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四川省资阳市2014届高三4月高考模拟考试


资阳市高中 2011 级高考模拟考试
数 学(文史类) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A={x| ( x ? 1)( x ? 5) ? 0 },B={x| 0 ? x ? 4 },则集合 A ? B = (A){x| 0<x<4} (C){x| 1<x ≤ 4} 2.复数
2i ? 2?i 2 4 (A) ? ? i 5 5

(B){x| 0<x<5} (D){x| 4≤x<5}

(B) ? i

2 5

4 5

(C) ? i

2 5

4 5

(D) ? ? i

2 5

4 5

3.下列说法正确的是 (A) “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的充要条件
2 (B)若 p : ? x0 ? R , x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ? x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0

(C)若 p ? q 为假命题,则 p,q 均为假命题 (D) “若 ? ?
?
6

,则 sin ? ? ”的否命题是“若 ? ?

1 2

?
6

,则 sin ? ? ”

1 2

4.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据, 并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图.根据该图,下列结论中 正确的是 (A)人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中 位数等于 20% (B)人体脂肪含量与年龄正相关,且脂肪含量的中 位数小于 20% (C)人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中 位数等于 20% (D)人体脂肪含量与年龄负相关,且脂肪含量的中位数 小于 20 5.如图,已知 A,B 两点分别在河的两岸,某测量者在 点 A 所 在 的 河 岸 边 另 选 定 一 点 C , 测 得 AC ? 50 m ,
?ACB ? 45? , ?CAB ? 105? ,则 A、B 两点的距离为

(A) 50 3 m C) 25 2 m

(B) 25 3 ( (D) 50 2 m

? y ? x, ? 6.已知不等式组 ? y ? ? x, (其中 a ? 0 )表示的平面区域的面积为 4,点 P( x, y ) 在 ?x ? a ?

该平面区域内,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 (A)9 (B)6 (C)4 (D)3 7.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 4 在区间 [0, m]( m ? 0 )上的最大值为 4, 最小值为 3,则实数 m 的取值范围是 (A) [1, 2] 值不小于 55 的概率为 (A)
1 9

(B) (0, 1]

(C) (0, 2]

(D) [1, ? ?)

8.已知实数 x ? [1, 10] ,执行如右图所示的程序框图,则输出 x 的 (B)
2 9

(C)

4 9

(D)

5 9

y2 ? 1 上除顶点外的任意一点, F1 、 F2 分别是 4 ????? ????? 双曲线的左、右焦点,△ PF1 F2 的内切圆与边 F1 F2 相切于点 M,则 F1M ? MF2 ?

9.设 P 是双曲线 x2 ?

(A)5

(B)4
x

(C)2

(D)1

10.已知函数 f ( x) ? 1 ?

m ,若 ?a, b, c ? R , f (a), f (b), f (c) 为某一个三角形的边 e ?1

长,则实数 m 的取值范围是 (A) [? ,0]
1 2

(B) [0,1]

(C) [1, 2] (D) [? ,1]

1 2

第Ⅱ 卷 (非选择题 共 100 分 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.已知 tan ? ? 3 ,则
3cos ? ? sin ? ? ______. 2 cos ? ? sin(? ? ? )

12 . 在 Rt △ ABC 中 , C ?
???? ??? ? | 2 A C? A B ?| _____.

?
2

, B?

?
6

, CA ? 1 , 则

13.顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且经过点 P(?4, ?2) 的 抛物线方程是__________. 14. 右图中的网格是边长为 1 的小正方形, 在其上用粗线画出了某多面体的三视 图,则该多面体的体积为__________. 15.设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,如: [? ] ? 3 , [?4.3] ? ?5 .给出下列命题: ① 对任意实数 x ,都有 [ x] ? x ? 0 ;② 若 x1 ? x2 ,则 [ x1 ] ? [ x2 ] ;
[lg1] ? [lg 2] ? [lg 3] ? ? ? [lg100] ? 90 ; ③ ④ 若函数 f ( x) ?

