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证明自然数平方求和公式(高中生适用)

根据自然数求和公式 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?

n(n ? 1) n 2 n ? ? , 为一个关于 n 的二次多项式, 我 2 2 2

们猜想自然数平方求和公式 Sn ? 12 ? 22 ? 32 ? ... ? n2 是一个关于 n 的三次多项式: 猜想 Sn ? an3 ? bn2 ? cn ? d ,把前四项代入:

1 3 S1 ? a ? b ? c ? d ? 1 1 S2 ? 8a ? 4b ? 2c ? d ? 5 b? 解得: 2 S3 ? 27 a ? 9b ? 3c ? d ? 14 1 c? S4 ? 64a ? 16b ? c ? d ? 30 6 d ?0 a?
∴ Sn ?

1 3 1 2 1 1 n ? n ? n ? n(n ? 1)(2n ? 1) 3 2 6 6

以下用数学归纳法证明: 由上述可知,n=1,2,3,4 时成立, 假设当 n ? k , S k ? 当 n=k+1 时,

1 k (k ? 1)(2k ? 1) , 6

Sk ?1 ? 12 ? 22 ? 32 ? ... ? k 2 ? (k ? 1)2
1 k (k ? 1)(2k ? 1) ? (k ? 1) 2 6 ?1 ? ? (k ? 1) ? k ? 2k ? 1? ? 1? ?6 ? 1 ? (k ? 1)(2k 2 ? k ? 6) 6 1 ? (k ? 1)(2k ? 3)(k ? 2) 6 ?
成立, ∴ Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ?
2 2 2 2

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6


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