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高考数学常用公式及结论160条

高考数学常用公式及结论 160 条

1. 元素与集合的关系 , 2.德摩根公式 . 3.包含关系 .

4.容斥原理

. 5.集合 非空的真子集有 的子集个数共有 –2 个. 个;真子集有 –1 个;非空子集有 –1 个;

6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 (2)顶点式 (3)零点式 7.解连不等式 ; ; . 常有以下转化形式

. 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后 有且只有一个实根在

者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程

内,等价于

,或



,或



. 9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数 两端点处取得,具体如下:

在闭区间

上的最值只能在

处及区间的

(1)当 a>0 时, 若

, 则







.

(2)当 a<0 时,若 则

,则 , .

,若



10.一元二次方程的实根分布 依据:若 设 ,则方程 ,则 在区间 内至少有一个实根 .

(1)方程

在区间

内有根的充要条件为





(2)方程

在区间

内有根的充要条件为









(3)方程

在区间

内有根的充要条件为



.

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 的二次不等式 (2)在给定区间 的充要条件是 的子区间 (形如 , , 不同)上含参数 . ( 为参数)恒成立

( 为参数)恒成立的充要条件是 的子区间上含参数的二次不等式 .

(3) 12.真值表 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 非p 假 假 真 真

恒成立的充要条件是 p或q 真 真 真 假 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 , 不成立 存在某 , 成立 p且q 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 个 至多有 个



.

13.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 , 成立 对任何 , 不成立 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( 至少有( 且 或 )个 )个

或 且

14.四种命题的相互关系

15.充要条件 (1)充分条件:若 (2)必要条件:若 (3)充要条件:若 ,则 是 充分条件. 是 必要条件. ,则 是 充要条件.

,则 ,且

注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 那么

上是增函数;

上是减函数. (2)设函数 ,则 17.如果函数 函数; 如果函数 是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 19.若函数 数,则 20.对于函数 ( 是偶函数,则 . ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;若函数 是偶函 在某个区间内可导,如果 为减函数. 和 和 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 也是减 ,则 为增函数;如果

在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

函数

;两个函数



的图象关于直线

对称.

21. 若 ,则函数 22.多项式函数 多项式函数 多项式函数 23.函数 (1)函数 是奇函数 是偶函数

,则函数 为周期为

的图象关于点 的周期函数. 的奇偶性

对称; 若

的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

的图象的对称性 的图象关于直线 . 对称

(2)函数

的图象关于直线 .

对称

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.

(2)函数 (3)函数 25.若将函数 象;若将曲线 象. 和

与函数

的图象关于直线 的图象关于直线 y=x 对称.

对称.

的图象右移 、上移 个单位,得到函数 的图象右移 、上移 个单位,得到曲线

的图 的图

26.互为反函数的两个函数的关系 .

27. 若 函 数

存在反函数,则其反函数为

,并不是

,而函数



的反函数.

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 (2)指数函数 (3)对数函数 (4)幂函数 (5)余弦函数 , ,正弦函数 , , , , . , . . .

. 29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) (2) ,则 , 的周期 T=a;







,



,则

的周期 T=2a;

(3)

,则

的周期 T=3a;

(4) 的周期 T=4a; (5)



,则

,则 (6) 30.分数指数幂 ,则

的周期 T=5a; 的周期 T=6a.

(1)



,且

).

(2)



,且

).

31.根式的性质 (1) . ;

(2)当 为奇数时,

当 为偶数时, 32.有理指数幂的运算性质 (1) (2) (3) . .
p

.

.

注:若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
.

34.对数的换底公式

(

,且

,

,且

,

).

推论

(

,且

,

,且

,

,

).

35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) ;

(2) (3)

; .

36.设函数 ,则 ,且 ;若 的值域为 ,则

,记 ,且

.若 .对于

的定义域为 的情形,需要

单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



,

,

,

,则函数

(1)当

时,在





为增函数.

(2)当 推论:设 (1)

时,在 ,

和 , .

上 ,且

为减函数. ,则

(2) 38. 平均增长率的问题

.

如 果 原来 产值 的基 础数为 N ,平 均增 长率 为 . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

,则 对 于时 间

的 总产 值

,有

( 数列 40.等差数列的通项公式

的前 n 项的和为

).

; 其前 n 项和公式为

.
2011-09-05 人教网 关闭 打印 推荐给朋友 大 中 小

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41.等比数列的通项公式

; 其前 n 项的和公式为

或 42.等比差数列 :

. 的通项公式为

; 其前 n 项和公式为

. 43.分期付款(按揭贷款)

每次还款 44.常见三角不等式

元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).

(1)若

,则

.

(2) 若 (3)

,则 .

.

