |,且 ai 顺时针旋转 30 以后与 bi 同向,其中 i=1、2、3 则(
?



A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0 (提示:因为 a1+a2+a3=0,所以 a1、a2、a3 构成封闭三角形,不妨设其为正三角形,则 bi 实际上是 将三角形顺时针旋转 30 后再将其各边延长 2 倍,仍为封闭三角形,故选 D。 ) 【练习 4】 、若 f ( x) ? a (a ? 0, a ? 1) , f ?1 (2) ? 0, 则 f ?1 ( x ? 1) 的图象是( )
x
?

A、

B、

C、

D、

(提示:抓住特殊点 2, f ?1 (2) ? 0 ,所以对数函数 f ?1 ( x) 是减函数,图象往左移动一个单位得

f ?1 ( x ? 1) ,必过原点,选 A)
用心 爱心 专心

【练习 5】 、若函数 y ? f ( x ? 1) 是偶函数,则 y ? f (2 x) 的对称轴是( A、 x ? 0 B、 x ? 1 C、 x ?



1 2

D、 x ? 2

( 提 示 : 因 为 若 函 数 y ? f ( x? 1) 是 偶 函 数 , 作 一 个 特 殊 函 数 y ? ( x ? 1)2 , 则 y ? f ( 2 x) 变 为
2 ,即知 y ? f (2 x) 的对称轴是 x ? y ? (2x ? 1)

1 ,选 C) 2

【练习 6】 、已知数列{an}的通项公式为 an=2 ,其前 n 和为 Sn,那么
n-1

Cn S1+ Cn S2+?+ Cn Sn=(
1 2 n n n n n


n n n n

A、2 -3 B、3 -2 C、5 -2 D、3 -4 n-1 1 2 n (提示: 愚蠢的解法是: 先根据通项公式 an=2 求得和的公式 Sn, 再代入式子 Cn S1+ Cn S2+?+ Cn Sn, 再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解,有些书上就是这么做的!其实这既然是小题,就应该按照小 题的解思路来求做:令 n=2,代入式子,再对照选项,选 B)
【练习 7】 、 (06 辽宁理 10)直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x ( k ? R, k ? 1 )的公共点的个
2 2 2 2

数是( ) A、1

B、2

C、3

D、4

2 (提示:取 k ? 1 ,原方程变为 ( x ? 1) ?

y2 ? 1 ,这是两个椭圆,与直线 y ? 2 有 4 个公共点,选 D) 9

【练习 8】 、如图左,若 D、E、F 分别是 三棱锥 S-ABC 的侧棱 SA、SB、SC 上的点, 且 SD:DA=SE:EB=CF:FS=2:1,那么平 面 DEF 截三棱锥 S-ABC 所得的上下两部分 的体积之比为( ) A、4:31 B、6:23 C、4:23 D、2:25 (提示:特殊化处理,不妨设三棱锥 S-ABC 是棱长为 3 的正三棱锥,K 是 FC 的中点,V1 , V2 V1 , V2 分 别表示上下两部分的体积 则

VS ? DEF SS ? DEF 2h 2 2 2 8 V 8?4 4 ,? 1 ? ,选 C) ? ?( ) ? ? ? VS ? ABC SS ? ABC 3h 3 3 27 V2 27 ? 8 ? 4 23

【练习 9】 、 △ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H,OH ? m(OA ? OB ? OC) , 则m的 取值是( ) A、-1 B、1 C、-2 D、2 ( 提 示 : 特 殊 化 处 理 , 不 妨 设 △ ABC 为 直 角 三 角 形 , 则 圆 心 O 在 斜 边 中 点 处 , 此 时 有

????