2x 1 x) ] [?( f ) ]x ? 则 y ? [f ( ? , x 1? 2 2



值域为 {?1, 0} . 其中所有真命题的序号是__________.

三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
n ? (2, 1) , 16. (本小题满分 12 分) 设平面向量 m ? (cos2 , 3 sin x) , 函数 f ( x) ? m ? n .

(Ⅰ )当 x ? [? , ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围;

? ?

x 2

3 2 2? ? 13 ? (Ⅱ )当 f (? ) ? ,且 ? ? ? ? 时,求 sin(2? ? ) 的值. 3 6 5 3

17. (本小题满分 12 分)某学校为了选拔学生参加 “XX 市中学生知识竞赛” ,先在本校进行选拔测试 (满分 150 分) ,若该校有 100 名学生参加选拔测 试,并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布 直方图. (Ⅰ )根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参 加选拔测试的平均成绩; (Ⅱ )该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校参加市知识竞赛,为了 了解情况, 在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取 2 人, 求选取的两人的 选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率.

18. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 满足: Sn ? an ? n ? 3 . (Ⅰ )求证:数列 {an ? 1} 是等比数列;
1 ) log ? (3 a ) ? ?? log ? ( (Ⅱ )令 cn ? log ( 3 a 1 ? 21
3

3 2

1 )an ?

,对任意 n ? N* ,是否存在正整数

m,使

1 1 1 m ? ? ? ? ? 都成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. c1 c2 cn 3

19. (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 是梯形,四边形 CDEF 是矩形,且

平面 ABCD⊥ 平面 CDEF,∠ BAD=∠ CDA=90?, AB ? AD ? DE ? CD ? 2 ,M 是线段 AE 上的动点. (Ⅰ )试确定点 M 的位置,使 AC∥ 平面 MDF,并说明理由; (Ⅱ )在(Ⅰ )的条件下,求平面 MDF 将几何体 ADE-BCF 分成的两部分的体积 之比.

1 2

20. (本小题满分 13 分)如图,已知圆 E: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 16 ,点 F (1,0) ,P 是圆 E 上任意一点.线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q. (Ⅰ )求动点 Q 的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ )点 A(?2,0) , B(2,0) ,点 G 是轨迹 ? 上的一个动点,直线 AG 与直线 x ? 2 相交于点 D,试判断以线段 BD 为直径的圆与直线 GF 的位置关系,并证明你的结论.

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ( a ? R ). (Ⅰ )当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 在定义域内是否存在零点?若存在,请指出有几个零 点;若不存在,请说明理由; (Ⅲ )若 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

资阳市高中 2011 级高考模拟考试 数学参考答案及评分意见(文史类) 一、选择题:CADBD,BACBD. 二、填空题:11. -6;12. 2;13. x2 ? ?8 y ;14. 16;15.① ②④. 三、解答题:共 6 大题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.解析: (Ⅰ ) f ( x) ? (cos2 , 3 sin x) ? (2,1) ? 2cos2 ? 3 sin x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分
? cos x ? 3 sin x ? 1 ? 2sin( x ? ) ? 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 6

x 2

x 2

?

当 x ?[? , ] 时, x ? ?[? ,
3 2 6 6

? ?

?

? 2?

1 ? ? ] ,则 ? ? sin( x ? ) ? 1 , 0 ? 2sin( x ? ) ? 1 ? 3 , 3 2 6 6

所以 f ( x) 的取值范围是 [0, 3] .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 (Ⅱ )由 f (? ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ?
6

?

13 ? 4 ,得 sin(? ? ) ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 5 6 5

因为 ?