45.同角三角函数的基本关系式

, 46.正弦、余弦的诱导公式

=



.

47.和角与差角公式 ; ;

. (平方正弦公式); . = (辅助角 所在象限由点 的象限决

定,

). 48.二倍角公式 . .

. 49. 三倍角公式

.

.

. 50.三角函数的周期公式 函数 ,x∈R 及函数 ,x∈R(A,ω , 为常数,且 A≠0,

ω >0)的周期

;函数



(A,ω ,

为常数,且 A

≠0,ω >0)的周期 51.正弦定理

.

. 52.余弦定理 ; ; . 53.面积定理

(1)



分别表示 a、b、c 边上的高).

(2)

.

(3) 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有

.

. 55. 简单的三角方程的通解 .

. . 特别地,有 . . . 56.最简单的三角不等式及其解集 . . . .

.

. 57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)(

a)·b=

(a·b)=

a·b= a·(

b);

(3)(a+b)·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ,b= ,且 b 0,则 a b(b 0) .

53. a 与 b 的数量积(或内积)

a·b=|a||b|cosθ .
61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= (2)设 a= (3)设 A (4)设 a= (5)设 a= ,b= ,B ,b= ,b= ,则 ,则 a= ,则 a·b= . . ,则 a+b= ,则 a-b= . . .

63.两向量的夹角公式

(a= 64.平面两点间的距离公式 = (A 65.向量的平行与垂直 设 a= A||b a b(a ,b= b=λ a 0) ,且 b 0,则 . ,B

,b=

).

).

a·b=0

.

66.线段的定比分公式 设 , , 是线段 的分点, 是实数,且 ,则

( 67.三角形的重心坐标公式

).

△ABC 三个顶点的坐标分别为





,则△ABC 的重心的坐

标是 68.点的平移公式

.

. 注:图形 F 上的任意一点 P(x, y)在平移后图形 标为 . 上的对应点为 , 且 的坐

69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 (2) 函数 为 (3) 图象 解析式为 (4) 曲 线 : . (5) 向量 m= 按向量 a= 平移后得到的向量仍然为 m= . . 按向量 a= . 按 向 量 a= 平移后得到图象 ,则 的方程为 平移后得到图象 ,若 的解析式 ,则 的函数 按向量 a= 的图象 平移后得到点 按向量 a= . 平移后得到图象 ,则 的函数解析式

70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 为 为 为 为 为 为 所在平面上一点,角 的外心 的重心 的垂心 的内心 的 的旁心 . . 所对边长分别为 . . . ,则

(1) (2) (3) (4) (5)

71.常用不等式:

(1)

(当且仅当 a=b 时取“=”号).

(2) (3) (4)柯西不等式

(当且仅当 a=b 时取“=”号).

(5) 72.极值定理 已知 都是正数,则有 是定值 ,则当

.

(1)若积

时和

有最小值



(2)若和 推广 已知 (1)若积 当

是定值 ,则当 ,则有 是定值,则当 最小.

时积

有最大值

.

最大时,

最大;

最小时,

(2)若和 当

是定值,则当 最大.

最大时,

最小;

最小时,

73. 一 元 二 次 不 等 式 同号,则其解集在两根之外;如果 与 间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. ; . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有 .

,如果



异号,则其解集在两根之

或 75.无理不等式

.

(1)

.

(2)

.

(3) 76.指数不等式与对数不等式 (1)当 时, ;

.

. (2)当 时, ;

77.斜率公式

( 78.直线的五种方程 (1)点斜式 (2)斜截式



).

(直线 过点

,且斜率为 ).

(b 为直线 在 y 轴上的截距).

(3)两点式

(

)(



(

)).

(4)截距式 (5)一般式

(

分别为直线的横、纵截距, (其中 A、B 不同时为 0).

)

79.两条直线的平行和垂直 (1)若 ① ② (2)若 . , ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ,

;

① ② 80.夹角公式

; ;

(1) ( ,

. , )

(2) ( ,

. , ).

直线 81.

时,直线 l1 与 l2 的夹角是 到 的角公式

.

(1) ( ,

. , )

(2) ( ,

. , ).

直线

时,直线 l1 到 l2 的角是

.

82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 ), 其 中 的直线系方程为 (除直线 的 直 线 系 方 程 为

是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 ,其中 是待定的系数. ,

(2)共点直线系方程: 经过两直线 的直线系方程为 (3)平行直线系方程:直线 系方程.与直线 参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 ,λ 是参变量. 83.点到直线的距离

的交点

(除 ),其中λ 是待定的系数. 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 平行的直线系方程是 ( ),λ 是

(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

(点 84. 设直线 若 , 当 与 或

,直线 : 所表示的平面区域 ,则 或

).