??? ? ??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ? ??? ? OH ? OA ? OB ? OC , m ? 1 ,选 B。 )
【练习 10】 、双曲线方程为 A、 k ? 5

x2 y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是( k ?2 5?k
C、 ?2 ? k ? 2
用心 爱心 专心



B、 2 ? k ? 5

D、 ?2 ? k ? 2 或 k ? 5

(提示:在选项中选一些特殊值例如 k ? 6,0 代入验证即可,选 D) 三、筛选判断 包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证,或者逻辑排除法,即通过对四个选项之间的 内在逻辑关系进行排除与确定。 【例题】 、设集合 A 和 B 都属于正整数集,映射 f: A ? B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的 元素,则在映射 f 下,像 20 的原像是( ) A、2 B、3 C、4 D、5 【解析】 、经逐一验证,在 2、3、4、5 中,只有 4 符合方程 2 ? n =20,选 C。
n

【练习 1】 、 (06 安徽理 6)将函数 y ? sin ? x(? ? 0) 的图象按向量 a= ( ?

?
6

, 0) 平移以后的图象如图所示,则


平移以后的图象所对应的函数解析式是( A、 y ? sin( x ?

?
6

) 3 )

B、 y ? sin( x ?

?
6

) 3 )

C、 y ? sin(2 x ?

?

D、 y ? sin(2 x ?

?

7? 12

(提示:若选 A 或 B,则周期为 2? ,与图象所示周期不符;若选 D,则与 “按向量 a= ( ? 移” 不符,选 C。此题属于容易题) 【练习 2】 、 (06 重庆理 9)如图,单位圆中 ? AB 的

?
6

, 0) 平

AB 与弦 AB 所围成的弓形的面的 长度为 x , f ( x ) 表示 ?
2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象是( )

2?

2?

2?

2?

? ?
2?

?
? 2?

? ?
C、 2?

? ?
D、 2?

A、 B、 (提示:解法 1 设 ?AOB ? ? ,则 x ? ? , 则 S 弓形=S 扇形- S△AOB=

1 1 ? ? x ?1 ? 2 ? sin cos 2 2 2 2

?

1 1 ( x ? sin ? ) ? ( x ? sin x) ,当 x ? (0, ? ) 时, 2 2

sin x ? 0 ,则 x ? sin x ? x ,其图象位于 y ? x 下方;当 x ? (? , 2? ) 时, sin x ? 0 , x ? sin x ? x ,其
图象位于 y ? x 上方。所以只有选 D。这种方法属于小题大作。 解法 2 结合直觉法逐一验证。显然,面积 f ( x ) 不是弧长 x 的一次函数,排除 A;当 x 从很小的值
用心 爱心 专心

逐渐增大时, f ( x ) 的增长不会太快,排除 B;只要 x ? ? 则必然有面积 f ( x) ? ? ,排除 C,选 D。事实 上,直觉好的学生完全可以直接选 D) 【练习 3】 、 (06 天津文 8)若椭圆的中心点为 E(-1,0) ,它的一个焦点为 F(-3,0) ,相应于焦 点的准线方程是 x ? ?

7 ,则这个椭圆的方程是( 2
B、



A、

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3

2( x ? 1)2 2 y 2 ? ?1 21 3

C、

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

D、

( x ? 1) 2 ? y2 ? 1 5

? (提示: 椭圆中心为 (-1, 0) , 排除 A、 C, 椭圆相当于向左平移了 1 个单位长度, 故 c=2,
∴ a2 ? 5 ,选 D) 【练习 4】 、不等式 x ? A、 (?1,0) ? (1, ??) C、 (?1,0) ? (0,1)

a2 7 ?1 ? ? , c 2

2 ? 2 的解集是( x ?1



B、 (??, ?1) ? (0,1) D、 (??, ?1) ? (1, ??)

(提示: 如果直接解, 差不多相当于一道大题! 取x ? 2, 代入原不等式, 成立, 排除 B、 C; 取 x ? ?2 , 排除 D,选 A) 【练习 5】 、 (06 江西理 12)某地一年内的气温 Q(t) (℃)与时间 t(月份)之间的关系如右图, 已知该年的平均气温为 10℃。令 C(t)表示时间 段[0,t]的平均气温,C(t)与 t 之间的函数关系 如下图,则正确的应该是( )

A、 B、 C、 D、 (提示:由图可以发现,t=6 时,C(t)=0,排除 C;t=12 时,C(t)=10,排除 D;t>6 时的某 一段气温超过 10℃,排除 B,选 A。 ) 【练习 6】 、集合 M ? ?(2n ? 1)? | n ? Z? 与集合 N ? ?(4k ? 1)? | k ? Z? 之间的关系是( )

