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中科院历年高数甲


中国科学院———中国科技大学 2010 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷
试卷名称:高等数学(A)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________

一、选择题(每题只有一个答案是正确的,每小题 5 分,共 25 分)
1 1 (1)当 x ? 0 时, sin 是( ) x x A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界且非无穷小量 D. 无穷且非无穷大量 f (? x) ? f (0) ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) (2)设 f ( x) 可微且满足 lim x ?0 2x 处的切线斜率为( ) 1 1 A . ?2 B. 2 C .? D. 2 2
(3)二元函数 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在是 f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处 可微的( ) A. 充分条件 C. 充分必要条件
?

B. 必要条件 D. 既非充分也非必要条件 )

(4)正项级数 ? a n 收敛的充分条件是(
n ?1

A.

an ?1 ? 1 (n ? N ) an

B.

n

an ? 1 ( n ? N )
?

C.

? (a
n ?1

?

n

? an?1 ) 收敛

D. ) B.

?a
n ?1

2 n

收敛

(5)下列广义积分中发散的是( A.

?

??

0

x ln x dx (1 ? x 2 ) 2

?

1

1 1? x2

0

dx

C.

?

??

1

ln x dx x( x 2 ? 1)

D.

?

??

0

ln(x 2 ? 1) dx x

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)
e x ?1 ? x2 ? ________。 (1) lim 2 x ?0 x ? sin 2 x
2

(2) 曲线 y ? sin x (0 ? x ? ? ) 和 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转一周的旋转体 的体积是____________。 (3)二重积分

2 sin x ? 3 sin y dxdy ? ________。 sin x ? sin y x 2 ? y 2 ?1

??

(4)平面 x ? 2 y ? z ? 1 与椭圆柱面 _________。 (5)向量场 v ?
i? j?k x2 ? y2 ? z 2

x2 y2 ? ? 1 相交所成的椭圆的面积为 2 3

的旋度为___________。

y ? f ( x, z )

三、 (8 分)设二元函数 f 具有一阶连续偏导数,关系式 e z ? yz
数 y ? y ( x ) 及 z ? z ( x) 求

可确定函

dy dz 及 。 dx dx

四、 (8 分)设 f ( x) 满足条件 f ?( x) ? f ( x) ? 1 , f (0) ? 2 。
(1)求 f ( x) ; (2)求不定积分 ? ( f ( x) ? 1) ln f ( x)dx 。

五、 (8 分)求幂级数 ? (?1) n
n ?0

?

n n ?1 x 的收敛半径和函数。 n ?1

六、 (8 分)求微分方程 y?? ? 2 y? ? y ? e? x 的通解。 七、 (12 分)设 f ( x) 在 ?0,1? 中有连续二阶导函数。
(1)证明: ? x(1 ? x) f ??( x)dx ? f (0) ? f (1) ? 2? f ( x)dx ;
0 0 1 1

(2)当 f (0) ? 1 , f (1) ? ?1且 f ??( x) ? M 时,试证:

?

1

0

f ( x)dx ?

M 。 12

八、 (12 分)计算曲线积分 ? (e x sin y ? y )dx ? e x cos ydy ,其中 L 是以 (0,0) 为起 L
点 ,以 (2,0) 为终点的上半圆周 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 。

九、 (12 分)计算曲面积分 ?? ( x 3 ? x)dydz ? zdxdy ,其中 S 是有向曲面 S
z ? x 2 ? y 2 (0 ? z ? 1) ,其法向量与 z 轴正方向夹角为锐角。

十、 (12 分)设 f ( x) 是以 2? 为周期的偶函数,当 0 ? x ? ? 时, f ( x) ? 1 ? x 2 。
(1)将 f ( x) 在 ?? ? , ? ? 上展开成傅里叶级数; (2)根据(1)求 ?
? 1 (?1) n ?1 和 。 ? 4 2 n n ?1 n n ?1

?

十一、 (10 分) 设函数 f ( x) 在 ?0,??? 上连续, 在 (0,??) 上可微,f (0) ? 0 。 当x ?0
时, 0 ? f ?( x) ? f ( x) ,证明 f ( x) 恒等于 0 。

十二、 (10 分)设 f ( x) 在 (0,1) 上一致连续,证明 f ( x) 在 (0,1) 上有界.举例说明
逆命题不成立。

中国科学院——中国科技大学 2009 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷
试卷名称:高等数学(A)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________

