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人教版-高中数学选修1-1-第三章


3.3.2 函数的极值与导数

复习: 单调性与导数的关系:
设函数y=f(x)在某个区间内可导,
?如果f ′(x)>0,则f(x)为增函数; ?如果f ′(x)<0,则f(x)为减函数; ?如果f ′(x)=0,则f(x)为常数函数;

观察图像:

函数的极值定义
y y

使函数取得极值 点x0称为极值点

o

a

x

o

a

x

注意:
(1)极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,不是整体的最值; (2)函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值; (3)极大值与极小值没有必然关系, 极大值可能比极小值还小. y P(x1,f(x1)) y=f(x)

o

a x1

Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b

x

观察与思考:极值与导数有何关系? 对于可导函数,
若x0是极值点,则 f ’(x0)=0; 反之,若f’(x0)=0,则x0不一定是极值点.

如何判断f (x0)是极大值或是极小值?
y x x0左侧 x0 x0右侧 f?(x) f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0

f(x)


x0左侧

极大值
x0


x0右侧

o a
y

x0

b x
x f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 f(x) 减 极小值 增

o

a

x0

b

x

左正右负为极大,右正左负为极小
?导数为0的点不一定是极值点; ?若极值点处的导数存在,则一定为0

例题选讲:

y? ? x 2 ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2). 解:
令 y? ? 0 ,解得x1=-2,x2=2. 当x变化时, y? ,y的变化情况如下表: x y’ y (-∞,-2) + ↗ -2 0 极大值28/3 (-2,2) ↘ 2 0
极小值- 4/3

(2,+∞) + ↗

因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3; 而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=- 4/3.

求可导函数f(x)极值的 步骤:
(1) 确定函数的定义域; (2)求导数f ’(x); (3)求方程f ’(x)=0的根; (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— ?如果左正右负(+ ~ -), 那么f(x)在这个根处取得极大值;

?如果左负右正(- ~ +), 那么f(x)在这个根处取得极小值;

练习1.判断下面4个命题,其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值;



如y ? x

3

②可导函数在极值点的导数一定等于零; ③函数的极小值一定小于极大值 (设极小值、极大值都存在);

④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

练习:

2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为( D )
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

3 2 2 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1时有极值10,则a, 3. C b的值为( ) A、 a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B、 a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C、a ? ?4, b ? 11 D、 以上都不对


解:由题设条件得:? f (/ 1) ? 10 ? ? f (1) ? 0 解之得
? a ? 3 ? a ? ?4 或? ? ?b ? ?3 ? b ? 11

?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ?? ? 3 ? 2a ? b ? 0

通过验证,都合要求,故应选择A。

注意代 入检验

注意:f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

4.(2006年北京卷)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大值5,其导函数 y ? f '( x) 的图像 (如图)过点(1,0),(2,0), 求: (1) x0 的值;(2)a,b,c的值;
3 2

略解: (1)由图像可知:x0 ? 1 (2)

f / ( x)=3ax 2 ? 2bx ? c   ? 0) (a f (1) ? a ? b ? c ? 5
f / (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 f / ( 2) ? 12a ? 4b ? c=0

.

? 2b ?- 3a ? 3 或 ? c ? ?2 ? 3a

a ? 2, b ? ?9, c ? 12

注意:数形结合以及函数与方程思想的应用


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