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复数复习讲义(一)(教师用)


复数复习
一、知识导引: 知识导引: 1、i 的周期性:
4 4n+1 4n+2 4n+3

i =1,所以,i

=i, i

=-1,

i

=-i, i =1 ( n ∈ Z )
4n
新疆 王新敞
奎屯

i 4 n + i 4 n +1 + i 4 n + 2 + i 4 n + 3 = 0 ( n ∈ Z )
2、复数的代数形式: a + bi ( a, b ∈ R ) , a 叫实部, b 叫虚部,实部和虚部都是实数。

C = {a + bi | a, b ∈ R} 叫做复数集。N Z Q R C.
3、复数相等: a + bi = c + di ? a = c且b=d ; a + bi = 0 ? a = 0且b=0

?实数 (b=0) ? 4、复数的分类: 复数Z = a + bi ? ?一般虚数(b ≠ 0, a ≠ 0) ?虚数 (b ≠ 0) ?纯虚数(b ≠ 0, a = 0) ? ?
虚数不能比较大小,只有等与不等。即使是 3 + i, 6 + 2i 也没有大小。 uu r uu r 5、 复数的模: 若向量 OZ 表示复数 z, 则称 OZ 的模 r 为复数 z 的模, z =| a + bi |= 积或商的模可利用模的性质(1) z1 ?L zn = z1 ? z2 ?L ? zn , (2) 6、复数的几何意义: 复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ) ←??? 复平面内的点 Z ( a, b) →
一一对应

a2 + b2 ;
≠ 0)

z z1 = 1 z2 z2

(z

2

复数Z = a + bi ( a, b ∈ R )
新疆 王新敞 奎屯

一一对应

uu r 平面向量OZ , ?

7、复平面:这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面,其中 x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 ,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数 z1 与 z2 的和:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

( a, b, c, d ∈ R ) ( a, b, c, d ∈ R )
OZ1 + OZ 2 =(a,b)+(c,
uuuu uuuu r r

复数 z1 与 z2 的差:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律

数加法的几何意义:复数 z1=a+bi,z2=c+di ( a, b, c, d ∈ R ) ;OZ =

d)=(a+c,b+d)=(a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义:复数 z1-z2 的差(a-c)+(b-d)i 对应 由于 Z 2 Z 1 = OZ1 ? OZ 2 ,两个
新疆 王新敞 奎屯

uu rur

复数的差 z-z1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 9. 特别地, zuuur = zB-zA., zuuur = AB = z B ? z A 为两点间的距离。 AB AB

| z ? z1 |=| z ? z2 | z 对应的点的轨迹是线段 Z1Z 2 的垂直平分线;| z ? z0 |= r , z 对应的点的

轨迹是一个圆; | z ? z1 | + | z ? z2 |= 2a Z1Z 2 < 2a , z 对应的点的轨迹是一个椭圆;

(

)

| z ? z1 | ? | z ? z2 | = 2a ( Z1Z 2 > 2a ) , z 对应的点的轨迹是双曲线。

z1 ? z2 ≤ z1 ± z2 ≤ z1 + z2
10、显然有公式:

z1 + z2 + z1 ? z2 = 2 z1 + z2
2 2 2

(

2

)
( a, b, c, d ∈ R )

11、复数的乘除法运算: 复数的乘法:z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 * 实数集 R 中正整数指数的运算律,在复数集 C 中仍然成立.即对 z ,z ,z ∈C 及 m,n∈N 有: 1 2 3 m n m+n z z =z , m n mn n n n (z ) =z , (z z ) =z z . 1 2 1 2