一、单项选择题(每题 5 分,共 25 分)
g ( x) 在点 x ? a 附近有定义, 1.如果函数 f ( x) , 下列四个论断正确的是 (



A. 若 f ?(a) ? 1,则存在 ? ? 0 ,使得 f ( x) 在 (a ? ? , a ? ? ) 上严格单调; B. 若 f ( x) 在 x ? a 点取到极大值,则 f ( x) 在 x ? a 点左侧单调增、右侧单 调减; C. 若 f (a) ? 0 , f ( x) 在 x ? a 点处可导,则 f ( x) 在 x ? a 点处可导的充要 条件是 f ?(a) ? 0 ; D. 若 f ( x) 和 g ( x) 都在 x ? a 点取到极大值,则函数 f ( x) g ( x) 在 x ? a 点 必取到极大值。 2.当 x ? 0 时,下列四个无穷小量阶数最高的是( A. ln(1 ? x ) ? x ?
1 2 x 2



B.

?

x2

0

e t dt
4

1 ?

4 1 C. x ? ( ? cos x) sin x 3 3

D. e x ?1

3.设 f ( x) ?

1 x3 s i n , x ? 0 ,则 f ( x) 在 x ? 0 处( x 0, x ? 0



A. 不连续; C. 可导,但导函数不连续;

B. 连续,但不可导; D. 可导,且导函数连续。

4.设 f (0,0) ? 0 ,当 ( x, y ) ? (0,0) 时 f ( x, y ) 为如下四式之一,则 f ( x, y ) 在点

(0,0) 处两个偏导数都存在的是(

) C.
x 2 ? y 2 sin 1 2 x ? y2

A.

xy 2 x ? y2

B.

x2 ? y2 x2 ? y2

D.

x4 ? y2 x2 ? y2

5.下列四个论断正确的是(


?? an ?1 ? 1 ,则正项级数 ? a n 收敛; an n ?1 ??

A. 若对所有自然数 n , an ? 0 满足

B. 若对所有自然数 n , an ? 0 满足 n an ? 1 ,则正项级数 ? a n 收敛;
n ?1

C. 若正项级数 ? a n 收敛,则 lim
n ?1

??

an ?0; n?? n
??

D. 若 an ? 0 单调减,且级数 ? (?1) n an 发散,则级数 ? (
n ?1

??

n ?1

1 n ) 收敛。 an ? 1

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)
6.方程 y?? ? 2 y? ? y ? e x 的通解为________________________。
? 1 7.级数 ? (n ? ) x n 的和为__________________。 n n ?1

8.设 f ( x, y ) 是连续函数, D 是由直线 x ? y ? 1 与 x 轴、y 轴所围成的平面域。 已知关系式 ?? f ( x, y )dxdy ? f ( x, y ) ? e (1? y ) ? 0 成立,则积分
2

D

?? f ( x, y)dxdy ? ___________________。
D

9.积分 ?

??

0

e ??x ? e ?2?x dx ? ___________________。 x

10.积分 ?

1

0

? (? x
n ?0

?

2 n

) dx ? __________________。

三、解答题(每题 8 分,共 40 分)
y dy d 2 y 11.设 y ? y ( x) 是由 ln x ? y ? arctan 确定的隐函数,求 和 2 。 x dx dx
2 2

12.计算 ??? zdxdydz,其中 V 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 2az 和 x 2 ? y 2 ? z 2 ? az 所围
V

成的空间区域, a ? 0 为常数。 13. (1)将 y ? arcsin x 展开成带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式; (2)对 0 ? b ? 1 ,证明:存在 ? ? (0, b) ,使得 1 ? ? 2 arcsin b ? b ; (3)求极限 lim ?
b?0

?
b

,其中 ? 由(2)确定。

14.利用欧拉积分及 ? 函数的余元公式 ?( s)?(1 ? s) ?
(0 ? s ? 1) 计算积分 ? (
a
L

?
sin(s? )

b

b?x p ) dx ,其中常数 p 满足 0 ? p ? 1 。 x?a

15.设第二型曲线积分 ? ( f ?( x) y 2 ? f (0) y ? ye xy )dx ? ( x 2 y ? x ? xe xy )dy 与路径 无关。 (1)求 f ( x) ; (2)求 ?
( 2,3) ( 0, 0 )

( f ?( x) y 2 ? f (0) y ? yexy )dx ? ( x 2 y ? x ? xexy )dy 。

四、解答与证明题(每题 12 分,共 60 分)
16.求点 (7,7,?1) 到曲面 z ? x 2 ? y 2 的最短距离,并作几何解释。 17.设 f ( x) 是二次连续可微函数,并设向量场
v ? f (0) z ? ( f ??( x) ? f ( x)) y i ? x ? f ?(0) z j ? (1 ? y )k 是无旋场。