所表示的平面区域是: 与

同号时, 表示直线 的上方的区域; 当

异号时,表示直线 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 , 当 与 同号时, 表示直线 的右方的区域; 当 与

异号时,表示直线 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. 设曲线 或 或 所表示的平面区域 ( ),则

所表示的平面区域是:

所表示的平面区域上下两部分; 所表示的平面区域上下两部分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程 . ( >0).

(3)圆的参数方程 (4)圆的直径式方程 、 87. 圆系方程 (1)过点 , ).

. (圆的直径的端点是

的圆系方程是

,其中 的方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 : 是 (3) 过圆 点的圆系方程是 系数. 88.点与圆的位置关系 点 若 点 在圆外; 与圆 ,则 点 在圆上; 点 在圆内. 的位置关系有三种 : 与圆 : ,λ 是待定的系数. 与圆 :

是直线

的交点的圆系方程

的交 ,λ 是待定的

89.直线与圆的位置关系 直线 与圆 的位置关系有三种:

; ; .

其中

.

90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, ; ; ; ; . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 ①若已知切点 . 在圆上,则切线只有一条,其方程是

.



圆外时,

表示过两个切点

的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 (2)已知圆 ①过圆上的 . 点的切线方程为 ; ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. ,再利用相切条件求 k,这时必

②斜率为 的圆的切线方程为

.

92.椭圆

的参数方程是

.

93.椭圆

焦半径公式

, 94.椭圆的的内外部

.

(1)点

在椭圆

的内部

.

(2)点

在椭圆

的外部

.

95. 椭圆的切线方程

(1)椭圆

上一点

处的切线方程是

.

(2)过椭圆

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

.

( 3 ) 椭 圆 .

与 直 线

相 切 的 条 件 是

96.双曲线

的焦半径公式

, 97.双曲线的内外部

.

(1)点

在双曲线

的内部

.

(2)点

在双曲线

的外部

.

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为

渐近线方程:

.

(2)若渐近线方程为

双曲线可设为

.

(3)若双曲线与 轴上, ,焦点在 y 轴上).

有公共渐近线,可设为



,焦点在 x

99. 双曲线的切线方程

(1)双曲线

上一点

处的切线方程是

.

(2)过双曲线

外一点

所引两条切线的切点弦方程是

.

(3)双曲线 . 100. 抛物线 的焦半径公式

与直线

相切的条件是

抛物线

焦半径

.

过焦点弦长

.

101.抛物线 .

上的动点可设为 P



P

,其中

102.二次函数

的图象是抛物线:(1)

顶点坐标为

;(2)焦点的坐标为

;(3)准线方程是

. 103.抛物线的内外部 (1)点 点 (2)点 点 (3)点 点 (4) 点 点 在抛物线 在抛物线 在抛物线 在抛物线 在抛物线 在抛物线 在抛物线 在抛物线 的内部 的外部 的内部 的外部 的内部 的外部 的内部 的外部 . . . . . . . .

104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 (2) 过抛物线 (3)抛物线 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 , ( 为参数). 的交点的曲线系方程是 上一点 外一点 与直线 处的切线方程是 所引两条切线的切点弦方程是 相切的条件是 . . .

(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 时,表示椭圆; 当

,其中 时,表示双曲线.

.当

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

或 ( 弦 端 点

A 线

,由方程 的倾斜角, 为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 (2)曲线 关于点 关于直线

消去 y 得到



,

为直

成中心对称的曲线是 成轴对称的曲线是

.

. 108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 , 用 代 , 用 代 ,





,用

代 ,用



即得方程

,曲线的切线,切点弦,中点 弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;

(3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b 三点共线 、 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 或对空间任一定点 O,有序实数对 119. 对 空 间 任 一 点 ( 时,若 面. 四点共面 ( 120.空间向量基本定理 与 、 共面 ),则当 ,使 存在实数对 存在有序实数对 ,使 ,使 . . , 共线且 不共线 且 存在实数λ 使 a=λ b. . 不共线.

和不共线的三点 A、B、C,满足 时,对于空间任一点 ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共

平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若

平面 ABC).

如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实数 x, y,z,使 121.射影公式 已知向量 点在 上的射影 =a 和轴 ,e 是 上与 同方向的单位向量.作 A 点在 上的射影 ,则 〈a,e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a= (1)a+b= (2)a-b= (3)λ a= (4)a·b= 123.设 A = 124.空间的线线平行或垂直 设 , ,则 ,B ,b= 则 ; ; (λ ∈R); ; ,则 . ,作 B .