复数的除法:

z1 a + bi ac + bd bc ? ad = (a+bi) ÷ (c+di)= = + i z2 c + di c 2 + d 2 c 2 + d 2

( a, b, c, d ∈ R ) ,分母实

数化是常规方法 12、共轭复数:若两个复数的实部相等,而虚部是互为相反数时,这两个复数叫互为共轭复 数;特别地,虚部不为 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数;

z = a + bi, z = a ? bi ( a, b ∈ R ) , 两 共 轭 复 数 所 对 应 的 点 或 向 量 关 于 实 轴 对 称 。

z =| z |= a 2 + b 2
z ? z = a 2 + b 2 ∈ R, z ? z = z = z , z1 ± z2 = z1 ± z2 ,
2 2

z1 ? z2 = z1 ? z2 ,

? z1 ? z1 ? ?= ? z2 ? z2

13、熟记常用算式: = ?i , (1 + i ) 2 = 2i , (1 ? i ) 2 = ?2i , 14、复数的代数式运算技巧:
2 (1)① (1 + i ) = 2i 2 ② (1 ? i ) = ?2i

1 i

1+ i 1? i =i, = ?i 1? i 1+ i

1+ i =i ③1? i

1? i = ?i ④1+ i

ω=? ±
(2) “1”的立方根

1 2

3 i 2 的性质:

①ω = 1
3

②ω = ω
2

③1 + ω + ω = 0
2

ω+


1

ω

= ?1

1
⑤ω



15、实系数一元二次方程的根问题:

(1)当 ? = b 2 ? 4ac ≥ 0 时,方程有两个实根 x1 , x 2 。 (2)当 ? = b 2 ? 4ac < 0 时,方程有两个共轭虚根,其中 x1 = x 2 。

此时有

x1 = x 2
2

2

= x1 x 2 =

c ? b ± ? ?i 且 x1, 2 = 。 a 2a

注意两种题型:(1) x1 ? x 2

(2) x1 + x 2

虚系数一元二次方程有实根问题:不能用判别式法,一般用两个复数相等求解。但仍然适用 韦达定理。 已知 x 2 ? x1 是实系数一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根,求 x 2 ? x1 的方法:
2

(1)当 ? = b ? 4ac ≥ 0 时,
2

x 2 ? x1 = ( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =
(2)当 ? = b ? 4ac < 0 时,
2

b 2 ? 4ac a

x 2 ? x1 =

( x1 + x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 =

4ac ? b 2 a

已知 x1,x 2 是实系数一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个根,求 x 2 + x1 的方法:

(1)当 ? = b 2 ? 4ac ≥ 0 时, c b ① x1 ? x 2 ≥ 0, 即 ≥ 0 ,则 x 2 + x1 = x1 + x 2 = a a c b 2 ? 4ac 2 ② x1 ? x 2 < 0, 即 < 0 ,则 x 2 + x1 = x1 ? x 2 = ( x1 + x 2 ) ? 4 x1 x 2 = a a
2 (2)当 ? = b ? 4ac < 0 时,

x 2 + x1 = 2 x1 = 2 x1 ? x 2 = 2
二、经典例题: 经典例题:
2

c a

(1+i) (1)复数 等于( 例 1. 1-i A.1-i
2

) C.-1+ i D.-1-i

B.1+i

(1+i) 2i 解析: 复数 = = i (1 + i ) = ?1 + i ,选 C. 1-i 1 ? i
? ?

(2)若复数 z 同时满足 z - z =2 i , z = iz ( i 为虚数单位) ,则 z = 解:已知 ? Z ? iZ = 2i ? Z = 2i = i ?1 ;



1? i

(3)设 a、b、c、d∈R,则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad-bc=0 B.ac-bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 解析: (1) a, b, c ∈ R, 复数 (a + bi)(c + di) = (ac ? bd ) + (ad + bc)i 为实数,∴ ad + bc = 0 ,

选 D; (4)已知

m = 1 ? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则m + ni = ( 1+ i
(B) 1-2i (C)2+i



(A)1+2i 解析:

(D)2-i

?1 ? n = 0 m = 1 ? ni ? m = (1 + n ) + (1 ? n )i ,由 m 、 n 是实数,得 ? , 1+ i ?1 + n = m ?n = 1 ? m + ni = 2 + i ,故选择 C。 ?m = 2
x y 5 ,则 x + y = + = 1 ? i 1 ? 2i 1 ? 3i


∴?