(1)求未知函数 f ( x) 所满足的微分方程初值问题; (2)求解(1)中的初值问题。 18.设 P ?

x x y z 3 ( 2 ? 2 ? 2) 2 a b c
2 2 2

,Q ?

y x y z 3 ( 2 ? 2 ? 2) 2 a b c
S

2

2

2

,R?

z x y z2 3 ( 2 ? 2 ? 2) 2 a b c
2 2



v ? Pi ? Q j ? Rk 。求第二型曲面积分 ?? Pdydz ? Qdzdx ? Rdxdy ,其中 S 由球面
x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 与抛物面 z ? x 2 ? y 2 ? 1 所围成的有界区域,外侧。
19.设 f ( x) ? x (0 ? x ? 1) 。 (1)将 f ( x) 展开成以 2 为周期的傅里叶余弦级数; (2)利用(1)中结果求积分 ?
2 0

1 2? x ln dx ; x 2? x

(3)利用(1)中结果求级数和 ?

1 。 4 n ?1 n

??

20.设 f ( x) 在区间 ?a, b? 上有连续的导函数,试证明: (1) ( f (b) ? f (a))2 ? (b ? a)? ( f ?( x))2 dx ;
a b

(2) max{ f ( x) a ? x ? b} ?

b 1 b f ( x ) dx ? ?a f ?( x) dx 。 b ? a ?a

中国科学院——中国科技大学 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷
试卷名称:高等数学(A)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________

一、填空题(本题 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)
1.设 a ? 0 ,则 ? a 2 ? x 2 dx ? _____________。 2.设 P 是曲面 z ? x 2 ? xy ? y 2 上的一点,曲面在 P 点处的切平面平行于平面
x ? y ? 3z ? 79 ? 0 ,则 P 点的坐标为_____________。

3.设 D : ? __________。

?
2

?x?

?
2

, ? 1 ? y ? 1 ,则二重积分 ?? y ? sin x dxdy 的值等于
D

4.方程 y?? ? y? ? y ? 0 的通解为________________________。
(?1) n 5. ? ? ___________________。 n n ?1 n3
?

二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)
1. lim n
n??

? ( x(2 ? x)) dx ? (
n 0

2

) C. 2 ) B. 有极值点 6 和拐点 5 ; D. f ( x) 没有拐点。 D. ?

A. 0
x 0

B. 1

2. f ( x) ? ? (t ? 5)(t ? 6) 2 dt ( A. 有极值点 5 和拐点 6 ; C. 5 和 6 都是 f ( x) 的极值点; 3. 积分 ? A. 0
??

0

sin 2 x dx ? ( x2



B. 1

C.

?

??

0

sin x dx x

D. ( ?

??

0

sin x 2 ) x

4.设二元函数 f ( x, y ) 可微,f ( x, x 2 ) ? 2 x 2 ,f x?( x, x 2 ) ? 2 x , 则 f y?( x, x 2 ) 等于 ( A. x 5.设曲线 L : A. C.
2



B. 1

C. 0 ,则( B. D. )

D. 无法确定

x2 ? y 2 ? z 2 ? 7 x? y?z ?3

? x dl ? 6?
L

? y dl ? 5?
2 L

? zdl ? 4?
L

? xdl ? 3?
L

三、(本题 5 小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.求积分 ?
1

0

x ln x dx 。 (1 ? x 2 ) 2

2.设曲面块 S 是上半球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1( z ? 0) 被柱面 x 2 ? y 2 ? x 所截下的部 分, S 上有一物质分布其密度为 2 ? y ,求曲面上该物质的重量。 3.设 z ( x, y) ? ? e( x ?t ) dt ? ? ye( yt ) dt ,向量 l ? i ? j ,其中 i , j 是 x , y 轴上指
2 2

x

y

0

0

向正方向的单位向量,求 4.将

?z ?l

(0,1) 。

x 展开成 ( x ? 1) 的幂级数,并求它的收敛域。 x ? 3x ? 2
2

5.设 a ? b ,试将积分 ? 余元公式 ?( x)?(1 ? x) ?

b

1 ( x ? a)(b ? x) n?1

a

dx 用欧拉积分表示,并根据 ? 函数的

? , (0 ? x ? 1) 算出以上积分的值。 sin(?x)

四、(本题 5 小题,每小题 12 分,满分 60 分) 1.设函数 u ( x, y ) ? 6 xy ,求 u ( x, y ) 在平面闭区域 ( x ? y)2 ? 3 y 2 ? 1 上的最大值与 最小值。 2.计算积分 ? ( y 2 ? y )dx ? ( z 2 ? z )dy ? ( x 2 ? x)dz ,其中 L 是球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? a 2
L