2? ? ? ? ? ? 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ,得 cos(? ? ) ? , · 3 6 2 6 3 6 5

? ? ? ? 4 3 24 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 sin(2? + ) ? sin[2(? ? )] ? 2sin(? ? )cos(? ? ) ? 2 ? ? ? 3 6 6 6 5 5 25

17.解析: (Ⅰ )设平均成绩的估计值为 X ,则:
X ? (20 ? 0.001 ? 40 ? 0.004 ? 60 ? 0.009 ? 80 ? 0.020 ? 100 ? 0.013 ? 120 ? 0.002 ? 140 ? 0.001) ? 20
? 80 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6



(Ⅱ )该校学生的选拔测试分数在 [110,130) 有 4 人,分别记为 A,B,C,D,分数 在 [130,150) 有 2 人,分别记为 a,b,在则 6 人中随机选取 2 人,总的事件有(A, B) , (A,C) , (A,D) , (A,a) , (A,b) , (B,C) , (B,D) , (B,a) , (B,b) , (C,D) , (C,a) , (C, b) , (D,a) , (D,b) , (a,b)共 15 个基本事件,其中符合题设条件的基本事

件有 8 个. 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 P ?
8 . 15

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

18.解析:当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? a1 ? 2 ,解得 a1 ? 4 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·1 分 当 n ? 2 时,由 Sn ? an ? n ? 3 得 Sn?1 ? an?1 ? n ? 4 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 两式相减,得 Sn ? Sn?1 ? an ? an?1 ? 1 ,即 an ? 3an?1 ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 则 an ? 1 ? 3(an?1 ? 1) ,故数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 3 为首项,公比为 3 的等比数列. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 (Ⅱ )由(Ⅰ )知 an ? 1 ? 3n ,
cn ? log3 (a1 ? 1) ? log3 (a2 ? 1) ? ? ? log3 (an ? 1) ? 1 ? 2 ? ? ? n ? n(n ? 1) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3 2

所以 则 由

1 2 1 1 ? ? 2( ? ),· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 cn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? ),· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 c1 c2 cn 2 2 3 n n ?1 n ?1 1 1 1 m 1 m ? ? ? ? ? 对任意 n ? N* 都成立,得 2(1 ? )? , c1 c2 cn 3 n ?1 3

即 m ? 6(1 ?

1 ) 对任意 n ? N* 都成立,又 m ? N* , n ?1

所以 m 的值为 1,2,3. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 19.解析: (Ⅰ )当 M 是线段 AE 的中点时,AC∥ 平面 MDF.证明如下: 连结 CE,交 DF 于 N,连结 MN, 由于 M、N 分别是 AE、CE 的中点,所以 MN∥ AC, 由于 MN ? 平面 MDF,又AC AC ? 平面 MDF, 所以 AC∥ 平面 MDF. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ )如图,将几何体 ADE-BCF 补成三棱柱 ADE-B?CF, 三
V?


?A


D

ADE
E



B?CF
8?




?





S

?

1 C 2 ?D 2 ? , 4? 2

则几何体 ADE-BCF 的体积

1 1 20 VADE ? BCF ? V三棱柱ADE ? BCF ? VF ? BB?C = 8 ? ? ( ? 2 ? 2) ? 2 ? . 3 2 3

三棱锥 F-DEM 的体积 V 三棱锥 M-DEF= ? ( ? 2 ? 4) ?1 ? , 故两部分的体积之比为 : (
4 3 20 4 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ? ) ? (答 1:4,4,4:1 均可) 3 3 4

1 3

1 2

4 3

20.解析: (Ⅰ )连结 QF,根据题意,|QP|=|QF|, 则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4 ?| EF | , 故 Q 的轨迹 ? 是以 E,F 为焦点,长轴长为 4 的椭圆. 2 分 设其方程为
x2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,可知 a ? 2 ,c ? a 2 ? b2 ? 1 ,则 b ? 3 , a 2 b2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分 所以点 Q 的轨迹 ? 的方程为为
x2 y 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 ? ?1. · 4 3

(Ⅱ )以线段 BD 为直径的圆与直线 GF 相切. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 由题意,设直线 AG 的方程为 y ? k ( x ? 2) (k ? 0) ,则点 D 坐标为 (2, 4k ) ,BD 的中点 H 的坐标为 (2, 2k ) . 联立方程组 ? x 2
? y ? k ( x ? 2), ? 消去 y 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 , y2 ? 1, ? ? 3 ?4