(5)设 x, y 为实数,且

解析:

x y x (1 + i ) y (1 + 2i ) x y x 2y + = + = ( + ) + ( + )i , 1 ? i 1 ? 2i 2 5 2 5 2 5



5 5(1 + 3i ) 1 3 x y 1 x 2y 3 = = + i 所以 + = 且 + = ,解得 x=-1,y=5, 1 ? 3i 10 2 2 2 5 2 2 5 2

所以 x+y=4。 点评:本题考查复数的运算及性质,基础题。

? 2? ? +? 例 2: 1)计算: ( 1 + 2 3i ? 1 ? i ? ? ? 答案: ?1 + i
?2 3 +i

1996

(2)设复数 z 满足关系 z + | z |= 2 + i ,求 z; 解:设 z=a+bi(a,b 为实数) ,由已知可得 a + bi + 由复数相等可得: ?

a2 + b2 = 2 + i

? 3 3 ?a + a 2 + b 2 = 2 ,解得 a = , b = 1 ,所以 z = + i 4 4 ?b = 1 ?

设 z=a+bi-x+yi(a,b 为实数)复数问题实数化。 (3)若 x ∈ C ,解方程 | x |= 1 + 3i ? x
2 2 设 解: x=a+bi (a,b∈R)代入条件得: a + b = 1 ? a + (3 ? b)i ,由复数相等的定义可得:

? a2 + b2 = 1 ? a ,∴a=-4,b=3,∴x=-4+3i。 ? ?3 ? b = 0
2 2 例 3:(1)复数 z 满足 | z + i | ? | z ? i | = 1 ,则 z 对应的点在复平面内表示的图形为(A)

A.直线 B.圆 C.椭圆 D.抛物线 2 2 2 2 解:令 z=x+yi(x,y∈R) ,则 x +(y+1) -[x +(y-1) ]=1,∴y=1/4。故选 A。 (2)设复数 z 满足: | z + 3 ? 3i |=

3 ,求|z|的最大值与最小值;

解:|z|的最大值为 3 3 ,最小值为 3 ; (3)已知 z∈C,|z-2|=1 且复数 z-2 对应的点落在直线 y=x 上,求 z。 解:设 z-2=a+ai,∵|z-2|=1,∴ a = ±

2 , 2

∴z =2+

2 2 2 2 + i或z = 2 ? i。 ? 2 2 2 2

【思维点拨】从整体出发利用条件,可简化运算,本题也可设 z=a+bi 再利用条件,但运算 思维点拨】 复杂。 (4)设 z ∈ C ,1 ≤| z |≤

2 ,则复数 u = z (1 + i ) ,在复平面内对应的图形面积为_______。

2 2 解:∵|u|=| z |?|1+i|= 2 |z|,∴ 2 ≤|u|≤2,故面积 S= π [ 2 ? ( 2 ) ] = 2π 。

【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。

例 4:已知 z=1+i,a,b 为实数, (1)若ω=z +3 z -4,求|ω|;
2

(2)若

z 2 + az + b = 1 ? i ,求 a,b 的值。 z2 ? z +1
2

解: (1)ω=(1+i) +3(1-i)-4=―1―i,∴ | ω |=

2。

(2)由条件

? a = ?1 (a + b) + (a + 2)i = 1 ? i ,∴ (a + b) + (a + 2)i = 1 + i ,∴ ? 。 i ?b=2

【思维点拨】利用复数的充要条件解题。 例 5: 设 z ∈ C , 且

z 是纯虚数,求 | z + i | 的最大值。 z ?1 z x2 + y2 ? x y z = ? ,∵ 是纯虚数, 2 2 2 2 z ? 1 ( x ? 1) + y z ?1 ( x ? 1) + y
y P O -1 1/2 x

,则 解:令 z=x+yi(x,y∈R)

∴?