与平面 x ? y ? z ? 0 的交线, L 的方向与 z 轴正向成右手系。 3.(1)试构造一个齐次的二阶线性微分方程 y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? 0 ,使它以 x ,

e x 为基本解组;

(2)求出相应的非齐次方程 y?? ? p( x) y? ? q( x) y ? x ? 1 的一个特解,并写出该 非齐次方程的通解。 4.将 ? ? 2 x (0 ? x ? ? ) 展开成以 2? 为周期的 Fourier 级数,并求出数项级数

?n
n ?1

?

1
2

与?

1 的和。 4 n ?1 ( 2n ? 1)

?

5.(1)设 f ???( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,证明存在 ? ? (a, b) 使得
f (b) ? f (a) ? (b ? a) f ?( a ? b (b ? a)3 )? f ???(? ) ; 2 24

(2)设在 ?a, b? 上处处有 f ?( x ) 存在,利用费马定理证明达布定理:存在
c ? ?a, b? ,使得 f ?(c) ?
1 ? f ?(a) ? f ?(b)? 。 2

中国科学院——中国科技大学 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷
试卷名称:高等数学(A)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)
1. ? tan x ln(cos x) dx ? ____________________。 2.已知 z ? f (
1 ?z ?z ? 2 ln y ) ,f 为可微函数, ? _________________。 则 x3 ? y 2 x ?x ?y

3.平面 3x ? ?y ? 3z ? 16 ? 0 与椭圆球面 3x 2 ? y 2 ? z 2 ? 16 相切, 则 ? ? ________。 4.设 D 为圆域 x 2 ? y 2 ? 4 x ,则 ?? arctane xydxdy ? ___________。
D

5.微分方程 y? ?

1 1 y? 的通解为__________________________。 x x(1 ? x 2 )

二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1.设 f ( x) 在 x 0 的某邻域内有三阶导数,且 lim
x ? x0

f ??( x) ? 1 ,则( x ? x0



A. f ( x0 ) 是 f ( x) 的极小值; B. f ( x0 ) 是 f ( x) 的极大值; C. ( x0 , f ( x0 )) 是曲线 y ? f ( x) 的拐点; D. f ( x0 ) 不是极值, ( x0 , f ( x0 )) 也不是曲线 y ? f ( x) 的拐点。 2.设 f ( x) ? ? (esin t ? e ?sin t )dt ,则(
0 2x



A. f ( x) 是以 2? 为周期的偶函数;

B. f ( x) 是以 2? 为周期的奇函数; C. f ( x) 是以 ? 为周期的偶函数; D. f ( x) 是以 ? 为周期的奇函数。 3. f ( x) ? ?
1?cos x 0

则当 x ? 0 时,f ( x) 是 g ( x) 的 ( (et ? 1)dt ,g ( x) ? x6 ? x 7 , B. 高阶无穷小 D. 同阶但不等价的无穷小 ) B. ln

2



A. 低阶无穷小 C. 等价无穷小 4.级数 ? A. ln
n ?( n n ?1 4
?

3 4

4 3

C.

4 9

D.

9 4


5.已知 a ? x ? A. ?

? ?

4

cos(2n ? 1) x (?? ? x ? ? ) , a 为常数,则 a ? ( (2n ? 1) 2 n ?1
?

? 2

B.

? 2

C. ? ?

D. ?

三、(本题共 5 小题,每题 8 分,满分 40 分) 1.已知

x ? l n1(? t 2 )

dy d 2 y ,求 , 2 。 dx y ? t ? a r c t ta n dx
x 0

2.设 f ( x) 在 ?0,1? 上连续,且 f ( x) ? 1 ,证明方程 2 x ? ? f (t )dt ? 1 在 (0,1) 上只有 唯一解。 3.设 f ( x) 在 ?0,??? 上连续,且 lim f ( x ) ? A ( A ? 0) ,求 lim ? f (nx)dx 。
1
x ? ??

n ?? 0

4.利用欧拉积分计算 ? 5.将 f ( x) ?
2

3

4

1

3? x dx 。 x ?1

1 在 x ? ?1 展开成幂级数,并求收敛域。 x ? x?2

四、(本题共 3 小题,每小题 12 分,满分 36 分) 1.设 y ? f ( x) 有二阶连续导数,且曲线积分

?(y
L

2

? 2 yf ( x) ? 6xye? x )dx ? ( f ?( x) ? f ( x) ? 2xy ? 2e? x )dy ? 0 ,L 是平面上任意一条

方向为逆时针的封闭曲线。 (1)已知 f (0) ? 0 , f ?(0) ? 0 ,求 y ? f ( x) ;

(2)计算 ?

