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求函数值域常用的十种方法


值域是全体函数值所构成的集合,值域也是构成函数的三要素之一。由于求 函数值域所涉及到的知识面较宽,所用到的数学思想与数学方法也相应较多,因 此、求函数的值域往往是数学考察的基本内容之一,本文将举例说明求函数值域 常用的十种方法,仅供参考。 1、利用非负数的性质 、 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。 x2 ? 3 例 1、(1)求函数 y = 16 ? x 的值域。 (2)求函数 y = 2 的值域。 x +1
2

解析: 解析:(1)Q 0 ≤ 16 ? x 2 ≤ 16 , ∴ 0 ≤ 16 ? x 2 ≤ 4 故 所求函数的值域为 y ∈ [0,] 。 4
(2)Q x 2 + 1 > 0 , ∴ 原函数可化为 y ( x 2 + 1) = x 2 ? 3 ,即 x 2 (1 ? y ) = y + 3 ,

当 y ≠ 1 时, x 2 =

y+3 y+3 , Q x 2 ≥ 0 ,∴ ≥ 0 ,解得 ? 3 ≤ y ≤ 1 1? y 1? y

又 y ≠ 1 , 所以 ? 3 ≤ y < 1 , 故 所求函数的值域为 y ∈ [?3, 。 1 ) 2、利用函数的图象
对于含有绝对值(或分段)函数,若函数图象比较易作出, 对于含有绝对值(或分段)函数,若函数图象比较易作出,则利用函数图象能 较快的求出其值域。 较快的求出其值域。 例 2、求函数 y =| x ? 2 | ? | x + 1 | 的值域。 解析: 解析:去掉绝对值符号得 :

? x ? 2 ? ( x + 1) = 3( x > 2) ? y = ?2 ? x ? ( x + 1) = ?2 x + 1(?1 ≤ x ≤ 2) 。 ?2 ? x + ( x + 1) = 3( x < ?1) ?
画出函数的图象(如图) :由函数的图象可得,原 函数的值域为 y ∈ [?3, 。 3]

3、利用二次函数的性质
对于二次函数或与二次函数有关的函数,在求其值域时常用此法。 对于二次函数或与二次函数有关的函数,在求其值域时常用此法。 例 3、(1)求函数 y = ? x 2 + x,x ∈ [?2,] 的值域。 2 (2)求函数 y =

7x ? 2 1 2 ,x ∈ [ ,] 的值域。 x 3

1 1 1 解析: 2 解析:(1) y = ? x 2 + x = ?( x ? ) 2 + ,Q x ∈ [?2,] ,∴ ?6 ≤ y ≤ 2 4 4 1 故 所求函数的值域为 y ∈ [?6, ] 4
(2) y =

7x ? 2 = x

7x ? 2 2 7 1 7 49 = ? 2 + = ? 2( ? ) 2 + , 2 x x 4 8 x x

1 7 2 , Q x ∈ [ ,] ,∴ 解得:3 ≤ y ≤ 2 3 4

7 2 故 所求函数的值域为 y ∈ [ 3, ] 。 4

4、利用互为反函数的性质
因为原函数的值域与其反函数的定义域相同, 因为原函数的值域与其反函数的定义域相同,所以可由求其反函数的定义域 来确定原函数的值域。 来确定原函数的值域。 例 4、求函数 y =

a x + a?x (a > 0且a ≠ 1) 的值域。 a x ? a ?x
1 x +1 log a (a > 0且a ≠ 1) 2 x ?1

解析: 解析:已知函数的反函数为 f ?1 ( x) = 由

x +1 > 0 ,解得 x > 1或x < ?1 , x ?1

故 所求函数的值域为 y ∈ (?∞, 1) U (1, ∞) 。 ? +

5、利用换元法
某些函数通过换元,可使其变为我们熟悉的函数,从而求得其值域,但在代 某些函数通过换元, 可使其变为我们熟悉的函数, 从而求得其值域, 换时应注意等价性。 换时应注意等价性。 例 5、求函数 y = 2 x ? 3 + 13 ? 4 x 的值域。
13 ? t 2 解析: , 解析:令 13 ? 4 x = t , t ≥ 0 ,则 x = 4 1 7 1 ∴ y = ? t 2 + t + = ? (t ? 1) 2 + 4 ≤ 4 ,当且仅当 t = 1时取等号, 2 2 2

故 所求函数的值域为 y ∈ (?∞,] 。 4

6、利用部分分式法
对 于 形 如 f ( x) =
ax + b 2 ax 2 + bx + c 2 (a + c 2 ≠ 0)或f ( x) = 2 ( a + d 2 ≠ 0) 的 有 理 cx + d dx + ex + f