1 2 1 ?x 2 + y 2 ? x = 0 2 ,即 ( x ? ) + y = ( y ≠ 0) ,由数形结 y≠0 2 4 ?

1 2 1 2 合可知本题是求圆 ( x ? ) + y = ( y ≠ 0) 上的点到 A(0,-1) 2 4
的最大距离。∴ | z + i | max=|PA|= 三、巩固练习: 巩固练习: 练习

5 +1 。 2

1.已知复数z与( z + 2) 2 ? 8i均是纯虚数,则z = ______ Z = ?2i 2..若(a ? 2i ) i = b ? i ,其中a、b∈R,i 是虚数单位,则a 2 + b 2 =( D ) A.0 B.2 C. 5 D.5
2

1 3.设复数ω=- + 3 i,则 1+ω=( 2 2
(B)ω2 (C) ? 1 ω 4.复数 z = 1 的共轭复数是(B ) (A)–ω
1? i



C

(D) 1 ω2 C. 1 ? i D. 1 + i

A. 1 + 1 i
2 2

B. 1 ? 1 i
2 2

5.若复数 z 满足方程 z 2 + 2 = 0 ,则 z 3 = A. ±2 2 B. ?2 2



) D

C. ?2 2i D. ±2 2i a + bi 为实数,则 (C ) 6. 设 a 、 b 、 c 、 d ∈ R ,若 c+di (A) bc + ad ≠ 0 (B) bc ? ad ≠ 0 (C) bc ? ad = 0 7.如果复数 ( m + i )(1 + mi ) 是实数,则实数 m = (
2

(D) bc + ad = 0



B

A. 1

1 + i 2005 ) = 8. ( 1? i

B. ?1

C. 2 ( ) A

D. ? 2

A. i B.- i C. 2 2005 D.- 2 2005 9.满足条件 | z ? i| =|3 + 4i| 的复数 z 在复平面上对应点的轨迹是( A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 10.若 z1 = a + 2i , z2 = 3 ? 4i ,且 11.已知

)C
.a =

z1 为纯虚数,则 实数a 的值为 z2

8 3

m C = 1 ? ni,其中m,n是实数,i是虚数单位,则 m + ni = 1+ i (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i

12、复数 (1 ? i )3 的虚部为 (A)3
3

(B)-3

(C)2

(D)-2

解析: 解析:复数 (1 ? i ) = 1 ? 3i ? 3 + i = ?2 ? 2i ,所以它的虚部为-2,选 D. 13、在复平面内,复数 (A)第一象限 解:

1+ i 对应的点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

1 + i ( +i) i1 = =1-i 故选 D; i -1

点评:复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点,属于比较基本的题目,主要考 察复数的的分类和几何性质。 14、求满足条件: z
2

+ ( z + z )i =
2

3?i (i 为虚数单位)的复数 z 2+i

[解]原方程化简为 z

+ ( z + z )i = 1 ? i ,

设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,

∴x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=-

1 3 且 y=± , 2 2

∴原方程的解是 z=15、已知 z1 = x +
2

1 3 ± i. 2 2

x 2 + 1 ? i , z 2 = ( x 2 + a )i 对于任意的 x∈R 均有|z1|>|z2|成立,试求

实数 a 的取值范围。 解:∵|z1|>|z2|,∴ x 4 + x 2 + 1 > ( x 2 + a ) 2 ,∴ (1 ? 2a ) x 2 + (1 ? a 2 ) > 0 ,对 x ∈ R 成 立。 当 1 ? 2a = 0 ,即 a = 当 1 ? 2a ≠ 0 时 ?

1 时,不等式成立; 2 1 ? 2a > 0
2

?

?? 4(1 ? 2a )(1 ? a ) < 0

? ?1 < a <

1 1 。综上得 a ∈ (?1, ] 。 2 2

【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。


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