??

0

f ( x)dx 。

2.求二元函数 f ( x, y) ? xy(2 x ? y ? 1) 在由 x 轴、 y 轴和直线 x ? y ? 1 所围成的 闭区域 D 上的最大值和最小值。 3.设 S 是单位球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 的外侧, V ? (1)求 divV ; (2)求曲面积分 ??
S

xi ? y j ? z k (a x ? b y ? c z )
2 2 2 2 2 2 3 2



xdydz? ydzdx? zdxdy (a x ? b y ? c z )
2 2 2 2 2 2 3 2



五、(本题共 2 小题,每小题 12 分,满分 24 分)
1.将 f ( x) ? ? 2 ? x 2 (?? ? x ? ? ) 展开成周期为 2? 的 Fourier 级数,并求
? 1 (?1) n ?1 ,? 4 。 ? 2 n n ?1 n n ?1

?

2.设 f ( x) 在 ?0, a ? 上二阶可导, f ??( x) ? M ,又 f (0) ? 0 , f (a) ? 0 ,
max f ( x) ? 0 ,证明:
0? x ? a

(1) f ?(0) ? f ?(a) ? aM ; (2) ? f ( x ) dx ?
0 a

M 3 a . 6

中国科学院——中国科技大学 2005 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷
试卷名称:高等数学(A)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)
1.已知 f ?( x0 ) ? 3 ,则 lim
x ?0

f ( x0 ) ? f ( x0 ? 2 x) ? _______________。 x
2

2.设 f ( x) 的一个原函数是 e x ,则 ? xf ?( x ) dx ? _________________。 3.数量场 u ? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 在点 (1,1,?1) 的最大方向微商值为_____________。 4.级数 ?
x 2n 的收敛半径为_____________。 n n n ?1 2 ? 3
1 y ? 1 的通解为_______________________。 x
?

5.微分方程 y ? ?

二、单项选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1.设 f (0) ? 0 ,则 f ( x) 在点 x ? 0 可导的充要条件为(
1 f (t 2 ) 存在 t ?0 t 2 1 C. lim f (ln(1 ? t )) 存在 t ?0 t



A. lim

1 f (t ? sin t ) 存在 t ?0 t 2 1 D. lim ? f (2t ) ? f (t )? 存在 t ?0 t

B. lim

2.设曲面 x 2 ? y 2 ?

z2 ? 1 在点 (1,1,2) 处的法线为 L ,又设 L1 : 4

x ?1 y ? 2 z ?1 ? ? , ? : x ? y ? 4 z ? 1 ,则( 2 1 0



A. L 与 L1 相交,且 L 平行于 ? ; C. L 与 L1 异面,且 L 平行于 ? ;

B. L 与 L1 相交,且 L 垂直于 ? ; D. L 与 L1 异面,且 L 垂直于 ? 。

3.设 S 是柱面 x 2 ? y 2 ? R 2 (0 ? z ? R) 的外侧, 则 ?? ( x 2 ? y 2 )dxdy的值为 (
S



A. 2?R 3
?

B. 2?R 4

C. ?R 4 )

D. 0

4.设级数 ? a n 收敛,则下列结论中正确的是(
n ?1 2 A. 级数 ? a n 收敛 n ?1 ?

B. 级数 ? n n ? an 收敛
n ?1

?

C. 级数 ?

(?1) n an 收敛 n n ?1
?

D. 级数 ?

an 绝对收敛 n ?1 n
L 收 2

?

5.设 f ( x) ? x ? L (0 ? x ? 2 L) ,则其以 2L 为周期的傅里叶级数在点 x ? ? 敛于( ) A. ?
L 2
3L 2

B. ?

C.

L 2

D.

3L 2

三、(本题共 5 小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.计算极限 lim
sin x ? sin(sin x) 。 x ?0 x3
?? 2

2.计算广义积分 ?

x (2 ? x ) 1 ? x 2
1

0

dx 。

3.利用欧拉积分计算 ?

x6 1 ? x6

0 6

dx 。

y ?2z ?z 4.设 f (u , v) 具有二阶连续偏导数, z ? f ( xy 2 , ) ,求 , 。 x ?x ?x?y

5.计算二重积分 ? dx?3 cos y 2 dy 。
0 x

1

1

四、(本题共 3 小题,每小题 12 分,满分 36 分) 1.设 f ( x) 具有二阶连续导数, f (0) ? 1 , f ?(0) ? 1 ,且曲线积分

? (e
L

x

sin y ? 2 yf ?( x) ? 2xy)dx ? ( f ?( x) ? f ( x) ? 2x ? e x cos y)dy 与路径无关。
(1)求 f ( x) ; (2)当 L 是从 (0,0) 沿曲线 y ? x 4 到 (1,1) 的有向曲线段时,求以上曲线积分

的值。

1 2.将函数 y ? x arctan x ? ln(1 ? x 2 ) 在 x ? 0 处展开成泰勒级数,并求收敛域及 2

(?1) n 。 ? n ?0 (2n ? 1)(2n ? 2)
?