A、 M ? N B、 M ? N C、 M ? N D、 M ? N (提示:C、D 是矛盾对立关系,必有一真,所以 A、B 均假; 2n ? 1 表示全体奇数, 4k ? 1 也表示 奇数,故 M ? N 且 B 假,只有 C 真,选 C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。 当然,此题用现场操作法来解也是可以的,即令 k=0,±1,±2,±3,然后观察两个集合的关系 就知道答案了。 )

用心

爱心

专心

【练习 7】 、当 x ?? ?4,0? 时, a ? ? x ? 4 x ?
2

4 x ? 1 恒成立,则 a 的一个可能的值是( 3



A、5

B、

5 3

C、 ?

5 3

D、 ?5

(提示:若选项 A 正确,则 B、C、D 也正确;若选项 B 正确,则 C、D 也正确;若选项 C 正确,则 D 也正确。选 D) 【练习 8】 、 (01 广东河南 10)对于抛物线 y 2 ? 4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足 PQ ? a , 则 a 的取值范围是( A、 ? ??,0? ) B、 (??, 2] C、 [0, 2] D、 (0, 2)

(提示:用逻辑排除法。画出草图,知 a<0 符合条件,则排除 C、D;又取 a ? 1 ,则 P 是焦点, 记点 Q 到准线的距离为 d,则由抛物线定义知道,此时 a<d<|PQ|,即表明 a ? 1 符合条件,排除 A,选 B。另外,很多资料上解此题是用的直接法,照录如下,供“不放心”的读者比较——
2 2 y0 y0 2 2 2 ? a)2 ? a 2 ,整理得 y0 设点 Q 的坐标为 ( , y0 ) ,由 PQ ? a ,得 y0 ? ( ( y0 ?16 ? 8a) ? 0 , 4 4 2 y0 y2 恒成立,而 2 ? 0 的最小值是 2,∴ a ? 2 ,选 B) 8 8
2 2

2 2 ∵ y0 ? 16 ?8a ? 0 ,即 a ? 2 ? ? 0 ,∴ y0

【练习 9】 、 (07 全国卷Ⅰ理 12)函数 f ( x) ? cos x ? cos

x 的一个单调增区间是( ) 2

A、 ?

? ? 2? ? , ? ?3 3 ?

B、 ?

?? ? ? , ? ?6 2?

C、 ? 0,

? ?

??
? 3?

D、 ? ?

? ? ?? , ? ? 6 6?

(提示: “标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组,再结合图象解得的,选 A。建议你用代入验证 法进行筛选:因为函数是连续的,选项里面的各个端点值其实是可以取到的,由 f ( ? 然直接排除 D,在 A、B、C 中只要计算两个即可,因为 B 中代入 在就验算 A,有 f ( ) ? f (

?

?

3

2? ) ,符合,选 A) 3

? ? 会出现 ,所以最好只算 A、C、现 12 6

) ? f ( ) ,显 6 6

?

四、等价转化 解题的本质就是转化,能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化,要通过必要的训练,达到见识 足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。 【例题】 、 (05 辽宁 12)一给定函数

y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? ? 0,1? ,由关
?

系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列满足 an?1 ? an (n ? N ) ,则该函数的图象是(



A、

B、
用心

C、
爱心 专心

D、

【解析】问题等价于对函数 y ? f ( x) 图象上任一点 ( x, y ) 都满足 y ? x ,只能选 A。
3 3 【练习 1】 、设 t ? sin ? ? cos ? ,且 sin ? + cos ? ? 0 ,则 t 的取值范围是(



A、[- 2 ,0) C、 (-1,0) ? (1, 2 ]
(提示: 因为 sin
3

B、[ ? 2, 2 ] D、 (- 3 ,0) ? ( 3,??)