; . 125.夹角公式 设 a= ,b= ,则

cos〈a,b〉= 推论

. ,此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 中, 与 所成的角为 ,则

. 127.异面直线所成角

= (其中 ( 128.直线 )为异面直线 与平面所成角 所成角, 分别表示异面直线 的方向向量)

( 129.若 成的角分别是

为平面

的法向量). 的平面 成的角 ,另两边 , 与平面

所在平面若 、 , 为

与过若

的两个内角,则 .

特别地,当

时,有 .

130.若 成的角分别是 、

所在平面若 , 为

与过若

的平面

成的角 ,另两边

,

与平面

的两个内角,则 .

特别地,当

时,有 .

131.二面角

的平面角





, 为平面



的法向量).

132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 AC 所成的角为 ,AO 与 AC 所成的角为 .则 . ,AB 与

133. 三射线定理 若夹在平面角为 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 , ,与二面 ; (当且仅当 134.空间两点间的距离公式 若A = 135.点 到直线 距离 ,B ,则 . 时等号成立).

角的棱所成的角是θ ,则有

(点 b= ). 136.异面直线间的距离

在 直 线 上 , 直 线 的 方 向 向 量 a=

,向量

( 间的距离). 137.点 到平面

是两异面直线, 其公垂向量为 ,

分别是

上任一点, 为

的距离

( 为平面

的法向量,

是经过面

的一条斜线,

).

138.异面直线上两点距离公式 .

. ( ).

(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 点 E、F, , , ).

的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两

139.三个向量和的平方公式

140. 长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 别为 ,则有

,夹角分

. (立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

. (平面多边形及其射影的面积分别是 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 ,侧面积和体积分别是 面积分别是 ① ② . 和 ,则 . 和 ,它的直截面的周长和 、 ,它们所在平面所成锐二面角的为 ).

143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F).

(1)

=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 的多边形,则面数 F

与棱数 E 的关系:



(2)若每个顶点引出的棱数为 146.球的半径是 R,则

,则顶点数 V 与棱数 E 的关系:

.

其体积 其表面积

, .

147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

,外接球的半径为

.



是柱体的底面积、 是柱体的高).



是锥体的底面积、 是锥体的高).

149.分类计数原理(加法原理) . 150.分步计数原理(乘法原理) . 151.排列数公式

= 注:规定 .

=

.( ,

∈N ,且

*

).

152.排列恒等式

(1)

;

(2) (3) (4) (5) (6) 153.组合数公式 ;

;

; . .

=

=

=

( ∈N ,

*

,且

).

154.组合数的两个性质 (1) (2) 注:规定 = + ; = . .

155.组合恒等式

(1)

;

(2)

;

(3)

;

(4) (5) (6) (7) (8)

=

; . . . .

(9) (10) 156.排列数与组合数的关系 . 157.单条件排列 以下各条的大前提是从 个元素中取 (1)“在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 (着眼位置) (2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴:

. .

个元素的排列.

种;②某(特)元不在某位有 (着眼元素)种.

(补集思想)

个元在固定位的排列有

种. 种.注:此类问题

②浮动紧贴: 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( 一组互不能挨近的所有排列数有 (3)两组元素各相同的插空 个大球 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 种.

),把它们合在一起来作全排列,k 个的



时,无解;当

时,有

种排法. .

(4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 、 个物件等分给

个人,各得 件,其分配

方法数共有 (2)(平均分组无归属问题)将相异的 分配方法数共有
·

. 个物体等分为无记号或无顺序的 堆,其

.

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 必须被分完,分别得到 , ,?, 件,且 , ,?,

个物体分给 这

个人,物件

个数彼此不相等,则

其分配方法数共有 (4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 物件必须被分完,分别得到 , ,?, 件,且 ,

. 个物体分给 ,?, 这 个人,

个数中分别有 a、

b、c、?个相等,则其分配方法数有 (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 ,?, 件无记号的 堆,且 , ,?, 这 个物体分为任意的

. ,

个数彼此不相等,则其分配方法数



. (6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 ,?, 件无记号的 堆,且 , ,?, 这 个物体分为任意的 ,

个数中分别有 a、b、c、?个相等,

则其分配方法数有 (7) (限定分组有归属问题)将相异的 ( 等 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 ,?, 等

. ) 个物体分给甲、 丙, 乙、 ?? 件,乙得 件,丙得 件,?时,则无论 ,

个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

. 159.“错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 封信与 个信封全部错位的组合数为

. 推广: 个元素与 个位置,其中至少有 个元素错位的不同组合总数为

. 160.不定方程 (1)方程 (2) 方程 (3) 方程 的非负整数解有 (4) 方程 有 ( 个. )满足条件 ( 个. , )的正整数解 ( ( ( 的解的个数 )的正整数解有 )的非负整数解有 )满足条件 ( 个. 个. , )


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