3.将函数 f ( x) ? 敛情况) ,并求 ?
?

? ?? ? x ? 0 展开成周期为 2? 的傅里叶级数(说明收 ? ?x 0? x??

1 。 2 n ?1 ( 2n ? 1)

五、(本题共 2 小题,每小题 12 分,满分 24 分) 1.设 f ( x) 在 ?0,1? 上连续,在 (0,1) 上可导, f (0) ? 0 , f (1) ? 2 。 证明:(1)存在 ? ? (0,1) ,使 f (? ) ? 1 ; (2)存在 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,使
a

1 1 ? ? 1。 f ?( x1 ) f ?( x2 )

2.(1)求 F ( x) ? ? t ? x dt (常数 a ? 0 )在 ?0, a ? 上的最小值;
0

(2)设 f ( x) 在 ?0, a ? (a ? 0) 上连续,且 ? f ( x)dx ? 0 ,? xf ( x)dx ? 1 。求证:
a a 0 0

存在一点 x0 ? ?0, a? ,使 f ( x0 ) ?

4 。 a2

中国科学院——中国科技大学 2004 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷
试卷名称:高等数学(A)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________

一、填空题(本题共 5 题,每小题 5 分,满分 25 分)
1 1 1. lim n sin 1 ? sin ? ? ? sin ? ______________。 n?? 2 n
d2y 2.设 y ? ? sin y ? x (常数 ? ? (0,1) ) ,则 2 ? ________________。 dx

3.积分 ?

??

0

ln(1 ? x 2 ) dx 的收敛域为________________。 x?

4.曲面 z ? arctan

? y 在点 (1,1, ) 处的切平面方程为____________________。 4 x

5.微分方程 y?? ? 3 y? ? 2 y ? cos x 的通解为____________________。 二、单项选择题(本题共 5 题,每小题 5 分,满分 25 分) 1.设 S 为球面 x 2 ? y 2 ? z 2 ? R2 外侧,则 ?? x 2 dydz ? y 2 dzdx ? z 2 dxdy ? (
S



A. 0

B. ?R 4

C. 2?R 4 )

D. 4?R 4

2.曲线 y ? x2 ? 1 ? x ?1 的渐近线的条数为( A. 0 B. 1 C. 2
n??

D. 3

3.给定严格递增数列 { An } ,且 A1 ? a , lim An ? ?? 。函数 f ( x) 在 ?a,??? 上连 续且非负,则积分 ?
??

a

f ( x)dx 收敛是级数 ? ?
n ?1

?

An?1

An

f ( x)dx 收敛的(



A. 充分条件但非必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要条件但非充分条件 D. 既非充分条件又非必要条件

? ? (?1) n ? 4.如果级数 ? ln ?1 ? p ? ( p ? 0) 条件收敛,则( n ? n?2 ?

) D.
1 ? p ?1 2

A. 0 ? p ? 1

B. p ? 1

C.

1 ? p ?1 3

5.设 f ( x, y ) ?

1 ( x, y ) ? (0,0) (x2 ? y2 ) s i n 2 则下列选项正确的是( x ? y2 ( x, y ) ? (0,0) 0
?f ?f , 在 (0,0) 处连续; ?y ?x ?f ?f , 在 (0,0) 处不连续; ?y ?x



A. f ( x, y ) 在 (0,0) 处不可微,

B. f ( x, y ) 在 (0,0) 处不可微,

C. f ( x, y ) 在 (0,0) 处可微,

?f ?f , 在 (0,0) 处连续; ?y ?x ?f ?f , 在 (0,0) 处不连续。 ?y ?x

D. f ( x, y ) 在 (0,0) 处可微,

三、(本题共 5 题,每小题 8 分,满分 40 分)

1.计算极限 lim
x ?0

?

tan x

0

t (tant ? t )dt sin tdt
2 3

?

sin 2 x



0

2.计算积分 ?