分式函数均可利用部分分式发求其值域。 分式函数均可利用部分分式发求其值域。

3x ? 1 x2 ? x 例 6、(1)求函数 y = 的值域。 (2)求函数 y = 2 的值域。 x +1 x ? x +1

解析: 解析:(1) 因为 y =

3 x ? 1 3 x + 3 ? 4 3( x + 1) ? 4 4 = = = 3? ≠ 3, x +1 x +1 x +1 x +1

故 所求函数的值域为 y ∈ (?∞, U (3, ∞) (此题也可用反函数法求解) 3) +
(2) 因为 y = 1 x2 ? x x2 ? x +1?1 = = 1+ 2 = 1+ 2 2 x ? x +1 x ? x +1 x ? x +1 1 , 1 2 3 (x ? ) + 2 4

1 3 3 1 3 1 而 ( x ? ) 2 + ≥ ,所以 0 < 2 ≤ ,则 ? ≤ y < 1 , 2 4 4 3 x ? x +1 4 1 故 所求函数的值域为 y ∈ [? , 。(此题也可用判别式法求解) 1) 3 7、利用判别式法

一元二次方程, 将函数表达式转化为关于 x 的一元二次方程, y 看成相应的系数, 把 看成相应的系数, 因为方程 有 实 根 , 由 判 别 式 ?≥0 , 求 得 函 数 的 值 域 , 此 法 常 用 于
y= ax 2 + bx + c 2 (a + d 2 ≠ 0) 的有理分式函数的值域探求问题。 的有理分式函数的值域探求问题。 2 dx + ex + f x2 +1 的值域。 x2 + x +1

例 7、求函数 y =

解析: 解析:由于函数的定义域为 R , 所以去分母整理得: (1 ? y ) x 2 ? yx + (1 ? y ) = 0 , 当 y ≠ 1 时, ? = (1 ? y ) 2 ? 4(1 ? y ) ≥ 0 ,
2 ≤ y ≤ 2, 3 2 又当 y = 1 时, x = 0 ,∴ y ∈ [ ,] . 2 3 8、利用三角函数的有界性

即 3 y 2 ? 8 y + 4 ≤ 0 ,解得:

由于三角函数具有有界性: | 由于三角函数具有有界性: | sin x |≤ 1,cos x |≤ 1 ,这一性质在求有关函数的值 域中有其独特的重要作用。 域中有其独特的重要作用。 3 sin x ? 3 例 8、求函数 y = 的值域。 2 cos x + 10 解析: 解析:由于 2 cos x + 10 ≠ 0 ,所以 去分母整理得: 3 sin x ? 2 y cos x = 10 y + 3 ,
∴ 9 + 4 y 2 sin( x ? ? ) = 10 y + 3(tan ? =

10 y + 3 2y ) ,则 sin( x ? ? ) = . 3 9 + 4y2

由 | sin( x ? ? ) |≤ 1 ,得

10 y + 3 9 + 4y2

≤ 1 ,解得: ?

5 ≤ y ≤ 0, 8

5 故 所求函数的值域为 y ∈ [? ,] 。 0 8

9、利用函数的单调性
利用函数的单调性由函数的定义域先求出内函数的值域, 利用函数的单调性由函数的定义域先求出内函数的值域,再进一步求出外函 性由函数的定义域先求出内函数的值域 数的值域(此法对求复合函数的值域非常适用)。 例 9、(1)求函数 y = 2 x ?5 + log 3 x ? 1(2 ≤ x ≤ 10) 的值域。 1 1) 0 (2)求函数 y = log a [1 ? ( ) x ],x ∈ (0,, < a < 1 的值域。 2 解析: 解析 : (1)令 y1 = 2 x ?5 ,y 2 = log a

x ? 1 ,由于 y1、y 2 在[2, ] 上均为增函数,所以 10

y = y1 + y 2 在 [2, ] 也是增函数, 10
1 所以 y min = 2 ?3 + log 3 2 ? 1 = , y max = 2 5 + log 3 9 = 33 8 1 故 所求函数的值域为 y ∈ [ , ] 。 33 8 1 1 1 1 ? (2)令 t = ( ) x , x ∈ (0, , t = ( ) x 在 R 上递减, ∴ t ∈ ( , , t ∈ (?1, ) , Q 1) 则 1) ? 2 2 2 2 1 1 再令 u = 1 ? t ∈ (0, ) ,又 y = log a u在(0, ) 上递减, 2 2
故 所求函数的值域为 y ∈ (log a , ∞) +

10、利用均值不等式
对于非基本函数,若所给函数表达式符合均值不等式,可试用此法。 对于非基本函数,若所给函数表达式符合均值不等式,可试用此法。 1 例 10、求函数 y = x 2 (1 ? 3 x)(0 ≤ x ≤ ) 的值域。 3 1 1 解析: 解析:当 0 ≤ x ≤ 时,y ≥ 0 ,当 x = 0或x = 时,y = 0 3 3

1 4 ? 3x 3x ? 当 0 < x < 时,y = x 2 (1 ? 3 x) = ? ? ? (1 ? 3 x)? 3 9? 2 2 ?

? 3x 3x ? + + (1 ? 3x) ? 4? 2 4 2 ≤ ? . ? = 9? 3 243 ? ? ? ? ?
2 当且仅当 x = 时等号成立。 9 4 故 所求函数的值域为 y ∈ [0, ] 。 243

3


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