2 2 2 (sin ? + cos ? ) (sin ? - sin ? cos ? + cos ? ) , 而 sin ? - sin ? cos ? + ? + cos3 ? = 2 3 3 3 3 cos ? >0 恒成立,故 sin ? + cos ? ? 0 ? t<0,选 A。另解:由 sin ? + cos ? ? 0 知 ? 非锐角,

而我们知道只有 ? 为锐角或者直角时 t ? sin ? ? cos ? ? 【练习 2】 、 F1 , F2 是椭圆 A、4 B、5

2 ,所以排除 B、C、D,选 A)


????????? x2 2 ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在椭圆上运动,则 PF1 ?PF2 的最大值是( 4
C、1 D、2

(提示:设动点 P 的坐标是 ( 2cos ? ,sin ? ) ,由 F1 , F2 是椭圆的左、右焦点得 F 1 (? 3,0) ,

???? ???? ? (2cos ? ? 3,sin ? ) | ?| 4cos2 ? ? 3 ? sin 2 ? | F2 ( 3,0) ,则 PF1 ? PF2 ? | (2cos ? ? 3,sin ? )?

?| 3cos2 ? ? 2 |? 2 ,选 D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提
???? ???? ? ???? ???? ? | PF | ? | PF | 1 2 ? a2 ? 4 ) 醒:下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的—— PF1 ? PF2 ? 2
【练习 3】 、若 loga 2 ? logb 2 ? 0 ,则( A、 0 ? a ? b ? 1 B、 0 ? b ? a ? 1 ) 。 C、 a ? b ? 1 D、 b ? a ? 1

(提示:利用换底公式等价转化。

log a 2 ? logb 2 ? 0 ?

lg 2 lg 2 ? ? 0 ? lg b ? lg a ? 0 ∴ 0 ? b ? a ? 1 ,选 B) lg a lg b
且 d ? c , a ? b ? c ? d , a ? d ? b ? c ,则( )

, ,, R ? , 【练习 4】 、 abcd

A、 d ? b ? a ? c B、 b ? c ? d ? a C、 b ? d ? c ? a D、 b ? d ? a ? c (提示:此题条件较多,又以符号语言出现, 令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化” , 如图 ,用线段代表 a, b, c, d , 立马知道选 C。当然 这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化” , 分别用数字 1,4,2,3 代表 a, b, c, d , 容易 知道选 C。 也许你认为对策一的转化并不等价, 是的, 但是作为选择题, 可以事先把条件 “ a, b, c, d ? R ” 收严一些变为“ a, b, c, d ? R ” 。
用心 爱心 专心
?

【练习 5】 、已知 ? ? 0, 若函数 f ( x) ? sin 围是( )

?x
2

sin

? ??x
2

在 ??

? ?? ? , 上单调递增,则 ? 的取值范 ? 4 3 ? ?

A、 ? 0, ? 3

? ?

2? ?

B、 ? 0, ? 2

? ?

3? ?

C、 ? 0, 2?

D、 ?2, ???

(提示: 化简得 f ( x ) ?

1 ? ?? ? sin ? x ,∵ sin x 在 ? ? , 上递增, 2 ? 2 2 ? ?

∴?

?
2

? ?x ?

?
2

??

? ? ? ?? ? ?x? ,而 f ( x ) 在 ? ? , 上单调递增 2? 2? ? 4 3 ? ?

3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ?? , ? 0 ? ? ? ,又 ? ? 0, ∴选 B) ? 2 ? 4 3 ? ? 2? 2? ?
【练习 6】 、把 10 个相同的小球放入编号为 1,2,3 的三个不同盒子中,使盒子里球的个数不小于 它的编号数,则不同的放法种数是( )
3 A、 C6
2 B、 C6

3 C、 C9

D、

1 2 C9 2

(提示:首先在编号为 1,2,3 的三个盒子中分别放入 0,1,2 个小球,则余下的 7 个球只要用隔
2 板法分成 3 堆即可,有 C6 种,选 B;如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只 0,1,2 个小球,

而更容易想到在三个盒子中分别放入只 1,2,3 个小球,那也好办:你将余下的 4 个球加上虚拟的(或 曰借来的)3 个小球,在排成一列的 7 球 6 空中插入 2 块隔板,也与本问题等价。 ) 【练习 7】 、方程 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12 的正整数解的组数是( )