ln 2

0

e x ? 1dx 。
?
2

3.利用欧拉积分计算 ? 2 (tanx) 3 dx 。
0

4.利用 Stokes 公式计算 ? ( y ? z )dx ? ( z ? x)dy ? ( x ? y )dz ,其中 L :
L

x2 ? y 2 ? z 2 ? a2 x? y?z ?0

(a ? 0) ,从 x 轴正向看 L 为逆时针走向。
1 x x 1 y

5.设 a, b ? 0 。证明:当 y ? x ? 0 时,有 (a ? b ) ? (a ? b ) 。
x y y

四、(本题共 3 题,每小题 12 分,满分 36 分) 1.求由曲面 x 2 ? y 2 ? az 和 z ? 2a ? x 2 ? y 2 (a ? 0) 所围立体的体积。
? ? 1 ? n 2.求级数 ? ?n(n ? 1) ? x 的和函数,并求收敛域。 n(n ? 1) ? n ?1 ? ?

3.求 k 的取值范围,使得关于 x 的方程

k ? x 2 ? 1 有唯一正根。 x

五、(本题共 2 题,每小题 12 分,满分 24 分) 1.将函数 f ( x) ?

x ?x

?? ? x ? 0 0? x??

展开成傅里叶级数(说明收敛情况) ,并求

?n
n ?1

?

1
2



2.确定常数 ? ,使得

x 2 x2 ( x ? y 2 )? dx ? 2 ( x 2 ? y 2 )? dy ? 0 在 D ? {( x, y) y ? 0} 内 y y

为一全微分方程,并利用曲线积分求此全微分方程的通解。

中国科学院——中国科技大学 2003 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷
试卷名称:高等数学(A)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________

一、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分)
1. lim ?
x? 4

t an x ? 1 ? _________________。 2 sin 2 x ? 1
3

2.设

x ? ? u ln udu
1

t2

y ? ? 2 u 2 ln udu
t
?

1

(t ? 0) ,则

d2y ? _______________。 dx2

3.级数 ?

1 1? 2x n ( ) 的收敛域为_______________。 n ? 0 2n ? 1 1 ? x

4.椭球面 x 2 ? 2 y 2 ? z 2 ? 1上平行于平面 x ? y ? 2 z ? 0 的切平面方程为 ____________________。 5.微分方程 y?? ? y? ? 2 y ? 4xex 的通解为______________________。 二、选择题(本题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1.设 f ( x) ? (

1 ? x ar ct anx?0 在 x ? 0 处连续但不可导,则 ? 的取值范围是 x x?0 0

) A. ? ? 0 B. 0 ? ? ? 1 C. 0 ? ? ? 1 D. ? ? 1 2.“对任给 ? ? 0 ,总存在正整数 N ,使得当 n ? N 时,就有
?

aN ?1 ? aN ?2 ??? an ? ? ”是级数 ? a n 收敛的(
n ?1



A. 充分条件但非必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要条件但非充分条件 D. 既非充分条件也非必要条件

3.设 S 是柱面 x 2 ? y 2 ? R 2 界于平面 z ? 0 及 z ? R 之间的部分,则

?? ( x
S

2

? z 2 ) dS ? (

) B.
5 4 ?R 3

A.

8 4 ?R 3

C.

4 4 ?R 3

D. ?R 4

4.设 L 是起点为 A(?1,0) ,终点为 B(1,0) 的简单光滑曲线,除 A , B 外其它点 都在 x 轴上方,则曲线积分 ? A. 恒为 ? ? 5.广义积分 ? A. p ? ?1
?? 0

? ydx ? xdy 的值( L x2 ? y2

) D. 与曲线 L 有关

B. 恒为 0

C. 恒为 ? )

sin x 2 dx 的收敛域为( xp

B. 0 ? p ? 3

C. ? 1 ? p ? 1

D. ? 1 ? p ? 3

三、(本题共 5 小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.求 ? max( x,1) dx 。 2.计算无穷积分 ?
??

1 x( x ? 1)
m

1

dx ,其中 m 是正整数。
Gn 。 n?? n

3.设 Gn ? n (n ?1)(n ? 2)?(n ? n) ,求 lim

1 1 4.证明:当 x ? 0 时,有不等式 (1 ? ) x ? e ? (1 ? ) x ?1 。 x x

5.函数 f ( x) 在 ?0,??? 上有一阶连续导函数,对所有 x ? 0 ,有 f ( x) ? e? x ,且
f (0) ? 1 。

证明:存在 ? ? 0 ,使得 f ?(? ) ? ?e?? 。 四、(本题共 3 小题,每小题 12 分,满分 36 分) 1.求函数 z ? x 2 y(3 ? x ? y) 在闭区域 D : x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 4 上的最大值和 最小值。 2.设 f ( x) ? cos x ?
1 2? t (2 x ? t ) f ( )dt ,其中 f ( x) 为连续函数,求 f ( x) 。 ? 0 4 2
2 2

a 2 ? b2 2 z ? a 2 与 z ? c 所界物体的体积。 3.设 a, b, c ? 0 ,求曲面 x ? y ? 2 c

五、(本题共 2 小题,每小题 12 分,满分 24 分)

? ?1
1.设 f ( x) ?

