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1.6.1.2 平面与平面垂直的判定 课件(北师大版必修二)


1.6.1.2平面与平面垂直的判定

复 习
1.线面垂直的定义
如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都 垂直,则称直线 l 和平面? 互相垂直. 记作:l⊥? 2.线面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直,则该直线与此平面垂直.

讲授新课
1.半平面的定义
平面内的一条直线把平面分为两部分,其中 的每一部分都叫做半平面.

半 平 面

半 平 面

2.二面角的定义
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱,

这两个半平面叫做二面角的面。

l

?

?

二面角的画法及其表示方法
A 直 立 式 平卧式

?
l

?

?

B

?

二面角?-AB- ?
C B D

二面角?- l- ?

二面角C-AB- D
A

以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半 平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B ∠A1O1B1 B1 ?

二面角的范围:[ 0°, 180 °].

B

平面角是直角的二面 角叫做直二面角

l
O1

O

A

A1

?

二面角的平面角必须满足的条件:

注 意

1)角的顶点在棱上 2)角的两边分别在两个面内 3)角的边都要垂直于二面角的棱
? A

?

A O

l
O B

? ? B

指出上图中画法正确的二面角的平面角

3、两个平面互相垂直的意义
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面

角,就说这两个平面相互垂直.
?
?

?
记作:

?

? ??

问题:
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

问题:
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直?

猜 想:
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线,那

么这两个平面互相垂直。

两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线, 那么这两个平面互相垂直. β 用符号表示为
l

l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??

α

证明面面垂直的本质和关键是什么? 本质:线面垂直 面面垂直 关键:找垂直于平面的线 线线垂直 线面垂直 面面垂直

例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

平面ACC1 A1 ? 平面A1BD 求证:
D1 A1 D A B B1 C C1

.

例2:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直⊙O所在 的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点. 求证:平面PAC⊥平面PBC. P
证明:设⊙O所在的平面为 PA ? ? ? ? ? PA ? BC BC ? ? ?

? ,由已知

C
A

∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90°即BC⊥AC

· O

B

又? PA ? AC ? A PA ? 平面PAC AC ? 平面PAC ? BC ?? 平面PAC
又 ? BC ? 平面PAC ? 平面PAC ? 平面PBC

小结
1、二面角及其它的平面角
? A

l
O B

二面角?- l- ?
?

二面角的范围:[ 0°, 180 °].
β l

2、平面与平面垂直的判定定理
l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??

α

平面与平面垂直的判定方法:
(1)定义法:如果两个平面所成的二面角是直

二面角,我们就说这两个平面互相垂直
(2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面

的一条垂线,那么这两个平面互相垂直(“线
面垂直”则“面面垂直”)

练习.在正方体ABCD-A1B1C1D1中 (1)求二面角D1-AB-D的大小

(2)求二面角A1-AB-D的大小
A1

D1 B1

C1

D C A B

一般地,如果两个平面所成的二面角是直二面角,我 们就说这两个平面互相垂直。


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