A、24 B、 72 C、144 D、165 (提示:问题等价于把 12 个相同的小球分成 4 堆,故在排成一列的 12 球 11 空中插入 3 块隔板即
3 可,答案为 C11 ? 165 ,选 D)

【练习 8】 、从 1,2,3,?,10 中每次取出 3 个互不相邻的数,共有的取法数是( ) A、35 B、56 C、84 D、120 (提示:逆向思维,问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的 7 个数的 8 个空中,那么
3 问题转化为求从 8 个空位中任意选 3 个的方法数,为 C8 ? 56 ,选 B)

【练习 9】 、 (理科)已知 lim

ax 2 ? bx ? 1 ? 3 ,则 b = ( x ?1 x ?1



A、4 B、-5 C、-4 D、5 ( 提 示 : 逆 向 思 维 , 分 母 ( x ?1 ) 一 定 是 存 在 于 分 子 的 一 个 因 式 , 那 么 一 定 有

ax2 ? bx ? 1 ? ( x ?1)(ax ?1) ? ax2 ? (1? a) x ? 1
lim











b ? ?(1 ? a)





ax 2 ? bx ? 1 ? lim(ax ? 1) ,∴ a ?1 ? 1 ? 3 ? a ? 4, ∴ b ? ?5 ,选 B) x ?1 x ?1 x ?1
用心 爱心 专心

【练习 10】 、异面直线 m, n 所成的角为 60 , 过空间一点 O 的直线 l 与 m, n 所成的角等于 60 ,
?

?

l2

l1

则这样的直线有( )条 A、1 B、2 C、3 D、4 (提示:把异面直线 m, n 平移到过点 O 的位置,记他们所确定的平面为 ? ,则问题等价于过点 O 有多 少条直线与 m, n 所成的角等于 60 ,如图,恰有 3 条,选 C) 【练习 11】 、 不等式 ax2 ? bx ? c ? 0 的解集为 x ?1 ? x ? 2 , 那么不等式 a( x2 ? 1) ? b( x ?1) ? c ? 2ax 的解集为( )
?

?

?

?

A、 x 0 ? x ? 3

?

?

B、 x x ? 0, or x ? 3

?

?

C、 x ? 2 ? x ? 1

?

?

D、 x x ? ?2, or x ? 1

?

?

(提示:把不等式 a( x2 ? 1) ? b( x ?1) ? c ? 2ax 化为 a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? 0,其结构与原不等式

ax2 ? bx ? c ? 0 相同,则只须令 ?1 ? x ?1 ? 2 ,得 0 ? x ? 3 ,选 A)
五、巧用定义 定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【例题】 、某销售公司完善管理机制以后,其销售额每季度平均比上季度增长 7%,那么经过 x 季度 增长到原来的 y 倍,则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( )

A、

B、
x

C、

D、

【解析】 、由题设知, y ? (1 ? 0.07) ,∵ 1 ? 0.07 ? 1 ,∴这是一个递增的指数函数,其中 x ? 0 , 所以选 D。 【练习 1】 、 已知对于任意 x, y ? R , 都有 f ( x) ? f ( y ) ? 2 f ( 是( ) A、奇函数

x? y x? y )f( ), 且 f (0) ? 0 , 则 f ( x) 2 2

B、偶函数

C、奇函数且偶函数

D、非奇且非偶函数

(提示:令 y ? 0 ,则由 f (0) ? 0 得 f (0) ? 1 ;又令 y ? ? x ,代入条件式可得 f (? x) ? f ( x) , 因此 f ( x) 是偶函数,选 B) 【练习 2】 、 点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点, 过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切, 则圆心 Q 的轨迹是 ( A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段 (提示:设⊙P 的半径为 R,P、M 为两定点,那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆,选 B)
用心 爱心 专心



【练习 3】 、若椭圆 最小,则点 M 为( )

x2 y 2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1) ,F 为右焦点,椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF| 4 3
3 2
C、 (1, ? )