? ?x
2

2

x 0 ? x ?1
,将 f ( x) 展开成周期为 2? 的正弦级数,并求
1? x ? ?

?

? sin 2 n sin 2 n 与 。 ? n2 n4 n ?1 n ?1

?

2.设区域 V 是由曲面 2 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 及平面 z ? 1,平面 z ? ?1所围成, S 为 V 的全表面外侧,又设 v ? (2 x 2 ? y 2 ? z 2 ) (1)求 divv ; (2)求积分 ??
?3 2

( xi ? y j ? z k ) 。

xdydz? ydzdx? zdxdy (2 x 2 ? y 2 ? z 2 )
3 2

S



中国科学院研究生院 2006 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
试卷名称:高等数学(甲)
考生须知: 1.本试卷满分 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷纸或草稿纸上一律无效。
_____________________________________________________________________ x ?1 x ) 。 一、 (10 分)求 lim ( x?? x ? 1

二、 (10 分)求 a , b 的值,使得 f ( x) ?
1

sin a ( x ? 1), x ? 1 ln x ? b, x ? 1

在 x ? 1 处可导。

(1 ? 2 x) ln x 3 ) 的导数。 三、 (10 分)求 y ? ( x ? 1)( 1? x2

四、 (10 分) 设 z ? f (u ) , 方程 u ? q(u) ? ? p(t )dt 确定 u 是 x ,y 的函数, 其中 f (u ) y
和 q(u ) 可微, p(t ) 连续,且 q(u) ? 1 ,求 p ( y )
?z ?z ? p ( x) 。 ?x ?y

x

五、 (10 分)设函数 F ( x) ?

? tf (t )dt x ? 0
0

x

x2 A

x?0

, f ?( x ) 连续,且 f (0) ? 0 。

(1)求 A 的值,使 F ( x) 在 x ? 0 处连续; (2)研究 F ?( x ) 在 x ? 0 处的连续性。

六、 (10 分)设 f ( x) 满足方程 ?

1 x f ( x)dx ? ? x 2 sin xdx ? C ,求 ? f ( x ) dx 。 x ?
2 1 ,求 ? xf ?( x)dx 。 ?2 x

3

七、 (10 分)当 x ? 0 时, f (ln x) ?

八、 (10 分)求经过原点且垂直于平面 ? 1 : x ? 2 y ? 3z ? 2 ? 0 及 ? 2 :
6 x ? y ? 5z ? 23 ? 0 的平面方程。

九、 (10 分)将函数 f ( x ) ? ln 十、 (10 分)求级数 ?
?

x 展开成 x ? 1 的幂级数。 1? x

1 n ?1 x 的和函数。 n n ?1 n 2
( x ? y)dx ? ( x ? y)dy ,其中 L 是抛物线 y ? 2 x 2 ? 1 从点 2 2 x ?y

十一、 (10 分)计算 I ? ? L

A(?1,1) 到点 B(1,1) 的一段。

十二、 (10 分)设曲线积分 ? ( f ?( x) ? 2 f ( x) ? e x ) ydx ? f ?( x)dy 与路径无关,且 L
f (0) ? 0 , f ?(0) ? 1 ,计算 I ? ?
(1,1) ( 0, 0 )

( f ?( x) ? 2 f ( x) ? e x ) ydx ? f ?( x)dy 。

十三、 (10 分)设 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a, b) 内可导,试证存在 ? ? (a, b) 使得
2? ? f (b) ? f (a)? ? (b2 ? a 2 ) f ?(? ) 。

十四、 (10 分)设 f ( x) 为可导而且以 2 为周期的函数,满足
f (1 ? x) ? 2 f (1 ? x) ? 2x ? sin 2 x ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 3 处的切线斜率。

十五、 (10 分)如图,某公园有一座高为 a 米的塑像,其基座高为 b 米。今有一
观赏者高为 h 米 (h ? b) ,问他离基座底部多远时,其视线对塑像张成的角最大?

a
?
b

h


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