设 G( x0 , y0 ) ,则 ?2x0 ? 所以 x0 ?
1 2

16k 2 ? 12 , 3 ? 4k 2

6 ? 8k 2 12k , y0 ? k ( x0 ? 2) ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k

当 k ? ? 时,点 G 的坐标为 (1, ? ) ,点 D 的坐标为 (2, ?2) . 直线 GF⊥x 轴,此时以 BD 为直径的圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 与直线 GF 相切. · ·9 分
1 2k 2 2 4k 1 当 k ? ? 时 , 则 直 线 GF 的 斜 率 为 3 ? 42k ? , 则 直 线 GF 方 程 为 6 ? 8k 1 ? 4k 2 2 ? 1 3 ? 4k 2

3 2

y?

4k ( x ? 1) , 1 ? 4k 2
8k 4k 2k ? 8k 3 ? 2k ? | | | 2 2 1 ? 4k ? 1 ? 4k 2 ? 2 | k | ,又 | BD |? 4 | k | , 的距离 d ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 4k 2 ( ) ?1 2 |1 ? 4k 2 | 1 ? 4k |

点 H 到直线 GF

所以圆心 H 到直线 GF 的距离 d ? | BD | ,此时,以 BD 为直径的圆与直线 GF 相 切. 综上所述,以线段 BD 为直径的圆与直线 GF 相切.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 21.解析: (Ⅰ )由 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ,则 f ?( x) ? e x ? a . 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln a ;由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ln a , 所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (ln a, ??) ,单调减区间为 (??,ln a) . · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分
x 0? , (Ⅱ ) 函数 F ( x) ? f ( x) ? x ln x 的定义域为 (0, ??) , 由 F () 得a ?

1 2

ex ? 1 (x?0) , ? ln x x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·5 分 令 h( x) ?
ex ? 1 (e x ? 1)( x ? 1) ,则 h '( x) ? , ? ln x ( x ? 0 ) x x2

由于 x ? 0 , e x ? 1 ? 0 ,可知当 x ? 1 , h '( x) ? 0 ;当 0 ? x ? 1 时, h '( x) ? 0 , 故函数 h( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增,故 h( x) ? h(1) ? e ? 1 .· ·6 分 又由(Ⅰ )知当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ( x) ? f (ln a) ? 0 ,即 ex ? 1 ? x ?
ex ? 1 ? 1, x

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分 (随着 x ? 0 的增长, y ? e x ? 1 的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y ? x 的增 长速度, 而 y ? ln x 的增长速度则会越来越慢. 则当 x ? 0 且 x 无限接近于 0 时,h( x) 趋向于正无穷大.) 当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有两个不同的零点; 当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 有且仅有一个零点;

当 a ? e ? 1 时,函数 F ( x) 没有零点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·9 分 (Ⅲ )由 f ( x) ? e x ? ax ? 1 ,则 f ?( x) ? e x ? a . ① 当 a ? 1 时,对 ?x ? 0 ,有 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在区间 (0, ?? ) 上单调递增,又
f (0) ? 0 ,即 f ( x) ? f (0) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

② 当 a ? 1 时,由(Ⅰ) , f ( x) 单调递增区间为 (ln a, ??) ,单调递减区间为 (??,ln a) , 若 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 恒成立,只需 f ( x)min ? f (ln a) ? a ? a ln a ? 1 ? 0 ,· · · · · · · · · · · · ·11 分
?() 1? n l ? 1a ? n l? ? 0 ?a 令 g (a) ? a ? a ln a ? 1 ( a ? 1 ) , ga



即 g (a) 在区间 (1, ??) 上单调递减,又 g (1) ? 0 ,故 g (a) ? 0 在 (1, ??) 上恒成立, 13 分 故当 a ? 1 时,满足 a ? a ln a ? 1 ? 0 的 a 不存在. 综上所述,a 的取值范围是 (??,1] . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分


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