2 6, ? 1) A、 ( 3

2 6, ? 1) 3 c 1 (提示:在椭圆中, a ? 2, b ? 3 ,则 c ? 1, e ? ? ,设点 M 到右准线的距离为|MN|,则由椭 a 2
B、 (1, ? ) D、 ( ? 圆的第二定义知,

3 2

| MF | 1 ? ?| MN |? 2 | MF | ,从而 | MP | ?2 | MF |?| MP | ? | MN | ,这样,过点 P | MN | 2
2 6, ? 1) ,故选 A) 3

作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求 M 点,知易 M ( 【练习 4】 、 设 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 右焦点, P 为双曲线右支上任意一点, ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 a 2 b2

???? ?2 PF2 若 ????? 的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( PF1
A、[2,3] B、 (1,3] C、 ?3, ?? ? D、 ?1, 2?



???? ?2 PF2 (2a ? PF1 ) 2 4a 2 4a 2 ? ? PF1 ? 4a ? 8a ,当且仅当 (提示: ????? ? ? PF1 ,即 PF1 ? 2a , PF1 PF1 PF1 PF1

PF2 ? 4a 时取等于号,又 PF1 ? PF2 ? F1F2 ,得 6a ? 2c ,∴1 ? e ? 3 ,选 B)
【练习 5】 、 已知 P 为抛物线 y 2 ? 4x 上任一动点, 记点 P 到 y 轴的距离为 d , 对于给定点 A (4, 5) , |PA|+d 的最小值是( ) A、4 B、 34 C、 17 ?1 D、 34 ?1

(提示: d 比 P 到准线的距离(即|PF|)少 1,∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而 A 点在抛物线外, ∴|PA|+d 的最小值为|AF|-1= 34 ?1 ,选 D) 【练习 6】 、函数 y ? f ( x) 的反函数 f A、关于点(2, 3)对称 C、关于直线 y=3 对称 (提示:注意到 f
?1 ?1

( x) ?

1? 2x ,则 y ? f ( x) 的图象( x?3

) 。

B、关于点(-2, -3)对称 D、关于直线 x = -2 对称

( x) ?

1? 2x 的图象是双曲线,其对称中心的横坐标是-3,由反函数的定义,知 x?3
用心 爱心 专心

y ? f ( x) 图象的对称中心的纵坐标是-3,∴只能选 B)
【练习 7】 、已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的增函数,那么 a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 的 ( )条件。 A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 (提示:由条件以及函数单调性的定义,有

D、不充分不必要

?a ? ?b ? f (a) ? f (?b) 而这个过程并不可逆, a?b ? 0 ? ? ? f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) , ?b ? ?a ? f (a) ? f (?b)
因此选 A) 【练习 8】 、点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F 1PF 2 的外角平分线的垂线,垂 足为 M,则点 M 的轨迹是( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

(提示:如图,易知 PQ ? PF2 ,M 是 F2Q 的中点, ∴ OM 是 FQ 的中位线,∴ MO ? 1

1 1 1 F1Q ? ( F1 P ? PQ ) ? ( F1P ? F2 P ) ,由椭圆的定义知, 2 2 2

,∴选 A) F1P ? F2 P =定值,∴ MO ? 定值(椭圆的长半轴长 a) 【练习 9】 、在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的是双曲线,则m的 取值范围是( ) A、 (0,1) B、 ( 1, ? ? ) C、 (0,5) D、 (5, ? ? )
2 2 2

1 ( x ? 2 y ? 3)2 ? (提示: 方程 m (x +y +2y+1) (x-2y+3)可变形为 m ? 2 = , 即得 2 x ? y ? 2 y ?1 m
2 2 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 , x ? 2y ? 3



5 ? m

x 2 ? ( y ? 1) 2 ,这表示双曲线上一点 ( x, y ) 到定点(0,-1)与定直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离 x ? 2y ? 3 5

之比为常数 e ?

5 ,又由 e ? 1 ,得到 0 ? m ? 5 ,∴选 C。若用特值代验,右边展开式含有 xy 项,你 m

无法判断) (未完待续)

用心

爱心

专心


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